一、單選題
1．（2021·浙江·統考高考真題）已知數列滿足.記數列的前n項和為，則（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
2．（2020·江蘇·統考高考真題）設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列．已知數列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是_______．
三、解答題
3．（2022·全國·統考高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
4．（2022·全國·統考高考真題）已知函數．
(1)當時，討論的單調性；
(2)當時，，求a的取值范圍；
(3)設，證明：．
5．（2022·天津·統考高考真題）設是等差數列，是等比數列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設的前n項和為，求證：；
(3)求．
6．（2021·全國·統考高考真題）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
7．（2021·天津·統考高考真題）已知是公差為2的等差數列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數列；
（ii）證明
8．（2020·全國·統考高考真題）設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．
（1）求的公比；
（2）若，求數列的前項和．
9．（2020·全國·統考高考真題）設數列{an}滿足a1=3，．
（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；
（2）求數列{2nan}的前n項和Sn．
10．（2020·天津·統考高考真題）已知為等差數列，為等比數列，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）記的前項和為，求證：；
（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．
11．（2019·天津·高考真題） 設是等差數列，是等比數列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）設數列滿足求.
12．（2019·浙江·高考真題）設等差數列的前項和為，，，數列滿足：對每成等比數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）記 證明：
13．（2018·浙江·高考真題）已知等比數列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項．數列{bn}滿足b1=1，數列{（bn+1?bn）an}的前n項和為2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求數列{bn}的通項公式．
14．（2019·天津·高考真題）設是等差數列，是等比數列.已知.
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）設數列滿足其中.
（i）求數列的通項公式；
（ii）求.
15．（2018·天津·高考真題）設{an}是等差數列，其前n項和為Sn（n∈N*）；{bn}是等比數列，公比大于0，其前n項和為Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整數n的值．
16．（2018·天津·高考真題）設是等比數列，公比大于0，其前n項和為，是等差數列.已知，，，.
（I）求和的通項公式；
（II）設數列的前n項和為，
（i）求；
（ii）證明.
四、雙空題
17．（2021·全國·統考高考真題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數為______；如果對折次，那么______.
參考答案：
1．A
【分析】顯然可知，，利用倒數法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據裂項相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因為，所以，．
由
，即
根據累加法可得，，當且僅當時取等號，
，
由累乘法可得，當且僅當時取等號，
由裂項求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點睛】本題解題關鍵是通過倒數法先找到的不等關系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數，從而通過局部放縮得到的不等關系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．
2．
【分析】結合等差數列和等比數列前項和公式的特點，分別求得的公差和公比，由此求得.
【詳解】設等差數列的公差為，等比數列的公比為，根據題意.
等差數列的前項和公式為，
等比數列的前項和公式為，
依題意，即，
通過對比系數可知，故.
故答案為：
【點睛】本小題主要考查等差數列和等比數列的前項和公式，屬于中檔題.
3．(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用等差數列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；
（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.
【詳解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數列，
∴,∴,
∴當時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
4．(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)
(3)見解析
【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調性.
（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數的取值范圍.
（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.
【詳解】（1）當時，，則，
當時，，當時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設，則，
又，設，
則，
若，則，
因為為連續(xù)不間斷函數，
故存在，使得，總有，
故在為增函數，故，
故在為增函數，故，與題設矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設，故，
故在上為減函數，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數，
所以.
當時，有，
所以在上為減函數，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【點睛】思路點睛：函數參數的不等式的恒成立問題，應該利用導數討論函數的單調性，注意結合端點處導數的符號合理分類討論，導數背景下數列不等式的證明，應根據已有的函數不等式合理構建數列不等式.
5．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比數列的通項公式進行基本量運算即可得解；
（2）由等比數列的性質及通項與前n項和的關系結合分析法即可得證；
（3）先求得，進而由并項求和可得，再結合錯位相減法可得解.
【詳解】（1）設公差為d，公比為，則，
由可得（舍去），
所以；
（2）證明：因為所以要證，
即證，即證，
即證，
而顯然成立，所以；
（3）因為
，
所以
，
設
所以，
則，
作差得
，
所以，
所以.
6．（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用等差數列的性質及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.
【詳解】（1）因為是首項為1的等比數列且，，成等差數列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和
，
，
．
設， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構造裂項法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過等式左右兩邊系數比對易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導函數法
設，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點評】本題主要考查數列的求和，涉及到等差數列的性質，錯位相減法求數列的和，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據式子得結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；
方法二根據數列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結論,為最優(yōu)解；
方法三采用構造數列裂項求和的方法，關鍵是構造，使，求得的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，
方法四利用導數方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.
7．（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【分析】（I）由等差數列的求和公式運算可得的通項，由等比數列的通項公式運算可得的通項公式；
（II）（i）運算可得，結合等比數列的定義即可得證；
（ii）放縮得，進而可得，結合錯位相減法即可得證.
【詳解】（I）因為是公差為2的等差數列，其前8項和為64．
所以，所以，
所以；
設等比數列的公比為，
所以，解得（負值舍去），
所以；
（II）（i）由題意，，
所以，
所以，且，
所以數列是等比數列；
（ii）由題意知，，
所以，
所以，
設，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：
最后一問考查數列不等式的證明，因為無法直接求解，應先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.
8．（1）；（2）.
【分析】（1）由已知結合等差中項關系，建立公比的方程，求解即可得出結論；
（2）由（1）結合條件得出的通項，根據的通項公式特征，用錯位相減法，即可求出結論.
【詳解】（1）設的公比為，為的等差中項，
，
；
（2）設的前項和為，，
，①
，②
①②得，
，
.
【點睛】本題考查等比數列通項公式基本量的計算、等差中項的性質，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎題.
9．（1），，，證明見解析；（2）.
【分析】（1）方法一：（通性通法）利用遞推公式得出，猜想得出的通項公式，利用數學歸納法證明即可；
（2）方法一：（通性通法）根據通項公式的特征，由錯位相減法求解即可．
【詳解】（1）
［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法
由題意可得，，由數列的前三項可猜想數列是以為首項，2為公差的等差數列，即．
證明如下：
當時，成立；
假設時，成立.
那么時，也成立.
則對任意的，都有成立；
［方法二］：構造法
由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項為3，公差為2的等差數列，所以．
［方法三］：累加法
由題意可得，．
由得，即，，……．以上各式等號兩邊相加得，所以．所以．當時也符合上式．綜上所述，．
［方法四］：構造法
，猜想．由于，所以可設，其中為常數．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項均為0的常數列，故，即．
（2）由（1）可知，
［方法一］：錯位相減法
，①
，②
由①②得：
，
即.
［方法二］【最優(yōu)解】：裂項相消法
，所以．
［方法三］：構造法
當時，，設，即，則，解得．
所以，即為常數列，而，所以．
故．
［方法四］：
因為，令，則
，
，
所以．
故．
【整體點評】（1）方法一：通過遞推式求出數列的部分項從而歸納得出數列的通項公式，再根據數學歸納法進行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優(yōu)解；
方法二：根據遞推式，代換得，兩式相減得，設，從而簡化遞推式，再根據構造法即可求出，從而得出數列的通項公式；
方法三：由化簡得，根據累加法即可求出數列的通項公式；
方法四：通過遞推式求出數列的部分項，歸納得出數列的通項公式，再根據待定系數法將遞推式變形成，求出，從而可得構造數列為常數列，即得數列的通項公式．
（2）
方法一：根據通項公式的特征可知，可利用錯位相減法解出，該法也是此類題型的通性通法；
方法二：根據通項公式裂項，由裂項相消法求出，過程簡單，是本題的最優(yōu)解法；
方法三：由時，，構造得到數列為常數列，從而求出；
方法四：將通項公式分解成，利用分組求和法分別求出數列的前項和即可，其中數列的前項和借助于函數的導數，通過賦值的方式求出，思路新穎獨特，很好的簡化了運算．
10．（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數列的公差、公比，然后利用等差、等比數列的通項公式得到結果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結論首先求得數列前n項和，然后利用作差法證明即可；
(Ⅲ)分類討論n為奇數和偶數時數列的通項公式，然后分別利用指數型裂項求和和錯位相減求和計算和的值，據此進一步計算數列的前2n項和即可.
【詳解】(Ⅰ)設等差數列的公差為，等比數列的公比為q.
由，，可得d=1.
從而的通項公式為.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
從而的通項公式為.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，
故，，
從而，
所以.
(Ⅲ)當n為奇數時，，
當n為偶數時，，
對任意的正整數n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
從而得：.
因此，.
所以，數列的前2n項和為.
【點睛】本題主要考查數列通項公式的求解，分組求和法，指數型裂項求和，錯位相減求和等，屬于中等題.
11．（I），；
（II）
【分析】（I）首先設出等差數列的公差，等比數列的公比，根據題意，列出方程組，求得，進而求得等差數列和等比數列的通項公式；
（II）根據題中所給的所滿足的條件，將表示出來，之后應用分組求和法，結合等差數列的求和公式，以及錯位相減法求和，最后求得結果.
【詳解】（I）解：設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
依題意，得，解得，
故，，
所以，的通項公式為，的通項公式為；
（II）
，
記 ①
則 ②
②①得，，
所以
.
【點睛】本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式及前項和公式等基礎知識，考查數列求和的基本方法和運算求解能力，屬于中檔題目.
12．（1），；（2）證明見解析.
【分析】(1)首先求得數列的首項和公差確定數列的通項公式，然后結合三項成等比數列的充分必要條件整理計算即可確定數列的通項公式；
(2)結合(1)的結果對數列的通項公式進行放縮，然后利用不等式的性質和裂項求和的方法即可證得題中的不等式.
【詳解】(1)由題意可得：，解得：，
則數列的通項公式為 .
其前n項和.
則成等比數列，即：
，
據此有：
，
故.
(2)結合(1)中的通項公式可得：
，
則.
【點睛】本題主要考查數列通項公式的求解，，裂項求和的方法，數列中用放縮法證明不等式的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
13．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】分析:（Ⅰ）根據條件、等差數列的性質及等比數列的通項公式即可求解公比；（Ⅱ）先根據數列前n項和求通項，解得，再通過疊加法以及錯位相減法求.
【詳解】詳解：（Ⅰ）由是的等差中項得，
所以，
解得.
由得，
因為，所以.
（Ⅱ）設，數列前n項和為.
由解得.
由（Ⅰ）可知，
所以，
故，
.
設，
所以，
因此，
又，所以.
點睛：用錯位相減法求和應注意的問題：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；(2)在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
14．（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【分析】(Ⅰ)由題意首先求得公比和公差，然后確定數列的通項公式即可；
(Ⅱ)結合(Ⅰ)中的結論可得數列的通項公式，結合所得的通項公式對所求的數列通項公式進行等價變形，結合等比數列前n項和公式可得的值.
【詳解】(Ⅰ)設等差數列的公差為，等比數列的公比為.
依題意得，解得，
故，.
所以，的通項公式為，的通項公式為.
(Ⅱ)(i).
所以，數列的通項公式為.
(ii)
.
【點睛】本題主要考查等差數列?等比數列的通項公式及其前n項和公式等基礎知識.考查化歸與轉化思想和數列求和的基本方法以及運算求解能力.
15．(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.
【分析】（I）由題意得到關于q的方程，解方程可得，則.結合題意可得等差數列的首項和公差為，則其前n項和.
（II）由（I），知 據此可得 解得（舍），或.則n的值為4.
【詳解】（I）設等比數列的公比為q，由b1=1，b3=b2+2，可得．
因為，可得，故．所以，．
設等差數列的公差為．由，可得．
由，可得從而，故，所以，．
（II）由（I），有
由,
可得，
整理得解得（舍），或．所以n的值為4．
點睛：本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式及前n項和公式等基礎知識.考查數列求和的基本方法和運算求解能力.
16．(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）證明見解析.
【詳解】分析：（I）由題意得到關于q的方程，解方程可得，則.結合等差數列通項公式可得
（II）（i）由（I），有，則.
（ii）因為，裂項求和可得.
詳解：（I）設等比數列的公比為q.由
可得.因為，可得，故.
設等差數列的公差為d，由，可得
由，可得
從而 故
所以數列的通項公式為，
數列的通項公式為
（II）（i）由（I），有，
故.
（ii）因為，
所以.
點睛：本題主要考查數列通項公式的求解，數列求和的方法，數列中的指數裂項方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
17． 5
【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據規(guī)律可得，再根據錯位相減法得結果.
【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結果有：，共4種不同規(guī)格（單位；
故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；
（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數，根據（1）的過程和結論，猜想為種（證明從略），故得猜想，
設，
則，
兩式作差得：
，
因此，.
故答案為：；.
【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數列，利用公式法可直接求解；
（2）對于結構，其中是等差數列，是等比數列，用錯位相減法求和；
（3）對于結構，利用分組求和法；
（4）對于結構，其中是等差數列，公差為，則，利用裂項相消法求和.

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