?五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)匯編27-概率（含解析）

一、單選題
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（????）
A． B． C． D．
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為p，則（????）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，p最大
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（????）
A． B． C． D．
4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：h），得如下莖葉圖：

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（????）
A．甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4
B．乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8
C．甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4
D．乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6
5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（????）
A． B． C． D．
6．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（????）
A． B． C． D．
7．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（????）
A． B． C． D．
8．（2021·全國(guó)·高考真題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（????）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
9．（2020·海南·高考真題）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（????）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
10．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（????）
A． B．
C． D．
11．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽(tīng)課，則恰好全都進(jìn)入同一間教室的概率是（????）
A． B． C． D．
12．（2019·全國(guó)·高考真題）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為
A． B．
C． D．
13．（2019·全國(guó)·高考真題）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是
A． B． C． D．
14．（2018·全國(guó)·高考真題）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
15．（2018·全國(guó)·高考真題）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為
A． B． C． D．
16．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則

A．p1=p2 B．p1=p3
C．p2=p3 D．p1=p2+p3
17．（2018·全國(guó)·高考真題）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

二、填空題
18．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_(kāi)___________．
19．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為_(kāi)_______．
20．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_(kāi)________；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為_(kāi)________．
21．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是_____.

三、解答題
22．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
23．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車(chē)的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
A
240
20
B
210
30

(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率；
(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān)？
附：，

0.100
0.050
0.010

2.706
3.841
6.635


24．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．
(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；
(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；
(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）
25．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表
等級(jí)
A
B
C
D
頻數(shù)
40
20
20
20

乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表
等級(jí)
A
B
C
D
頻數(shù)
28
17
34
21

（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；
（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?
26．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用 n表示) ．
27．（2019·全國(guó)·高考真題）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
28．（2018·天津·高考真題）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.
（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.
29．（2019·北京·高考真題）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：
交付金額（元）
支付方式
（0,1000]
（1000,2000]
大于2000
僅使用A
18人
9人
3人
僅使用B
10人
14人
1人

（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．
30．（2019·北京·高考真題）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

（Ⅰ）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；
（Ⅱ）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．

四、雙空題
31．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．
32．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則___________，___________.
33．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則_______；______．

參考答案：
1．D
【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.
【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，
若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，
故所求概率.
故選：D.

2．D
【分析】該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)為必勝盤(pán).分別求得該棋手在第二盤(pán)與甲比賽且連勝兩盤(pán)的概率；該棋手在第二盤(pán)與乙比賽且連勝兩盤(pán)的概率；該棋手在第二盤(pán)與丙比賽且連勝兩盤(pán)的概率.并對(duì)三者進(jìn)行比較即可解決
【詳解】該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)為必勝盤(pán)，
記該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠椋?br /> 則此時(shí)連勝兩盤(pán)的概率為
則
；
記該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為，
則
記該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為
則
則

即，，
則該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；
與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.
故選：D

3．C
【分析】方法一：先列舉出所有情況，再?gòu)闹刑舫鰯?shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.
【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】無(wú)序
從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.
[方法二]：有序
從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，
其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.
故選：C.
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：將抽出的卡片看成一個(gè)組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；
方法二：將抽出的卡片看成一個(gè)排列，再利用古典概型的概率公式解出；

4．C
【分析】結(jié)合莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)、古典概型等知識(shí)確定正確答案.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為，A選項(xiàng)結(jié)論正確.
對(duì)于B選項(xiàng)，乙同學(xué)課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)為：
，
B選項(xiàng)結(jié)論正確.
對(duì)于C選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于的概率的估計(jì)值，
C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.
對(duì)于D選項(xiàng)，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于的概率的估計(jì)值，
D選項(xiàng)結(jié)論正確.
故選：C

5．C
【詳解】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，
若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，
所以2個(gè)0不相鄰的概率為.
故選：C.
6．B
【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出.
【詳解】設(shè)“區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”，對(duì)應(yīng)集合為： ，區(qū)間長(zhǎng)度為，
“取到的數(shù)小于”， 對(duì)應(yīng)集合為：，區(qū)間長(zhǎng)度為，
所以．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是明確事件“取到的數(shù)小于”對(duì)應(yīng)的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式即可準(zhǔn)確求出．
7．B
【分析】設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?，設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，分別求出對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出．
【詳解】如圖所示：
設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)椋涿娣e為．
設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，即圖中的陰影部分，其面積為，所以．
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，即可順利解出．
8．C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【詳解】解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：
，
共10種排法，
其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：
，
共6種方法，
故2個(gè)0不相鄰的概率為，
故選：C.
9．C
【分析】記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件，然后根據(jù)積事件的概率公式可得結(jié)果.
【詳解】記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件，
則，，，
所以
所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了積事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.
10．A
【分析】列出從5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)點(diǎn)的所有情況，再列出3點(diǎn)共線的情況，用古典概型的概率計(jì)算公式運(yùn)算即可.
【詳解】如圖，從5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有


共種不同取法，
3點(diǎn)共線只有與共2種情況，
由古典概型的概率計(jì)算公式知，
取到3點(diǎn)共線的概率為.
故選：A

【點(diǎn)晴】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
11．B
【分析】利用古典概型概率公式，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算結(jié)果.
【詳解】5位老師，每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽(tīng)課，共有種方法，
其中恰好全都進(jìn)入同一間教室，共有2種方法，所以.
故選：B
12．B
【分析】本題首先用列舉法寫(xiě)出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計(jì)算公式求解．
【詳解】設(shè)其中做過(guò)測(cè)試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過(guò)測(cè)試的取法有共6種，
所以恰有2只做過(guò)測(cè)試的概率為，選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．應(yīng)用列舉法寫(xiě)出所有基本事件過(guò)程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標(biāo)注字母，利用“樹(shù)圖法”，可最大限度的避免出錯(cuò)．
13．D
【解析】男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進(jìn)而得解.
【詳解】?jī)晌荒型瑢W(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因?yàn)槟猩团藬?shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查常見(jiàn)背景中的古典概型，滲透了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取等同法，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解題．
14．C
【詳解】分析：先確定不超過(guò)30的素?cái)?shù)，再確定兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.
詳解：不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種方法，因?yàn)?，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.
點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法： (1)列舉法. (2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化. (4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.
15．D
【詳解】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.
詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，
從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，
選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能
則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，
故選D.
點(diǎn)睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.
16．A
【分析】首先設(shè)出直角三角形三條邊的長(zhǎng)度，根據(jù)其為直角三角形，從而得到三邊的關(guān)系，然后應(yīng)用相應(yīng)的面積公式求得各個(gè)區(qū)域的面積，根據(jù)其數(shù)值大小，確定其關(guān)系，再利用面積型幾何概型的概率公式確定出p1，p2，p3的關(guān)系，從而求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則有，
從而可以求得的面積為，
黑色部分的面積為，
其余部分的面積為，所以有，
根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A.
點(diǎn)睛：該題考查的是面積型幾何概型的有關(guān)問(wèn)題，題中需要解決的是概率的大小，根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關(guān)圖形的面積公式求得結(jié)果.
17．B
【詳解】設(shè)事件A為不用現(xiàn)金支付，
則
故選：B.
18．##0.3
【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可
【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；
其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.
故答案為：.
解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為
甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率
故答案為：

19．.
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．
【詳解】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè)，故所求概率．
故答案為：．

20．???? ????
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率關(guān)系，即可求出兩球都落入盒子的概率；同理可求兩球都不落入盒子的概率，進(jìn)而求出至少一球落入盒子的概率.
【詳解】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，
且兩球是否落入盒子互不影響，
所以甲、乙都落入盒子的概率為，
甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，
所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，以及利用對(duì)立事件求概率，屬于基礎(chǔ)題.
21．
【分析】分別求出基本事件總數(shù)，點(diǎn)數(shù)和為5的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．
【詳解】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個(gè).
點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件有，，，共4個(gè).
∴出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
22．(1)歲；
(2)；
(3)．

【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可解出；
（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．
【詳解】（1）平均年齡
????（歲）．
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以
．
（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：
,
則由條件概率公式可得
從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．

23．(1)A，B兩家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為，
(2)有

【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計(jì)算，再利用臨界值表比較即可得結(jié)論.
【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，
設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，
則；
B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，
設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，
則.
A家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為；
B家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為.
（2）列聯(lián)表

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
合計(jì)
A
240
20
260
B
210
30
240
合計(jì)
450
50
500


=，
根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān).

24．(1)0.4
(2)
(3)丙

【分析】(1)????由頻率估計(jì)概率即可
(2)????求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.
(3)????計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.
【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得
甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，
故答案為0.4
（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3
，

，

，
.
∴X的分布列為
X
0
1
2
3
P





∴
（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.
因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.

25．（1）甲分廠加工出來(lái)的級(jí)品的概率為，乙分廠加工出來(lái)的級(jí)品的概率為；（2）選甲分廠，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)頻數(shù)分布表即可求出；
（2）根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工件產(chǎn)品的總利潤(rùn)，即可求出平均利潤(rùn)，由此作出選擇．
【詳解】（1）由表可知，甲廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率為，乙廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率為；
（2）甲分廠加工件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為元，
所以甲分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為元每件；
乙分廠加工件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為
元，
所以乙分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為元每件．
故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬于基礎(chǔ)題．
26．（1）（2）
【分析】（1）直接根據(jù)操作，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果；
（2）根據(jù)操作，依次求，即得遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列求得，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.
【詳解】（1），
，
.
（2），
，
因此，
從而，
即.
又的分布列為

0
1
2





故.
【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率、概率中遞推關(guān)系、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)學(xué)期望公式，考查綜合分析求解能力，屬難題.
27．（1）；（2）0.1
【分析】(1)本題首先可以通過(guò)題意推導(dǎo)出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；
(2)本題首先可以通過(guò)題意推導(dǎo)出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”，然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果．
【詳解】(1)由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”
所以
(2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”
所以
【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過(guò)題意得出以及所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題．
28．（Ⅰ）從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）．
【詳解】分析：（Ⅰ）由分層抽樣的概念可知應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．且分布列為超幾何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．據(jù)此求解分布列即可，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為．
（ii）由題意結(jié)合題意和互斥事件概率公式可得事件A發(fā)生的概率為．
詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，
由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，
因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P





隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．
（ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；
事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，
則A=B∪C，且B與C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A發(fā)生的概率為．
點(diǎn)睛：本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對(duì)象分兩類(lèi)；②已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類(lèi)個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類(lèi)別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式巧解：(1) ；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．
29．(Ⅰ) ；
(Ⅱ)見(jiàn)解析；
(Ⅲ)見(jiàn)解析.
【分析】(Ⅰ)由題意利用古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值；
(Ⅱ)首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可.
(Ⅲ)由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可.
【詳解】(Ⅰ)由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：人，則：
該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率.
(Ⅱ)由題意可知，
僅使用A支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，
僅使用B支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，
且X可能的取值為0,1,2.
，，，
X的分布列為：
X
0
1
2





其數(shù)學(xué)期望：.
(Ⅲ)我們不認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下：
隨機(jī)事件在一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生是隨機(jī)的，是不能預(yù)知的，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率越來(lái)越穩(wěn)定于概率．
學(xué)校是一個(gè)相對(duì)消費(fèi)穩(wěn)定的地方，每個(gè)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況每個(gè)月的消費(fèi)應(yīng)該相對(duì)固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”.
【點(diǎn)睛】本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來(lái)設(shè)置問(wèn)題，考查概率統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用，考查概率的定義和分布列的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān).
30．（Ⅰ）400人；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）見(jiàn)解析.
【分析】(Ⅰ)由題意利用頻率近似概率可得滿足題意的人數(shù)；
(Ⅱ)利用古典概型計(jì)算公式可得上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；
(Ⅲ)結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)定義給出結(jié)論即可.
【詳解】（Ⅰ）由圖表可知僅使用A的人數(shù)有30人，僅使用B的人數(shù)有25人，
由題意知A,B兩種支付方式都不使用的有5人，
所以樣本中兩種支付方式都使用的有，
所以全校學(xué)生中兩種支付方式都使用的有（人）.
（Ⅱ）因?yàn)闃颖局袃H使用B的學(xué)生共有25人，只有1人支付金額大于2000元，
所以該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率為.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金額大于2000元的概率為，
因?yàn)閺膬H使用B的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元，
依據(jù)小概率事件它在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的，所以可以認(rèn)為僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，且比上個(gè)月多.
【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式及其應(yīng)用，概率的定義與應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
31．???? ，???? ##
【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.
【詳解】從寫(xiě)有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
????所以,
故答案為：，.

32．???? 1????
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根據(jù)隨機(jī)變量的分布列即可求出．
【詳解】，所以，
, 所以, 則．
由于
．
故答案為：1；．
33．???? ????
【分析】先確定對(duì)應(yīng)事件，再求對(duì)應(yīng)概率得結(jié)果；第二空，先確定隨機(jī)變量，再求對(duì)應(yīng)概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閷?duì)應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，
所以，
隨機(jī)變量，
，
，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、數(shù)學(xué)期望，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.


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