一、單選題
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為(單位: cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知，，，則
A．64B．96C．128D．160
5．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
6．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
7．（2019·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則
A．B．C．D．
8．（2018·全國(guó)·高考真題）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則
A．B．C．D．
二、填空題
9．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差_______．
10．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________．
11．（2020·海南·高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______．
12．（2019·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________.
13．（2019·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________.
三、解答題
14．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
15．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
16．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
(1)證明：；
(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．
17．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．
(1)若，求；
(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
18．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；
(3)求．
19．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）求的通項(xiàng)公式．
20．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求使成立的n的最小值．
21．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．
22．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．
①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
23．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，
（1）記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求的前20項(xiàng)和.
24．（2021·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.
25．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．
（I）求和的通項(xiàng)公式；
（II）記，
（i）證明是等比數(shù)列；
（ii）證明
26．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．
（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；
（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
27．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）某男子擅長(zhǎng)走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和為390里.若從第2天起，每天比前一天多走的路程相同，問(wèn)該男子第5天走多少里.這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)嘗試解決.
28．（2018·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求，并求的最小值．
29．（2019·全國(guó)·高考真題）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0， ，.
（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.
30．（2019·全國(guó)·高考真題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．
31．（2019·全國(guó)·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
參考答案：
1．D
【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D
2．C
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過(guò)的最大整數(shù).
若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，
若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，
由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；
若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，
假設(shè)，令可得，且，
當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.
所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.
故選：C.
3．C
【分析】使數(shù)列首項(xiàng)、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．
【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，
不妨設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，
則，，
所以.
對(duì)于，，
取數(shù)列各項(xiàng)為(，,
則，
所以n的最大值為11．
故選：C．
4．C
【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，求得，得到，結(jié)合黨旗長(zhǎng)與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，
因?yàn)?，，可得?br>可得，
又由長(zhǎng)與寬之比都相等，且，可得，所以.
故選：C.
5．C
【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，
設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.
【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，
則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，
設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分
別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，
所以，
即
即，解得，
所以.
故選：C
【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
6．D
【分析】根據(jù)題意可得，，而，即可表示出題中，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷各等式是否成立．
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；
對(duì)于B，由題意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；
對(duì)于C，，
當(dāng)時(shí)，，C正確；
對(duì)于D，，，
．
當(dāng)時(shí)，，∴即；
當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
7．A
【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用排除，對(duì)B，，，排除B，對(duì)C，，排除C．對(duì)D，，排除D，故選A．
【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷．
8．B
【詳解】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得正確結(jié)果.
詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，
根據(jù)題中的條件可得，
整理解得，所以，故選B.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.
9．2
【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡(jiǎn)得，
即，解得.
故答案為：2.
10．
【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.
【詳解】是等差數(shù)列，且，
設(shè)等差數(shù)列的公差
根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：
可得：
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
11．
【分析】首先判斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，
所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，
所以的前項(xiàng)和為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡(jiǎn)單題目.
12．4.
【分析】根據(jù)已知求出和的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果.
【詳解】因，所以，即，
所以．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．
13．100
【分析】根據(jù)題意可求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求得結(jié)果.
【詳解】得
【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為等差數(shù)列的求和，為基礎(chǔ)題目，利用基本量思想解題即可，充分記牢等差數(shù)列的求和公式是解題的關(guān)鍵．
14．(1)
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.
【詳解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時(shí)，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對(duì)于也成立，
∴的通項(xiàng)公式；
（2）
∴
15．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．
【詳解】（1）因?yàn)?，即①?br>當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當(dāng)或時(shí)，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當(dāng)或時(shí)，．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；
法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．
16．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；
（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得，即可解出．
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)條件，求出，再求；
(2)由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因?yàn)?，，成等比?shù)列，
所以，
，
，
由已知方程的判別式大于等于0，
所以，
所以對(duì)于任意的恒成立，
所以對(duì)于任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由，可得
當(dāng)時(shí)，，
又
所以
18．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；
（3）先求得，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.
【詳解】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，
由可得（舍去），
所以；
（2）證明：因?yàn)樗砸C，
即證，即證，
即證，
而顯然成立，所以；
（3）因?yàn)?br>，
所以
，
設(shè)
所以，
則，
作差得
，
所以，
所以.
19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得.
【詳解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;
[方法二]【最優(yōu)解】：
由已知條件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因?yàn)?，所以，所以?br>在中，當(dāng)時(shí)，．
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法
由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)時(shí)顯然成立．
假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即．
那么當(dāng)時(shí)，．
綜上，猜想對(duì)任意的都成立．
即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
（2）
由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，
,
,
當(dāng)n=1時(shí)，,
當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對(duì)于n=1不成立,
∴.
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而替換相除消項(xiàng)得到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，從而證得結(jié)論；
方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；
方法三由，得，由的定義得，進(jìn)而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．
（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得的通項(xiàng)公式；
20．(1)；(2)7.
【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.
【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，
，
從而：，由于公差不為零，故：，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，
則不等式即：，整理可得：，
解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.
【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.
21．（1），；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和
，
，
．
設(shè)， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過(guò)等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法
設(shè)，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；
方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；
方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，
方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.
22．證明過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫(xiě)出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進(jìn)行證明.
選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；
選②③作條件證明①時(shí)，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.
【詳解】選①②作條件證明③：
[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系數(shù)法
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，
則，將代入，
化簡(jiǎn)得對(duì)于恒成立．
則有，解得．所以．
選①③作條件證明②：
因?yàn)?，是等差?shù)列，
所以公差，
所以，即，
因?yàn)椋?br>所以是等差數(shù)列.
選②③作條件證明①：
[方法一]：定義法
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
因?yàn)?，所以，解得或?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.
綜上可知為等差數(shù)列.
[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項(xiàng)公式
因?yàn)?，所以，，因?yàn)橐矠榈炔顢?shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)公式為，所以，，符合題意.
【整體點(diǎn)評(píng)】這類題型在解答題中較為罕見(jiàn)，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選①②時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，平方后得到的關(guān)系式，利用得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到，是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設(shè)出與的公差，寫(xiě)出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，，進(jìn)而得到；選①③時(shí)，按照正常的思維求出公差，表示出及，進(jìn)而由等差數(shù)列定義進(jìn)行證明；選②③時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出的通項(xiàng)公式，利用，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.
23．（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；
(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.
【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：
顯然為偶數(shù)，則，
所以，即，且，
所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
于是．
[方法二]：奇偶分類討論
由題意知，所以．
由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，
數(shù)列從第一項(xiàng)起，
若為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，
若為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．
所以，則．
[方法三]：累加法
由題意知數(shù)列滿足．
所以，
，
則．
所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）[方法一]：奇偶分類討論
．
[方法二]：分組求和
由題意知數(shù)列滿足，
所以．
所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；
同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
從而數(shù)列的前20項(xiàng)和為：
．
【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；
方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；
方法三：寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后累加求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一種更加靈活的思路.
(2)方法一：由通項(xiàng)公式分奇偶的情況求解前項(xiàng)和是一種常規(guī)的方法；
方法二：分組求和是常見(jiàn)的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種不錯(cuò)的選擇.
24．證明見(jiàn)解析.
【分析】先根據(jù)求出數(shù)列的公差，進(jìn)一步寫(xiě)出的通項(xiàng)，從而求出的通項(xiàng)公式，最終得證.
【詳解】∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，滿足，
∴的通項(xiàng)公式為，
∴
∴是等差數(shù)列.
【點(diǎn)睛】在利用求通項(xiàng)公式時(shí)一定要討論的特殊情況.
25．（I），；（II）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析.
【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式；
（II）（i）運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；
（ii）放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得證.
【詳解】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．
所以，所以，
所以；
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
所以，解得（負(fù)值舍去），
所以；
（II）（i）由題意，，
所以，
所以，且，
所以數(shù)列是等比數(shù)列；
（ii）由題意知，，
所以，
所以，
設(shè)，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
最后一問(wèn)考查數(shù)列不等式的證明，因?yàn)闊o(wú)法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號(hào)，再由錯(cuò)位相減法即可得證.
26．（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；
(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列的前2n項(xiàng)和即可.
【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.
由，，可得d=1.
從而的通項(xiàng)公式為.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
從而的通項(xiàng)公式為.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，
故，，
從而，
所以.
(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
對(duì)任意的正整數(shù)n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
從而得：.
因此，.
所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項(xiàng)求和，錯(cuò)位相減求和等，屬于中等題.
27．140里.
【分析】由條件確定，該男子這9天中每天走的路程數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，和前項(xiàng)和公式，列式求解.
【詳解】解：因?yàn)閺牡?天起，每天比前一天多走的路程相同，
所以該男子這9天中每天走的路程數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，
設(shè)該數(shù)列為，第1天走的路程數(shù)為首項(xiàng)，公差為，
則，.
因?yàn)?，?br>所以，解得，
則，
所以該男子第5天走140里.
28．（1）；（2），最小值為–16．
【分析】（1）方法一：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即得結(jié)果；
（2）方法二：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.
【詳解】（1）[方法一]：【通性通法】【最優(yōu)解】 公式法
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，解得：，所以．
[方法二]：函數(shù)+待定系數(shù)法
設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)公式為，易得，由，即，即，解得：，所以．
（2）[方法1]：鄰項(xiàng)變號(hào)法
由可得．當(dāng)，即，解得，所以的最小值為，
所以的最小值為．
[方法2]：函數(shù)法
由題意知，即，
所以的最小值為，所以的最小值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：直接根據(jù)基本量的計(jì)算，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出公差，即可得到通項(xiàng)公式，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；
方法二：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的函數(shù)形式特征，以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，用待定系數(shù)法解方程組求解；
（2）方法一：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，再利用鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值；
方法二：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值．
29．（1）見(jiàn)解析；（2），．
【分析】(1)可通過(guò)題意中的以及對(duì)兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)可通過(guò)(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果．
【詳解】(1)由題意可知，，，，
所以，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，，
因?yàn)椋?br>所以，數(shù)列是首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
30．（1）；
（2）.
【分析】（1）首項(xiàng)設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題的條件，建立關(guān)于和的方程組，求得和的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意有，根據(jù)，可知，根據(jù)，得到關(guān)于的不等式，從而求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
根據(jù)題意有，
解答，所以，
所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）由條件，得，即，
因?yàn)?，所以，并且有，所以有?br>由得，整理得，
因?yàn)椋杂?，即?br>解得，
所以的取值范圍是：
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的求和公式，在解題的過(guò)程中，需要認(rèn)真分析題意，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵.
31．（1）；（2）.
【分析】(1)本題首先可以根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，再然后將其帶入中，并根據(jù)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)以及即可通過(guò)運(yùn)算得出結(jié)果；
(2)本題可以通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)公式得知數(shù)列是等差數(shù)列，最后通過(guò)等差數(shù)列求和公式即可得出結(jié)果．
【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，
所以令數(shù)列的公比為，，，
所以，解得(舍去)或，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，．
(2)因?yàn)?，所以，，?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列求和公式的使用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，是簡(jiǎn)單題．

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