一、單選題
1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，關于該函數(shù)有下列四個說法：
①的最小正周期為；
②在上單調(diào)遞增；
③當時，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（ ）
A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增
5．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（ ）
A．1B．C．D．3
12．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)是
A．奇函數(shù)，且最大值為2B．偶函數(shù)，且最大值為2
C．奇函數(shù)，且最大值為D．偶函數(shù)，且最大值為
13．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）（ ）
A．B．C．D．
14．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（ ）
A．B．
C．D．
15．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
16．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A．B．
C．D．
17．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
18．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（ ）
A．B．C．D．
19．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
20．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）下列命題為真命題的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
21．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：
①的最小正周期為；
②是的最大值；
③把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．
其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
22．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（ Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學中的“割圓術(shù)”相似．數(shù)學家阿爾·卡西的方法是：當正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達式是（ ）．
A．B．
C．D．
23．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．
24．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（ ）
A．B．
C．D．
25．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若α為第四象限角，則（ ）
A．cs2α>0B．cs2α0D．sin2α0)兩個相鄰的極值點，則=
A．2B．
C．1D．
27．（2019·全國·高考真題）下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是
A．f(x)=│cs 2x│B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cs│x│D．f(x)= sin│x│
28．（2019·北京·高考真題）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為
A．4β+4csβB．4β+4sinβC．2β+2csβD．2β+2sinβ
29．（2019·天津·高考真題）已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則
A．B．C．D．
30．（2019·全國·高考真題）函數(shù)f(x)=在[—π，π]的圖像大致為
A．B．
C．D．
31．（2019·全國·高考真題）關于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①f(x)是偶函數(shù) ②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增
③f(x)在有4個零點 ④f(x)的最大值為2
其中所有正確結(jié)論的編號是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
32．（2019·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論：
①在（）有且僅有3個極大值點
②在（）有且僅有2個極小值點
③在（）單調(diào)遞增
④的取值范圍是[)
其中所有正確結(jié)論的編號是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
33．（2018·全國·高考真題）若在是減函數(shù)，則的最大值是
A．B．C．D．
34．（2018·天津·高考真題）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
35．（2018·北京·高考真題）在平面直角坐標系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點P在其中一段上，角以O?為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是
A．B．
C．D．
36．（2018·全國·高考真題）函數(shù)的最小正周期為
A．B．C．D．
37．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)，則
A．的最小正周期為，最大值為
B．的最小正周期為，最大值為
C．的最小正周期為，最大值為
D．的最小正周期為，最大值為
38．（2018·全國·高考真題）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，，且，則
A．B．C．D．
39．（2018·天津·高考真題）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)
A．在區(qū)間 上單調(diào)遞增B．在區(qū)間 上單調(diào)遞減
C．在區(qū)間 上單調(diào)遞增D．在區(qū)間 上單調(diào)遞減
二、多選題
40．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（ ）
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間有兩個極值點
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
41．（2020·海南·高考真題）下圖是函數(shù)y= sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
三、填空題
42．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．
43．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）若，則__________，_________．
44．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）若點關于軸對稱點為，寫出的一個取值為___．
45．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_______________.
46．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．
47．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知，若，則______.
48．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的側(cè)面積（單位：） 為2π，且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是_______．
49．（2020·海南·高考真題）某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直線DE和EF的距離均為7 cm，圓孔半徑為1 cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．
50．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）將函數(shù)y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____.
51．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）關于函數(shù)f（x）=有如下四個命題：
①f（x）的圖象關于y軸對稱．
②f（x）的圖象關于原點對稱．
③f（x）的圖象關于直線x=對稱．
④f（x）的最小值為2．
其中所有真命題的序號是__________．
52．（2019·全國·高考真題）函數(shù)的最小值為___________．
53．（2019·江蘇·高考真題）已知，則的值是_____.
54．（2019·北京·高考真題）函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
55．（2018·江蘇·高考真題）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的值是________．
56．（2018·北京·高考真題）設函數(shù)，若對任意的實數(shù)都成立，則的最小值為__________．
57．（2018·全國·高考真題）函數(shù)在的零點個數(shù)為________．
58．（2018·全國·高考真題）已知，，則__________．
四、解答題
59．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
60．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在上的最大值.
61．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）小明同學用“五點法”作某個正弦型函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象時，列表如下：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求：
（1）實數(shù)，，的值；
（2）該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
62．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（I）求角B的大?。?br>（II）求csA+csB+csC的取值范圍．
63．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，證明：△ABC是直角三角形．
64．（2019·天津·高考真題） 在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
65．（2019·浙江·高考真題）設函數(shù).
（1）已知函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；
（2）求函數(shù) 的值域.
66．（2018·浙江·高考真題）已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求csβ的值．
67．（2018·北京·高考真題）已知函數(shù).
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.
0
0
3
0
-3
0
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假．
【詳解】因為，所以的最小正周期為，①不正確；
令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；
由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．
故選：A．
2．A
【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.
【詳解】令，
則，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
又當時，，所以，排除C.
故選：A.
3．A
【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.
【詳解】因為可得：
當時，，充分性成立；
當時，，必要性不成立；
所以當，是的充分不必要條件.
故選：A.
4．C
【分析】化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出合適的選項.
【詳解】因為.
對于A選項，當時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；
對于B選項，當時，，則在上不單調(diào)，B錯；
對于C選項，當時，，則在上單調(diào)遞減，C對；
對于D選項，當時，，則在上不單調(diào)，D錯.
故選：C.
5．D
【分析】依題意建立平面直角坐標系，設，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，
因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，
設，，
所以，，
所以
，其中，，
因為，所以，即；
故選：D

6．C
【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．
【詳解】解：依題意可得，因為，所以，
要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：
則，解得，即．
故選：C．
7．D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．
【詳解】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．
故選：D.

8．A
【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.
【詳解】設，則，故排除B;
設，當時，，
所以，故排除C;
設，則，故排除D.
故選：A.
9．C
【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出的最小值.
【詳解】由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，
解得，又，故當時，的最小值為.
故選：C.
10．B
【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.
【詳解】解：如圖，連接，
因為是的中點，
所以，
又，所以三點共線，
即，
又，
所以，
則，故，
所以.
故選：B.
11．A
【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.
【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，
又因為函數(shù)圖象關于點對稱，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故選：A
12．D
【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.
【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，
又，
所以當時，取最大值.
故選：D.
13．D
【分析】由題意結(jié)合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【詳解】由題意，
.
故選：D.
14．B
【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；
解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.
【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當?shù)玫降膱D象，
根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，
令,則,
所以,所以；
解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，
第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，
第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，
即為的圖象，所以.
故選：B.
15．A
【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.
【詳解】
，
，，，解得，
，.
故選：A.
【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.
16．C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．
【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；
對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；
對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；
對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當，，D不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關函數(shù)的性質(zhì)即可解出．
17．C
【分析】利用輔助角公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.
【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.
故選：C．
18．A
【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題的真假性，由此確定正確選項.
【詳解】由于，所以命題為真命題；
由于在上為增函數(shù)，，所以，所以命題為真命題；
所以為真命題，、、為假命題.
故選：A．
19．D
【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結(jié)果.
【詳解】結(jié)合圖像易知，，，
則角是第四象限角，
故選：D.
20．D
【分析】本題可通過、、、、得出結(jié)果.
【詳解】A項：因為，所以且是假命題，A錯誤；
B項：根據(jù)、易知B錯誤；
C項：由余弦函數(shù)性質(zhì)易知，C錯誤；
D項：恒大于等于，D正確，
故選：D.
21．B
【分析】對所給選項結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】因為，所以周期，故①正確；
，故②不正確；
將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，
故③正確.
故選：B.
【點晴】本題主要考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移，考查學生的數(shù)學運算能力，邏輯分析那能力，是一道容易題.
22．A
【分析】計算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長，利用它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值可得出結(jié)果.
【詳解】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對應的圓心角為，每條邊長為 ，
所以，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長為，
單位圓的外切正邊形的每條邊長為，其周長為，
，
則.
故選：A.
【點睛】本題考查圓周率的近似值的計算，根據(jù)題意計算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.
23．A
【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關系，即可得出結(jié)論.
【詳解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故選：A.
【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關系求值，熟記公式是解題的關鍵，考查計算求解能力，屬于基礎題.
24．C
【分析】由圖可得：函數(shù)圖象過點，即可得到，結(jié)合是函數(shù)圖象與軸負半軸的第一個交點即可得到，即可求得，再利用三角函數(shù)周期公式即可得解.
【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點，
將它代入函數(shù)可得：
又是函數(shù)圖象與軸負半軸的第一個交點，
所以，解得：
所以函數(shù)的最小正周期為
故選：C
【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.
25．D
【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項是否正確即可.
【詳解】方法一：由α為第四象限角，可得，
所以
此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以
故選：D.
方法二：當時，，選項B錯誤；
當時，，選項A錯誤；
由在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確；
故選：D.
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
26．A
【分析】從極值點可得函數(shù)的周期，結(jié)合周期公式可得.
【詳解】由題意知，的周期，得．故選A．
【點睛】本題考查三角函數(shù)的極值、最值和周期，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取公式法，利用方程思想解題．
27．A
【分析】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．
【詳解】因為圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，故選A．
【點睛】
利用二級結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；
28．B
【分析】由題意首先確定面積最大時點P的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.
【詳解】觀察圖象可知，當P為弧AB的中點時，陰影部分的面積S取最大值，
此時∠BOP=∠AOP=π-β, 面積S的最大值為+S△POB+ S△POA=4β+
.
故選B.
【點睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學應用意識、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學式子變形和運算求解能力，有一定的難度.關鍵觀察分析區(qū)域面積最大時的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.
29．C
【解析】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可．
【詳解】因為為奇函數(shù)，∴；
又
，，又
∴，
故選C．
【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的求值問題，解題關鍵是求出函數(shù)．
30．D
【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選項的區(qū)別，利用特殊值得正確答案．
【詳解】由，得是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱．又．故選D．
【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．
31．C
【分析】化簡函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案．
【詳解】為偶函數(shù)，故①正確．當時，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯誤．當時，，它有兩個零點：；當時，，它有一個零點：，故在有個零點：，故③錯誤．當時，；當時，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④ 正確，故選C．
【點睛】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．
32．D
【分析】本題為三角函數(shù)與零點結(jié)合問題，難度大，通過整體換元得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像分析得出答案．
【詳解】當時，，
∵f（x）在有且僅有5個零點，
∴，
∴，故④正確，
由，知時，
令時取得極大值，①正確；
極小值點不確定，可能是2個也可能是3個，②不正確；
因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案，
當時，，
若f（x）在單調(diào)遞增，
則 ，即 ，
∵，故③正確．
故選D．
【點睛】極小值點個數(shù)動態(tài)的，易錯，③正確性考查需認真計算，易出錯，本題主要考查了整體換元的思想解三角函數(shù)問題，屬于中檔題．
33．A
【詳解】因為，
所以由得
因此，從而的最大值為，故選：A.
34．A
【分析】由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
【詳解】由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：
將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：
.
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，
即，
令可得一個單調(diào)遞增區(qū)間為：.
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，
即，
令可得一個單調(diào)遞減區(qū)間為：，本題選擇A選項.
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
35．C
【詳解】分析：逐個分析A、B、C、D四個選項，利用三角函數(shù)的三角函數(shù)線可得正確結(jié)論.
詳解：由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線.
A選項：當點在上時，，
，故A選項錯誤；
B選項：當點在上時，，，
，故B選項錯誤；
C選項：當點在上時，，，
，故C選項正確；
D選項：點在上且在第三象限，，故D選項錯誤.
綜上，故選C.
點睛：此題考查三角函數(shù)的定義，解題的關鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，找到所對應的三角函數(shù)線進行比較.
36．C
【詳解】分析:將函數(shù)進行化簡即可
詳解：由已知得
的最小正周期
故選C.
點睛：本題主要考查三角函數(shù)的化簡和最小正周期公式，屬于中檔題
37．B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進行化簡，將解析式化簡為，之后應用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關的量，從而得到正確選項.
【詳解】根據(jù)題意有，
所以函數(shù)的最小正周期為，
且最大值為，故選B.
【點睛】該題考查的是有關化簡三角函數(shù)解析式，并且通過余弦型函數(shù)的相關性質(zhì)得到函數(shù)的性質(zhì)，在解題的過程中，要注意應用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結(jié)果.
38．B
【分析】首先根據(jù)兩點都在角的終邊上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函數(shù)的定義式，求得，從而得到，再結(jié)合，從而得到，從而確定選項.
【詳解】由三點共線，從而得到，
因為，
解得，即，
所以，故選B.
【點睛】該題考查的是有關角的終邊上點的縱坐標的差值的問題，涉及到的知識點有共線的點的坐標的關系，余弦的倍角公式，余弦函數(shù)的定義式，根據(jù)題中的條件，得到相應的等量關系式，從而求得結(jié)果.
39．A
【詳解】分析：首先確定平移之后的對應函數(shù)的解析式，然后逐一考查所給的選項是否符合題意即可.
詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：
將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：
.
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，
即，
令可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，選項A正確，B錯誤；
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，
即，
令可得函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為，選項C，D錯誤；
本題選擇A選項.
點睛：本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
40．AD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出．
【詳解】由題意得：，所以，，
即，
又，所以時，，故．
對A，當時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；
對B，當時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；
對C，當時，，，直線不是對稱軸；
對D，由得：，
解得或,
從而得：或,
所以函數(shù)在點處的切線斜率為，
切線方程為：即．
故選：AD．
41．BC
【分析】首先利用周期確定的值，然后確定的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導公式可得正確結(jié)果.
【詳解】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,
不妨令,
當時，，
解得：，
即函數(shù)的解析式為：
.
而
故選：BC.
【點睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：
(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導公式變換使其符合要求.
42．
【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點，即可求出的取值，從而得解；
【詳解】解： 因為，（，）
所以最小正周期，因為，
又，所以，即，
又為的零點，所以，解得，
因為，所以當時；
故答案為：
43．
【分析】先通過誘導公式變形，得到的同角等式關系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來再求．
【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理
∵，∴，即，
即，令，，
則，∴，即，
∴ ，
則.
故答案為：；.
[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關系式解方程
∵，∴，即，
又，將代入得，解得，
則.
故答案為：；.
44．（滿足即可）
【分析】根據(jù)在單位圓上，可得關于軸對稱，得出求解.
【詳解】與關于軸對稱，
即關于軸對稱，
，
則，
當時，可取的一個值為.
故答案為：（滿足即可）.
45．
【分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.
【詳解】由題意可得：，
當時，，
令可得：，
據(jù)此有：.
故答案為：.
【點睛】已知f(x)＝Acs(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：
(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導公式變換使其符合要求.
46．2
【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗證數(shù)值可得.
【詳解】由圖可知，即，所以；
由五點法可得，即；
所以.
因為，；
所以由可得或；
因為，所以，
方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應該滿足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整數(shù)為2.
方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2.
故答案為：2.
【點睛】關鍵點睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關鍵，根據(jù)周期求解，根據(jù)特殊點求解.
47．
【分析】根據(jù)反三角函數(shù)的定義即可求解.
【詳解】因為，，
所以，
故答案為：.
48．
【分析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.
【詳解】設圓錐底面半徑為，母線長為，則
，解得.
故答案為：
【點睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開圖有關計算，屬于基礎題.
49．
【分析】利用求出圓弧所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式求出扇形的面積，求出直角的面積，陰影部分的面積可通過兩者的面積之和減去半個單位圓的面積求得.
【詳解】設，由題意，，所以，
因為,所以，
因為，所以，
因為與圓弧相切于點，所以，
即為等腰直角三角形；
在直角中，，，
因為，所以，
解得；
等腰直角的面積為；
扇形的面積，
所以陰影部分的面積為.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)在實際中應用，把陰影部分合理分割是求解的關鍵，以勞動實習為背景，體現(xiàn)了五育并舉的育人方針.
50．##
【分析】先根據(jù)圖象變換得解析式，再求對稱軸方程，最后確定結(jié)果.
【詳解】
當時
故答案為：
【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、正弦函數(shù)對稱軸，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
51．②③
【分析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對稱性的定義可判斷命題③的正誤；取可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.
【詳解】對于命題①，，，則，
所以，函數(shù)的圖象不關于軸對稱，命題①錯誤；
對于命題②，函數(shù)的定義域為，定義域關于原點對稱，
，
所以，函數(shù)的圖象關于原點對稱，命題②正確；
對于命題③，，
，則，
所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，命題③正確；
對于命題④，當時，，則，
命題④錯誤.
故答案為：②③.
【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.
52．.
【分析】本題首先應用誘導公式，轉(zhuǎn)化得到二倍角的余弦，進一步應用二倍角的余弦公式，得到關于的二次函數(shù)，從而得解.
【詳解】，
，當時，，
故函數(shù)的最小值為．
【點睛】解答本題的過程中，部分考生易忽視的限制，而簡單應用二次函數(shù)的性質(zhì)，出現(xiàn)運算錯誤．
53．.
【分析】由題意首先求得的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.
【詳解】由，
得，
解得，或.
，
當時，上式
當時，上式=
綜上，
【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.
54．.
【分析】將所給的函數(shù)利用降冪公式進行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.
【詳解】函數(shù),周期為
【點睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎題.
55．.
【詳解】分析：由對稱軸得，再根據(jù)限制范圍求結(jié)果.
詳解：由題意可得，所以，因為，所以
點睛：函數(shù)（A>0,ω>0）的性質(zhì)：(1)；
(2)最小正周期；(3)由求對稱軸；(4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間.
56．
【分析】根據(jù)題意取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得的表達式，進而確定其最小值.
【詳解】因為對任意的實數(shù)x都成立，所以取最大值，
所以，
因為，所以當時，取最小值為.
【點睛】函數(shù)的性質(zhì)
（1）.
（2）周期
（3）由求對稱軸，最大值對應自變量滿足，最小值對應自變量滿足，
（4）由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.
57．
【分析】方法一：求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值即得零點個數(shù)．
【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】
由題可知，或
解得,或故有3個零點．
故答案為：．
方法二：
令，即，解得，，分別令，得，所以函數(shù)在的零點的個數(shù)為3．
故答案為：．
【整體點評】方法一：先求出的范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)在該范圍內(nèi)的零點，從而解出，是該題的最優(yōu)解；
方法二：先求出函數(shù)的所有零點，再根據(jù)題中范圍限制，找出符合題意的零點．
58．
【分析】方法一：將兩式平方相加即可解出．
【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】
兩式兩邊平方相加得，．
［方法二］： 利用方程思想直接解出
，兩式兩邊平方相加得，則．
又或，所以．
［方法三］： 誘導公式＋二倍角公式
由，可得，則或．
若，代入得，即．
若，代入得，與題設矛盾．
綜上所述，．
［方法四］：平方關系＋誘導公式
由，得．
又，，即，則．從而．
［方法五］：和差化積公式的應用
由已知得
，則或．
若，則，即．
當k為偶數(shù)時，，由，得，又，所以．
當k為奇數(shù)時，，得，這與已知矛盾．
若，則．則，得，這與已知矛盾．
綜上所述，．
【整體點評】方法一：結(jié)合兩角和的正弦公式，將兩式兩邊平方相加解出，是該題的最優(yōu)解；
方法二：通過平方關系利用方程思想直接求出四個三角函數(shù)值，進而解出；
方法三：利用誘導公式尋求角度之間的關系，從而解出；
方法四：基本原理同方法三，只是尋找角度關系的方式不同；
方法五：將兩式相乘，利用和差化積公式找出角度關系，再一一驗證即可解出，該法稍顯麻煩．
59．(1)；
(2)證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；
（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出．
【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡得：
，故原等式成立．
60．（1）；（2）.
【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）由輔助角公式得，
則，
所以該函數(shù)的最小正周期;
（2）由題意，
，
由可得，
所以當即時，函數(shù)取最大值.
61．（1），，；（2）最大值是3，最小值是.
【分析】（1）利用三角函數(shù)五點作圖法求解，，的值即可.
（2）首先根據(jù)（1）知：，根據(jù)題意得到，從而得到函數(shù)的最值.
【詳解】（1）由表可知，則，
因為，，所以，解得，即，
因為函數(shù)圖象過點，則，即，
所以，，解得，，
又因為，所以.
（2）由（1）可知.
因為，所以，
因此，當時，即時，，
當時，即時，.
所以該函數(shù)在區(qū)間上的最大值是3，最小值是.
62．（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大小；
（II）方法二：結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.
【詳解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
結(jié)合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵為銳角三角形，∴，
∴，
所以，
又B為的一個內(nèi)角，故.
[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角
由，結(jié)合正弦定理可得：
為銳角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因為，并利用余弦定理整理得，
即.
結(jié)合，得.
由臨界狀態(tài)（不妨?。┛芍?
而為銳角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化簡得
故的取值范圍是.
[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)
結(jié)合(1)的結(jié)論有：
.
由可得：，，
則，.
即的取值范圍是.
【整體點評】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過較復雜的代數(shù)恒等變形求得，運算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運算簡潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復雜的余弦定理代入化簡，運算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡潔明快，確定為最優(yōu)解.
63．（1）；（2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)誘導公式和同角三角函數(shù)平方關系，可化為，即可解出；
（2）根據(jù)余弦定理可得，將代入可找到關系，
再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出．
【詳解】（1）因為，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因為，所以，
即①，
又②， 將②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
【點睛】本題主要考查誘導公式和平方關系的應用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎題．
64．(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關系，然后利用余弦定理可得的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.
【詳解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因為，得到，.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
從而，.
故.
【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎知識.考查計算求解能力.
65．（1）；（2）.
【分析】(1)由函數(shù)的解析式結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)即可確定的值；
(2)首先整理函數(shù)的解析式為的形式，然后確定其值域即可.
【詳解】(1)由題意結(jié)合函數(shù)的解析式可得：，
函數(shù)為偶函數(shù)，則當時，，即，結(jié)合可取，相應的值為.
(2)由函數(shù)的解析式可得：
.
據(jù)此可得函數(shù)的值域為：.
【點睛】本題主要考查由三角函數(shù)的奇偶性確定參數(shù)值，三角函數(shù)值域的求解，三角函數(shù)式的整理變形等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
66．（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【分析】分析：（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)誘導公式得結(jié)果，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關系得，最后根據(jù)，利用兩角差的余弦公式求結(jié)果.
【詳解】詳解：（Ⅰ）由角的終邊過點得，
所以.
（Ⅱ）由角的終邊過點得，
由得.
由得，
所以或.
點睛：三角函數(shù)求值的兩種類型
(1)給角求值：關鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).
(2)給值求值：關鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.
①一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應用；
②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的.
67．（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【分析】（I）將化簡整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根據(jù)，可求的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)，可得參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（Ⅰ），
所以的最小正周期為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因為，所以.
要使得在上的最大值為，
即在上的最大值為1.
所以，即.
所以的最小值為.
點睛：本題主要考查三角函數(shù)的有關知識，解題時要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，化簡時要注意特殊角三角函數(shù)值記憶的準確性，及公式中符號的正負.

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