課時(shí)跟蹤檢測(cè) （十七）  函數(shù)的極值1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)有(　　)A．兩個(gè)極大值，一個(gè)極小值B．兩個(gè)極大值，無極小值C．一個(gè)極大值，一個(gè)極小值D．一個(gè)極大值，兩個(gè)極小值解析：選C　由圖可知導(dǎo)函數(shù)f′(x)有三個(gè)零點(diǎn)，依次設(shè)為x1<0，x2＝0，x3>0，當(dāng)x<x1時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x1<x<0時(shí)，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在x＝x1處取得極小值；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x2<x<x3時(shí)，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在x＝x2處無極值；當(dāng)x>x3時(shí)，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在x＝x3處取得極大值，故選C.2．函數(shù)f(x)＝x2－ln x的極值點(diǎn)為(　　)A．0,1，－1  B．C．－  D．，－解析：選B　由已知，得f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.當(dāng)x>時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)0<x<時(shí)，f′(x)<0.所以當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得極小值．從而f(x)的極小值點(diǎn)為x＝，無極大值點(diǎn)，選B.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝xex＋1，則(　　)A．x＝1為f(x)的極大值點(diǎn)B．x＝1為f(x)的極小值點(diǎn)C．x＝－1為f(x)的極大值點(diǎn)D．x＝－1為f(x)的極小值點(diǎn)解析：選D　求導(dǎo)得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)．4．已知函數(shù)f(x)＝2ln x＋ax在x＝1處取得極值，則實(shí)數(shù)a＝(　　)A．－2  B．2C．0  D．1解析：選A　f′(x)＝＋a，若f(x)在x＝1處取得極值，則f′(1)＝2＋a＝0，解得a＝－2.5．已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是(　　)A．(2,3)  B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)  D．(－∞，3)解析：選B　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是(3，＋∞)．6．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a，b的值分別為________．解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，由題意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴∴a＝1，b＝－3.答案：1，－37．函數(shù)y＝的極大值為__________，極小值為__________．解析：y′＝，令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，取極小值－1，當(dāng)x＝1時(shí)，取極大值1.答案：1?。?/span>18．能說明“若f′(0)＝0，則x＝0是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是________．解析：極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)必須為零，且極值點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性相反．函數(shù)f(x)＝x3，當(dāng)x＝0時(shí)，f′(0)＝2×02＝0，但是f(x)＝x3在R上單調(diào)遞增，所以x＝0不是函數(shù)f(x)＝x3的極值點(diǎn)．答案：f(x)＝x3或f(x)＝1(答案不唯一)9．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對(duì)稱，且f′(1)＝0.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值．解：(1)因?yàn)?/span>f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝6x2＋2ax＋b，從而f′(x)＝62＋b－，即f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對(duì)稱，則－＝－，即a＝3.由f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，得b＝－12.(2)由(1)，知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝1.當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－2,1)時(shí)，f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．從而函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，為f(－2)＝21，在x＝1處取得極小值，為f(1)＝－6.10．若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)．已知a，b是實(shí)數(shù)，1和－1是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個(gè)極值點(diǎn)．(1)求a和b的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點(diǎn)．解：(1)由題設(shè)知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.所以g′(x)＝f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根為x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)可能是1或－2.當(dāng)x<－2時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)－2<x<1時(shí)，g′(x)>0，故－2是g(x)的極值點(diǎn)．當(dāng)－2<x<1或x>1時(shí)，g′(x)>0，故1不是g(x)的極值點(diǎn)．所以g(x)的極值點(diǎn)為－2. 1．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－4處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是(　　)解析：選C　由函數(shù)f(x)在x＝－4處取得極小值，可得f′(－4)＝0，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)從左側(cè)趨近－4時(shí)，f′(x)<0；從右側(cè)趨近－4時(shí)，f′(x)>0.故函數(shù)y＝xf′(x)從左側(cè)趨近－4時(shí)，xf′(x)>0；從右側(cè)趨近－4時(shí)，xf′(x)<0.結(jié)合所給的選項(xiàng)可知選C.2．[多選]已知直線y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－x2－3x＋1的圖象相切，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)A.  B．－1C．8  D．－8解析：選AD　f′(x)＝x2－2x－3，令x2－2x－3＝0，可得x＝3或x＝－1.經(jīng)分析可知，它們是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．由直線y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－x2－3x＋1的圖象相切，可知它們只有在極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處相切．由x＝3或x＝－1可得函數(shù)的極值為－8或.故實(shí)數(shù)a的值為－8或.3．若函數(shù)f(x)＝x2ln x(x>0)的極值點(diǎn)為α，函數(shù)g(x)＝xln x2(x>0)的極值點(diǎn)為β，則有(　　)A．α>β  B．α<βC．α＝β  D．α與β的大小不確定解析：選A　因?yàn)?/span>α，β分別為f(x)，g(x)的極值點(diǎn)，f′(x)＝2xln x＋x，g′(x)＝2ln x＋2，所以2αln α＋α＝0,2ln β＋2＝0，解得α＝e－，β＝e－1，所以α>β.4．已知函數(shù)f(x)＝2x3－(6a＋3)x2＋12ax＋16a2(a<0)只有一個(gè)零點(diǎn)x0，且x0<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：f′(x)＝6(x－1)(x－2a)，a<0，當(dāng)x<2a或x>1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)2a<x<1時(shí)，f′(x)<0.故f(x)的極小值為f(1)＝16a2＋6a－1，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x0，且x0<0，所以16a2＋6a－1>0，又a<0，則a<－.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.5．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋b在x＝－2處有極值．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3,3]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解：(1)f′(x)＝x2－2ax，由題意知f′(－2)＝4＋4a＝0，解得a＝－1.∴f′(x)＝x2＋2x.令f′(x)>0，得x<－2或x>0；令f′(x)<0，得－2<x<0.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－2)和(0，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－2,0)．(2)由(1)知，f(x)＝x3＋x2＋b，f(－2)＝＋b為函數(shù)f(x)的極大值，f(0)＝b為函數(shù)f(x)的極小值．∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3,3]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴或或即或或解得－18≤b<－，即實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

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