課時跟蹤檢測 （十五）  簡單復合函數(shù)的導數(shù)1．函數(shù)y＝exsin 2x的導數(shù)為(　　)A．y′＝2excos 2xB．y′＝ex(sin 2x＋2cos 2x)C．y′＝2ex(sin 2x＋cos 2x)D．y′＝ex(2sin 2x＋cos 2x)解析：選B　由題意結(jié)合導數(shù)的運算法則可得y′＝(ex)′·sin 2x＋ex·(sin 2x)′＝ex(sin 2x＋2cos 2x)．故選B.2．某市在一次降雨過程中，降雨量y(mm)與時間t(min)的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝f(t)＝，則在時刻t＝40 min的降雨強度為(　　)A．20 mm  B.400 mmC. mm/min  D. mm/min解析：選D　∵f′(t)＝·10＝，∴f′(40)＝＝.3．(2020·重慶一中期末)設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x的導函數(shù)是f′(x)，且f′(x)是奇函數(shù)，則a的值為(　　)A．1  B.－C.  D.－1解析：選A　f′(x)＝ex－ae－x，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1.4．若f(x)＝a－2＋asin 2x為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在x＝0處的切線的斜率為(　　)A．－2  B.－4C．2  D.4解析：選D　∵f(x)是奇函數(shù)，∴a－2＝0，得a＝2，∴f(x)＝2 sin 2x，f′(x)＝4cos 2x，∴f′(0)＝4.∴曲線y＝f(x)在x＝0處的切線的斜率為4.故選D.5．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為(　　)A．1  B.2C．－1  D.－2解析：選B　設(shè)直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)的切點為(x0，y0)，則y0＝1＋x0.又y′＝，所以y′＝＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，則x0＝－1，所以a＝2.6．已知函數(shù)f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，則f′＝________.解析：∵f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，∴f′＝1.答案：17．若f(x)＝且f′(1)＝2，則a的值為________．解析：∵f(x)＝(ax2－1)，∴f′(x)＝(ax2－1)·(ax2－1)′＝ .又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2.答案：28．函數(shù)y＝2cos2x在x＝處的切線斜率為________．解析：由函數(shù)y＝2cos2x＝1＋cos 2x，得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，所以函數(shù)在x＝處的切線斜率為－2sin＝－1.答案：－19．求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝sin(2x－1)；(2)y＝x·e2x＋1.解：(1)∵y＝sin(2x－1)由y＝sin u與u＝2x－1復合而成，∴yx′＝(sin u)′·(2x－1)′＝2cos u＝2cos(2x－1)．(2)y′＝(x·e2x＋1)′＝x′·e2x＋1＋x·(e2x＋1)′＝e2x＋1＋x·e2x＋1·(2x＋1)′＝e2x＋1(1＋2x)．10．求曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離．解：設(shè)直線l與曲線y＝ln(2x－1)相切于點P(x0，y0)，且與直線2x－y＋3＝0平行．由直線l的斜率k＝＝2，得x0＝1，所以P(1,0)，因此直線l的方程為2x－y－2＝0.直線l與直線2x－y＋3＝0的距離為d＝＝，所以曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是. 1．設(shè)f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f1＋n(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2 020(x)＝(　　)A．22 020(cos 2x－sin 2x)B．22 020(－sin 2x－cos 2x)C．22 020(sin 2x＋cos 2x)D．22 020(－cos 2x＋sin 2x)解析：選C　∵f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，∴f1(x)＝f′0(x)＝2(cos 2x－sin 2x)，f2(x)＝f′1(x)＝22(－sin 2x－cos 2x)，f3(x)＝f′2(x)＝23(－cos 2x＋sin 2x)，f4(x)＝f′3(x)＝24(sin 2x＋cos 2x)，通過以上可以看出fn(x)滿足以下規(guī)律：對任意n∈N，fn＋4(x)＝24fn(x)．故f2 020(x)＝f505×4(x)＝22 020(sin 2x＋cos 2x)．2．函數(shù)y＝xe1－2x的導數(shù)y′＝____________.解析：y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x.答案：(1－2x)e1－2x3．若直線y＝kx＋b是曲線y＝ln x＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝________.解析：函數(shù)y＝ln x＋2的導函數(shù)為y′＝，函數(shù)y＝ln(x＋1)的導函數(shù)為y′＝.設(shè)曲線y＝ln x＋2和曲線y＝ln(x＋1)上的切點橫坐標分別為m，n，則該直線方程可以寫成y＝·(x－m)＋ln m＋2，也可以寫成y＝(x－n)＋ln(n＋1)．整理后對比得解得因此b＝1－ln 2.答案：1－ln 24．曲線y＝e2xcos 3x在(0,1)處的切線與l的距離為，求l的方程．解：由題意知y′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′＝2e2xcos 3x＋3(－sin 3x)·e2x＝2e2xcos 3x－3e2xsin 3x，所以曲線在(0,1)處的切線的斜率為k＝y′|x＝0＝2.所以該切線方程為y－1＝2x，即y＝2x＋1.設(shè)l的方程為y＝2x＋m，則d＝＝.解得m＝－4或m＝6.當m＝－4時，l的方程為y＝2x－4; 當m＝6時，l的方程為y＝2x＋6.綜上，可知l的方程為y＝2x－4或y＝2x＋6.5．求曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積．解：依題意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′x＝0＝－2e－2×0＝－2.所以曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線方程是y －2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐標系中作出直線y＝－2x＋2、y＝0與y＝x的圖象，因為直線y＝－2x＋2與y＝x的交點坐標是，直線y＝－2x＋2與x軸的交點坐標是(1,0)，結(jié)合圖象可得，這三條直線所圍成的三角形的面積等于×1×＝.

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高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

5.2 導數(shù)的運算

版本： 人教A版 (2019)

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