(建議用時(shí)：40分鐘)
一、選擇題
1．已知函數(shù)f (x)＝eq \f(x2＋sin x,x)，則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)＝( )
A．eq \f(2x＋cs x,x2) B．eq \f(x2＋xcs x－sin x,x2)
C．eq \f(2x＋xcs x－sin x,x2) D．2x－csx
B [由題意可得f ′(x)＝eq \f(?2x＋cs x?x－?x2＋sin x?,x2)＝eq \f(x2＋xcs x－sin x,x2)，故選B.]
2．已知f (x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，則a的值為( )
A．eq \f(19,3) B．eq \f(10,3) C．eq \f(13,3) D．eq \f(16,3)
B [∵f (x)＝ax3＋3x2＋2，∴f ′(x)＝3ax2＋6x，又f ′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝eq \f(10,3).]
3．已知函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)為f ′(x)且滿足f (x)＝2x·f ′(1)＋ln x，則f ′(eq \f(1,e))＝( )
A．eq \f(1,e)－2 B．e－2 C．－1 D．e
B [由題意得：f ′(x)＝2f ′(1)＋eq \f(1,x)，令x＝1得：f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1∴f ′(x)＝－2＋eq \f(1,x)，∴f ′(eq \f(1,e))＝e－2.故選B.]
4．曲線y＝2sin x＋cs x在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為( )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
C [當(dāng)x＝π時(shí)，y＝2sin π＋cs π＝－1，即點(diǎn)(π，－1)在曲線y＝2sin x＋cs x上．∵y′＝2cs x－sin x，∴y′|x＝π＝2cs π－sin π＝－2，則y＝2sin x＋cs x在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故選C.]
5．已知函數(shù)f (x)＝aex＋x＋b，若函數(shù)f (x)在(0，f (0))處的切線方程為y＝2x＋3，則ab的值為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [∵f ′(x)＝aex＋1，∴f ′(0)＝a＋1＝2，解得
a＝1，f (0)＝a＋b＝1＋b＝3，∴b＝2，∴ab＝2.故選B.]
二、填空題
6．已知f (x)＝x2，g(x)＝ln x，若f ′(x)－g′(x)＝1，則x＝________.
1 [因?yàn)閒 (x)＝x2，g(x)＝ln x，所以f ′(x)＝2x，g′(x)＝eq \f(1,x)且x>0，
f ′(x)－g′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq \f(1,2)(舍去)．故x＝1.]
7．曲線C：y＝xln x在點(diǎn)M(e，e)處的切線方程為________．
y＝2x－e [y′＝ln x＋1，y′|x＝e＝ln e＋1＝2，所以切線方程為y－e＝2(x－e)，化簡(jiǎn)得2x－y－e＝0.]
8．水波的半徑以0.5 m/s的速度向外擴(kuò)張，當(dāng)半徑為25 m時(shí)，圓面積的膨脹率是________．
25π [因?yàn)樗ǖ陌霃綌U(kuò)張速度為0.5 m/s，故水波面積為S＝πr2＝π(vt)2＝eq \f(1,4)πt2
故水波面積的膨脹率為S′＝eq \f(1,2)πt.當(dāng)水波的半徑為25時(shí)，
由vt＝25，解得t＝50即可得S′＝eq \f(1,2)π×50＝25π.]
三、解答題
9．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1，1)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令an＝lg eq \f(1,xn)，計(jì)算a1＋a2＋a3＋…＋a2 019.
[解] 因?yàn)閥＝xn＋1，所以y′＝(n＋1)xn，所以曲線在(1，1)處的切線斜率為k＝n＋1，
切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，得x＝eq \f(n,n＋1)，即xn＝eq \f(n,n＋1)，
所以an＝lgeq \f(1,xn)＝lg(n＋1)－lg n，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 019
＝lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋lg 4－lg 3＋…＋lg 2 020－lg 2 019＝lg 2 020＝1＋lg 202.
10．設(shè)f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)f ′(x)滿足f ′(1)＝2a，f ′(2)＝－b，其中常數(shù)a，b∈R.求曲線y＝f (x)在點(diǎn)(1，f (1))處的切線方程．
[解] 因?yàn)閒 (x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f ′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f ′(1)＝3＋2a＋b，又f ′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f ′(2)＝12＋4a＋b，又f ′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－eq \f(3,2).
則f (x)＝x3－eq \f(3,2)x2－3x＋1，從而f (1)＝－eq \f(5,2).
又f ′(1)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝－3，
所以曲線y＝f (x)在點(diǎn)(1，f (1))處的切線方程為y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
11．(多選題)以下四個(gè)式子分別是函數(shù)在其定義域內(nèi)求導(dǎo)，其中正確的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up10(′)＝eq \f(1,x2) B．(cs 2x)′＝－2sin 2x
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,ln 3)))eq \s\up10(′)＝3x D．(lg x)′＝eq \f(－1,xln 10)
BC [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up10(′)＝－eq \f(1,x2)，(cs 2x)′＝－2sin 2x，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,ln 3)))eq \s\up10(′)＝3x，(lg x)′＝eq \f(1,xln 10).故選BC.]
12．(多選題)直線y＝eq \f(1,2)x＋b能作為下列函數(shù)圖象的切線是( )
A．f (x)＝eq \f(1,x) B．f (x)＝x4
C．f (x)＝sin x D．f (x)＝ex
BCD [f (x)＝eq \f(1,x)，故f ′(x)＝－eq \f(1,x2)＝eq \f(1,2)，無解，故A排除；f (x)＝x4，故f ′(x)＝4x3＝eq \f(1,2)，故x＝eq \f(1,2)，即曲線在點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,16)))的切線為y＝eq \f(1,2)x－eq \f(3,16)，B正確；f (x)＝sin x，故f ′(x)＝cs x＝eq \f(1,2)，取x＝eq \f(π,3)，故曲線在點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))的切線為y＝eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)＋eq \f(\r(3),2)，C正確；f (x)＝ex，故f ′(x)＝ex＝eq \f(1,2)，故x＝－ln 2，曲線在點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－ln 2，\f(1,2)))的切線為y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)ln 2＋eq \f(1,2)，D正確．故選BCD.]
13．(一題兩空)已知f (x)＝xex，則f ′(1)＝________；若過點(diǎn)A(a，0)的任意一條直線都不與該曲線C相切，則a的取值范圍是________．
2e (－4，0) [f ′(x)＝(x＋1)ex，∴f ′(1)＝2e，設(shè)點(diǎn)B(x0，x0eeq \s\up10(x0))為曲線C上任意一點(diǎn)．
∵y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，則曲線C在點(diǎn)B處的切線方程為y－x0eeq \s\up10(x0)＝(x0＋1)eeq \s\up10(x0) (x－x0)，根據(jù)題意，切線l不經(jīng)過點(diǎn)A，則關(guān)于x0的方程0－x0eeq \s\up10(x0)＝(x0＋1)eeq \s\up10(x0) (a－x0)，即xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))－aeq \s\up10(x0)－a＝0無實(shí)根．∴Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0.
∴a的取值范圍是(－4，0)．]
14．已知直線y＝kx是曲線y＝3x的切線，則k的值為________.
eln 3
[設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)．因?yàn)閥′＝3xln 3，所以k＝3eq \s\up10(x0)ln 3，所以y＝3eq \s\up10(x0)ln 3·x，
又因?yàn)?x0，y0)在曲線y＝3x上，所以3eq \s\up10(x0)ln 3·x0＝3eq \s\up10(x0)，所以x0＝eq \f(1,ln 3)＝lg3 e.
所以k＝eln 3.]
15．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲線y＝x2上的兩點(diǎn)，
(1)分別求過P點(diǎn)，Q點(diǎn)的曲線y＝x2的切線方程；
(2)求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．
[解] (1)因?yàn)閥′＝2x.P(－1，1)，Q(2，4)都是曲線y＝x2上的點(diǎn)．
過P點(diǎn)的切線的斜率k1＝y(tǒng)′|x＝－1＝－2，過Q點(diǎn)的切線的斜率k2＝y(tǒng)′|x＝2＝4，
過P點(diǎn)的切線方程為y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
過Q點(diǎn)的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)因?yàn)閥′＝2x，直線PQ的斜率k＝eq \f(4－1,2＋1)＝1，
切線的斜率k＝y(tǒng)′|eq \s\d10(x＝x0)＝2x0＝1，所以x0＝eq \f(1,2)，所以切點(diǎn)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，
與PQ平行的切線方程為y－eq \f(1,4)＝x－eq \f(1,2)，即4x－4y－1＝0.
簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(建議用時(shí)：40分鐘)
一、選擇題
1．若f (x)＝exln 2x，則f ′(x)＝( )
A．exln 2x＋eq \f(ex,2x) B．exln 2x－eq \f(ex,x)
C．exln 2x＋eq \f(ex,x) D．2ex·eq \f(1,x)
C [f ′(x)＝exln 2x＋ex×eq \f(2,2x)＝exln 2x＋eq \f(ex,x).]
2．已知函數(shù)f (x)＝2ln(3x)＋8x，則eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f?1－2Δx?－f?1?,Δx)的值為( )
A．10 B．－10 C．－20 D．20
C [∵f (x)＝2ln(3x)＋8x，∴f ′(x)＝eq \f(6,3x)＋8＝8＋eq \f(2,x).根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義知eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f?1－2Δx?－f?1?,Δx)＝－2eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f?1－2Δx?－f?1?,－2Δx)＝－2f ′(1)＝－20.故應(yīng)選C.]
3．已知f (x)＝eq \f(ln x,\r(2x))，則f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( )
A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2 C．2－ln 2 D．2＋ln 2
D [依題意有f ′(x)＝eq \f(\f(1,x)·\r(2x)－\r(2)·\f(1,2\r(x))·ln x,2x)，故f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2＋ln 2,1)＝2＋ln 2，所以選D.]
4．已知函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f (x)＝xln x＋1則曲線y＝f (x)在x＝－1處的切線方程為( )
A．y＝－x B．y＝－x＋2 C．y＝x D．y＝x－2
A [因?yàn)閤＜0，f (x)＝f (－x)＝－xln(－x)＋1，f (－1)＝1，f ′(x)＝－ln(－x)－1，f ′(－1)＝－1，所以曲線y＝f (x)在x＝－1處的切線方程為y－1＝－(x＋1)，即y＝－x.故選A.]
5．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
B [設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是(x0，x0＋1)，依題意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x0＋a)＝1，,x0＋1＝ln?x0＋a?，))
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]
二、填空題
6．若函數(shù)f (x)＝eq \f(ex,?x＋1?2)，則f ′(x)＝________.
eq \f(?x－1?ex,?x＋1?3) [∵f (x)＝eq \f(ex,?x＋1?2)，∴f ′(x)＝eq \f(ex?x＋1?2－ex×2?x＋1?,?x＋1?4)＝eq \f(?x－1?ex,?x＋1?3).]
7．若曲線y＝xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．
(e，e)
[設(shè)P(x0，y0)．∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝1＋ln x.∴k＝1＋ln x0.又k＝2，
∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.∴y0＝eln e＝e.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(e，e)．]
8．已知P為指數(shù)函數(shù)f (x)＝ex圖象上一點(diǎn)，Q為直線y＝x－1上一點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是________．
eq \r(2)
[設(shè)f (x)圖象上斜率為1的切線的切點(diǎn)是P(x0，y0)，由f ′(x)＝ex，f ′(x0)＝eeq \s\up10(x0)＝1，x0＝0，
f (0)＝1，即P(0，1)．P到直線y＝x－1的距離是d＝eq \f(|0－1－1|,\r(2))＝eq \r(2).]
三、解答題
9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝a2x－3；(2)y＝x2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))； (3)y＝e－xln x；(4)y＝eq \f(1,\r(1－2x)).
[解] (1)因?yàn)閥＝a2x－3，所以y′＝a2x－3ln a·(2x－3)′＝2a2x－3ln a.
(2)因?yàn)閥＝x2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
所以y′＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋x2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))′＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－x2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))′
＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2x2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(3)因?yàn)閥＝e－xln x，
所以y′＝(e－x)′ln x＋e－x·eq \f(1,x)＝－e－xln x＋eq \f(e－x,x)＝eq \f(1－xln x,xex).
(4)因?yàn)閥＝eq \f(1,\r(1－2x))＝(1－2x)eq \s\up10(－eq \f(1,2))，所以y′＝－eq \f(1,2)(1－2x)eq \s\up10(－eq \f(3,2))×(－2)＝eq \f(1,?1－2x?\r(1－2x)).
10．曲線y＝esin x在(0，1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為eq \r(2)，求直線l的方程．
[解] ∵y＝esin x，∴y′＝esin xcs x，∴y′|x＝0＝1.
∴曲線y＝esin x在(0，1)處的切線方程為y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直線l與x－y＋1＝0平行，故可設(shè)直線l為x－y＋m＝0.
由eq \f(|m－1|,\r(1＋?－1?2))＝eq \r(2)得m＝－1或3.
∴直線l的方程為：x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
11．(多選題)下列結(jié)論中不正確的是( )
A．若y＝cseq \f(1,x)，則y′＝－eq \f(1,x)sineq \f(1,x)
B．若y＝sin x2，則y′＝2xcs x2
C．若y＝cs 5x，則y′＝－sin 5x
D．若y＝eq \f(1,2)xsin 2x，則y′＝xsin 2x
ACD [對(duì)于A，y＝cseq \f(1,x)，則y′＝eq \f(1,x2)sineq \f(1,x)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B，y＝sin x2，則y′＝2xcs x2，故正確；
對(duì)于C，y＝cs 5x，則y′＝－5sin 5x，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，y＝eq \f(1,2)xsin 2x，則y′＝eq \f(1,2)sin 2x＋xcs 2x，故錯(cuò)誤．故選ACD]
12．曲線y＝e－2x＋1在點(diǎn)(0，2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．1
A [依題意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
曲線y＝e－2x＋1在點(diǎn)(0，2)處的切線方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐標(biāo)系中作出直線y＝－2x＋2、y＝0與y＝x的圖象，因?yàn)橹本€y＝－2x＋2與y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，直線y＝－2x＋2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，0)，結(jié)合圖象可得，這三條直線所圍成的三角形的面積等于eq \f(1,2)×1×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).]
13．(一題兩空)設(shè)函數(shù)f (x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)(0＜φ＜π)，若f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)π))＝eq \f(\r(3),2)，則φ＝________；若f (x)＋f ′(x)是奇函數(shù)，則φ＝________.
eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) eq \f(π,6)
[f ′(x)＝－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)．由條件知，f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)π))＝－eq \r(3)sin(π＋φ)＝eq \r(3)sin φ＝eq \f(\r(3),2)，
∴sin φ＝eq \f(1,2)，∵0＜φ＜π，∴φ＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6).
又f (x)＋f ′(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋φ＋\f(5π,6))).
若f (x)＋f ′(x)為奇函數(shù)，則f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(5π,6)))，
∴φ＋eq \f(5π,6)＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f(π,6).]
14．設(shè)P是曲線y＝x－eq \f(1,2)x2－ln x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記此曲線在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ，則θ的取值范圍是________．
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))) [由y＝x－eq \f(1,2)x2－ln x，得y′＝1－x－eq \f(1,x)(x＞0)，
∵1－x－eq \f(1,x)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≤1－2eq \r(x·\f(1,x))＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立．
∴y′≤－1，即曲線在P點(diǎn)處的切線的斜率小于或等于－1，
∴tan θ≤－1，又θ∈[0，π)，∴θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).]
15．設(shè)函數(shù)f (x)＝aexln x＋eq \f(bex－1,x).
(1)求導(dǎo)函數(shù)f ′(x)；
(2)若曲線y＝f (x)在點(diǎn)(1，f (1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
[解] (1)由f (x)＝aexln x＋eq \f(bex－1,x)，得f ′(x)＝(aexln x)′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bex－1,x)))eq \s\up10(′)＝aexln x＋eq \f(aex,x)＋eq \f(bex－1x－bex－1,x2).
(2)由于切點(diǎn)既在曲線y＝f (x)上，又在切線y＝e(x－1)＋2上，
將x＝1代入切線方程得y＝2，將x＝1代入函數(shù)f (x)得f (1)＝b，∴b＝2.
將x＝1代入導(dǎo)函數(shù)f ′(x)中，得f ′(1)＝ae＝e，∴a＝1.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)電子課本

5.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第二冊(cè)

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