五年2018-2022高考數(shù)學真題按知識點分類匯編26-計數(shù)原理（含解析） 一、單選題1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質的概率為（    ）A． B． C． D．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（    ）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若，則（    ）A．40 B．41 C． D．4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（    ）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（    ）A． B． C． D．6．（2021·全國·高考真題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（    ）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.87．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）的展開式中x3y3的系數(shù)為（    ）A．5 B．10C．15 D．208．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（    ）A．120種 B．90種C．60種 D．30種9．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為（    ）A．5 B．8 C．10 D．1510．（2020·海南·高考真題）要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（    ）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種11．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（    ）．A． B．5 C． D．1012．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）在的二項展開式中，第項的二項式系數(shù)是（    ）A． B． C． D．13．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進入同一間教室的概率是（    ）A． B． C． D．14．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔任5門不同學科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（    ）A．12 B．120 C．1440 D．1728015．（2019·全國·高考真題）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．16．（2019·全國·高考真題）兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是A． B． C． D．17．（2019·全國·統(tǒng)考高考真題）（1+2x2 ）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為A．12 B．16 C．20 D．2418．（2018·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為A．10 B．20 C．40 D．80 二、填空題19．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為____________．20．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）．21．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．22．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知多項式，則__________，___________．23．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的常數(shù)項為______.24．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是__________．25．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為__________．26．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）的展開式中常數(shù)項是__________（用數(shù)字作答）．27．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有__________種.28．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是_________．29．（2018·全國·高考真題）從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）30．（2019·天津·高考真題）展開式中的常數(shù)項為________.31．（2018·浙江·高考真題）從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成___________個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)32．（2018·浙江·高考真題）二項式的展開式的常數(shù)項是___________．33．（2018·天津·高考真題）在二項式的展開式中，的系數(shù)為__________． 三、解答題34．（2019·江蘇·高考真題）設.已知.（1）求n的值；（2）設，其中，求的值. 四、雙空題35．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知多項式，則___________，___________.36．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）設，則________；________．37．（2019·浙江·高考真題）在二項式的展開式中，常數(shù)項是________；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是_______.
參考答案：1．D【分析】由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D. 2．B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，故選：B 3．B【分析】利用賦值法可求的值.【詳解】令，則，令，則，故，故選：B. 4．C【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點睛】本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.5．C【詳解】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.6．C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.7．C【分析】求得展開式的通項公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.【詳解】展開式的通項公式為（且）所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉化能力及分析能力，屬于中檔題.8．C【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.【詳解】首先從名同學中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C【點睛】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎題.9．C【分析】根據(jù)原位大三和弦滿足，原位小三和弦滿足從開始，利用列舉法即可解出．【詳解】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：．∴；；；；．原位小三和弦滿足：．∴；；；；．故個數(shù)之和為10．故選：C．【點睛】本題主要考查列舉法的應用，以及對新定義的理解和應用，屬于基礎題．10．C【分析】首先將3名學生分成兩個組，然后將2組學生安排到2個村即可.【詳解】第一步，將3名學生分成兩個組，有種分法第二步，將2組學生安排到2個村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種故選：C【點睛】解答本類問題時一般采取先組后排的策略.11．C【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．12．A【分析】本題可通過二項式系數(shù)的定義得出結果.【詳解】第項的二項式系數(shù)為，故選：A.13．B【分析】利用古典概型概率公式，結合分步計數(shù)原理，計算結果.【詳解】5位老師，每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，共有種方法，其中恰好全都進入同一間教室，共有2種方法，所以.故選：B14．C【分析】首先選3名男生和2名女生，再全排列，共有種不同安排方法.【詳解】首先從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，共有種情況，再分別擔任5門不同學科的課代表，共有種情況.所以共有種不同安排方法.故選：C15．A【分析】本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學計算等數(shù)學素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．【點睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．16．D【解析】男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進而得解.【詳解】兩位男同學和兩位女同學排成一列，因為男生和女生人數(shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．【點睛】本題考查常見背景中的古典概型，滲透了數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取等同法，利用等價轉化的思想解題．17．A【分析】本題利用二項展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)．【詳解】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．【點睛】本題主要考查二項式定理，利用展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)．18．C【詳解】分析：寫出，然后可得結果詳解：由題可得令,則所以故選C.點睛：本題主要考查二項式定理，屬于基礎題．19．##0.3【分析】根據(jù)古典概型計算即可【詳解】解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為： 20．-28【分析】可化為，結合二項式展開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-28 21．.【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【詳解】從正方體的個頂點中任取個，有個結果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．故答案為：． 22．          【分析】第一空利用二項式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．【詳解】含的項為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；． 23．【分析】由題意結合二項式定理可得的展開式的通項為，令，代入即可得解.【詳解】由題意的展開式的通項為，令即，則，所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.24．160【分析】求出二項式的展開式通項，令的指數(shù)為6即可求出.【詳解】的展開式的通項為，令，解得，所以的系數(shù)是.故答案為：160.25．【分析】利用二項式定理求出通項公式并整理化簡，然后令的指數(shù)為零，求解并計算得到答案.【詳解】的展開式的通項 令，解得，故常數(shù)項為．故答案為：.26．【分析】寫出二項式展開通項，即可求得常數(shù)項.【詳解】其二項式展開通項：當，解得的展開式中常數(shù)項是：.故答案為：.【點睛】本題考查二項式定理，利用通項公式求二項展開式中的指定項，解題關鍵是掌握的展開通項公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.27．【分析】根據(jù)題意，有且只有2名同學在同一個小區(qū)，利用先選后排的思想，結合排列組合和乘法計數(shù)原理得解.【詳解】4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學先取2名同學看作一組，選法有：現(xiàn)在可看成是3組同學分配到3個小區(qū)，分法有：根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種故答案為：.【點睛】本題主要考查了計數(shù)原理的綜合應用，解題關鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.28．10【分析】寫出二項展開式的通項公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出．【詳解】因為的展開式的通項公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題主要考查二項展開式的通項公式的應用，屬于基礎題．29．【分析】方法一：反面考慮，先求出所選的人中沒有女生的選法種數(shù)，再根據(jù)從人中任選人的選法種數(shù)減去沒有女生的選法種數(shù)，即可解出.【詳解】［方法一］：反面考慮沒有女生入選有種選法，從名學生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種．故答案為：.［方法二］：正面考慮若有1位女生入選，則另2位是男生，于是選法有種；若有2位女生入選，則另有1位是男生，于是選法有種，則不同的選法共有種．故答案為：.【整體點評】方法一：根據(jù)“正難則反”，先考慮“至少有位女生入選”的反面種數(shù)，再利用沒有限制的選法種數(shù)減去反面種數(shù)即可求出，對于正面分類較多的問題是不錯的方法；方法二：正面分類較少，直接根據(jù)女生的人數(shù)分類討論求出．30．【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式得出通項，根據(jù)方程思想得出的值，再求出其常數(shù)項．【詳解】，由，得，所以的常數(shù)項為.【點睛】本題考查二項式定理的應用，牢記常數(shù)項是由指數(shù)冪為0求得的．31．1260.【詳解】分析:按是否取零分類討論，若取零，則先排首位，最后根據(jù)分類與分步計數(shù)原理計數(shù).詳解：若不取零，則排列數(shù)為若取零，則排列數(shù)為因此一共有個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.32．7【詳解】分析:先根據(jù)二項式展開式的通項公式寫出第r+1項，再根據(jù)項的次數(shù)為零解得r，代入即得結果.詳解：二項式的展開式的通項公式為,令得，故所求的常數(shù)項為點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)的值，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出特定項的系數(shù).33．.【分析】由題意結合二項式定理展開式的通項公式得到的值，然后求解的系數(shù)即可.【詳解】結合二項式定理的通項公式有：，令可得：，則的系數(shù)為：.【點睛】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件（特定項）和通項公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時要注意二項式系數(shù)中和的隱含條件，即、均為非負整數(shù)，且，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等）)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．（2）求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解．34．（1）；（2）-32.【分析】(1)首先由二項式展開式的通項公式確定的值，然后求解關于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值確定有理項和無理項從而可得a,b的值，然后計算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由題意得到的展開式，最后結合平方差公式即可確定的值.【詳解】（1）因為，所以，．因為，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因為，所以，從而．解法二：．因為，所以．因此．【點睛】本題主要考查二項式定理、組合數(shù)等基礎知識，考查分析問題能力與運算求解能力.35．     ;     .【分析】根據(jù)二項展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結論.【詳解】， ，所以，，所以.故答案為：.36．          【分析】利用二項式展開式的通項公式計算即可.【詳解】的通項為，令，則，故；.故答案為：；.【點晴】本題主要考查利用二項式定理求指定項的系數(shù)問題，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道基礎題.37．          【分析】本題主要考查二項式定理、二項展開式的通項公式、二項式系數(shù)，屬于常規(guī)題目.從寫出二項展開式的通項入手，根據(jù)要求，考察的冪指數(shù)，使問題得解.【詳解】的通項為可得常數(shù)項為，因系數(shù)為有理數(shù)，，有共5個項【點睛】此類問題解法比較明確，首要的是要準確記憶通項公式，特別是“冪指數(shù)”不能記混，其次，計算要細心，確保結果正確.
 

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