課時跟蹤檢測 （十三）  基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1．[多選]以下運算正確的是(　　)A.′＝  B.(cos x)′＝－sin xC．(2x)′＝2xln 2  D.(lg x)′＝－解析：選BC　因為′＝－，所以A不正確；因為(cos x)′＝－sin x，所以B正確；因為(2x)′＝2xln 2，所以C正確；因為(lg x)′＝，所以D不正確．故選B、C.2．曲線y＝ex在點A(0,1)處的切線方程為(　　)A．y＝x＋1  B.y＝2x＋1C．y＝ex＋1  D.y＝x＋1解析：選A　易得y′＝ex，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得所求切線的斜率k＝y′x＝0＝e0＝1，故所求切線方程為y＝x＋1.3．質(zhì)點沿直線運動的路程s與時間t的關(guān)系是s＝，則質(zhì)點在t＝4時的速度為(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.  D.解析：選B　∵s′＝t－，∴當(dāng)t＝4時，s′＝·＝ .4．若直線y＝x＋b是曲線y＝ln x(x＞0)的一條切線，則實數(shù)b的值為(　　)A．2  B.ln 2＋1C．ln 2－1  D.ln 2解析：選C　∵y＝ln x的導(dǎo)數(shù)y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切點為(2，ln 2)．代入直線y＝x＋b，得b＝ln 2－1.5．[多選]在曲線f(x)＝上切線的傾斜角為的點的坐標可能為(　　)A．(1,1)  B.(－1，－1)C.  D.解析：選AB　因為f(x)＝，所以f′(x)＝－，因為切線的傾斜角為，所以切線斜率為－1，即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1，則當(dāng)x＝1時，f(1)＝1；當(dāng)x＝－1時，f(1)＝－1，故點的坐標為(1,1)或(－1，－1)．6．已知f(x)＝a2(a為常數(shù))，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，則x＝________.解析：因為f′(x)＝0，g′(x)＝，所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.解得x＝1或x＝－，因為x＞0，所以x＝1.答案：17．設(shè)坐標平面上的拋物線C：y＝x2，過第一象限的點(a，a2)作拋物線C的切線l，則直線l與y軸的交點Q的坐標為________．解析：顯然點(a，a2)為拋物線C：y＝x2上的點，∵y′＝2x，∴直線l的方程為y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直線l與y軸的交點的坐標為(0，－a2)．答案：(0，－a2)8．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為________．解析：由題意，知切線l的斜率k＝4.設(shè)切點坐標為(x0，y0)．∵y′＝4x3，∴k＝4x＝4，解得x0＝1，∴切點為(1,1)，∴l的方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.答案：4x－y－3＝09．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝cos2－sin2；(2)y＝ .解：(1)因為y＝cos2－sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x，所以函數(shù)y＝cos2－sin2的導(dǎo)數(shù)是y′＝－sin x.(2)因為y′＝′＝＝x＝，所以函數(shù)y＝ 的導(dǎo)數(shù)是y′＝.10．(1)求曲線y＝在點B(1,1)處的切線方程；(2)求曲線y＝ln x的斜率等于4的切線方程．解：(1)設(shè)所求切線的斜率為k.∵y′＝()′＝x，∴k＝y′x＝1＝，∴曲線y＝在點B(1,1)處的切線方程為y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.(2)設(shè)切點坐標為(x0，y0)．∵y′＝，曲線y＝ln x在點(x0，y0)處的切線的斜率等于4，∴y′＝＝4，得x0＝，∴y0＝－ln 4，∴切點為，∴所求切線方程為y＋ln 4＝4，即4x－y－1－ln 4＝0. 1．若冪函數(shù)f(x)＝mxα的圖象經(jīng)過點A，則它在點A處的切線方程是(　　)A．2x－y＝0  B.2x＋y＝0C．4x－4y＋1＝0  D.4x＋4y＋1＝0解析：選C　因為函數(shù)f(x)＝mxα為冪函數(shù)，所以m＝1.又冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點A，所以α＝，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，所以f(x)的圖象在點A處的切線方程為y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.2．過曲線y＝cos x上一點P且與曲線在點P處的切線垂直的直線的方程為(　　)A．2x－y－＋＝0  B.x＋2y－－1＝0C．2x－y－－＝0  D.x＋2y－＋1＝0解析：選A　∵y＝cos x，∴y′＝－sin x，曲線在點P處的切線斜率是y′＝－sin＝－，∴過點P且與曲線在點P處的切線垂直的直線的斜率為，∴所求直線方程為y－＝，即2x－y－＋＝0.3．已知f(x)＝logax(a>1)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)，記A＝f′(2)，B＝f(3)－f(2)，C＝f′(3)，則(　　)A．A>B>C  B.A>C>BC．B>A>C  D.C>B>A解析：選A　記M(2，f(2))，N(3，f(3)), 則由于B＝f(3)－f(2)＝表示直線MN的斜率，A＝f′(2)表示函數(shù)f(x)＝logax在點M處的切線的斜率，C＝f′(3)表示函數(shù)f(x)＝logax在點N處的切線的斜率．由f(x)的圖象易得A>B>C.4．已知點P在曲線y＝2sincos上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是(　　)A.  B.C.  D.∪解析：選D　∵y＝2sincos＝sin x，∴y′＝cos x．由題意，知曲線在點P處的切線的斜率存在，設(shè)P(x0，y0)，則切線的斜率k＝tan α＝cos x0，∴－1≤tan α≤1.∵0≤α<π，∴α∈∪.故選D.5．已知點A，－1，B(2,1)，函數(shù)f(x)＝log2x.(1)過坐標原點O作曲線y＝f(x)的切線，求切線方程．(2)在曲線y＝f(x)上是否存在點P，使得過點P的切線與直線AB平行？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)設(shè)切點為(m，log2m)(m>0)．因為f(x)＝log2x，所以f′(x)＝.由題意可得＝，解得m＝e，所以切線方程為y－log2e＝(x－e)，即y＝x.(2)過點A，B(2,1)的直線的斜率為kAB＝.假設(shè)存在點P，使得過點P的切線與直線AB平行，設(shè)P(n，log2n)，≤n≤2，則有＝，得n＝.又＝ln <ln 2<ln e＝1，所以<<.所以在曲線y＝f(x)上存在點P，使得過點P的切線與直線AB平行，且點P的橫坐標為.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

5.2 導(dǎo)數(shù)的運算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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