專題27.36 相似三角形幾何模型-雙垂線等角（知識(shí)講解）【非共頂點(diǎn)雙垂線等角模型】【雙垂線共頂點(diǎn)等角模型】【雙垂線共頂點(diǎn)等角模型拓展】     【典型例題】類型一、非共頂點(diǎn)雙垂線等角模型1．如圖，在中，CD是斜邊AB上的高．求證：．【分析】根據(jù)兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明即可．解：證明：如圖，∵在中，CD是斜邊AB上的高∴∵是公共角∴．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，準(zhǔn)確運(yùn)用進(jìn)行推理證明．舉一反三【變式1】（1）問題情境：如圖1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我們可以利用與相似證明AC2＝AD?AB，這個(gè)結(jié)論我們稱之為射影定理，試證明這個(gè)定理．（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O是對角線AC，BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明．【分析】（1）由AA證明，再結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解題；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)及射影定理解得BC2＝BO?BD，BC2＝BF?BE，再運(yùn)用SAS證明△BOF∽△BED即可．證明：（1）如圖1，（2）如圖2，∵四邊形ABCD為正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO?BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF?BE，∴BO?BD＝BF?BE，即，而∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED．【點(diǎn)撥】本題考查射影定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式2】【問題情境】如圖1，在中，，垂足為D，我們可以得到如下正確結(jié)論：①；②；③，這些結(jié)論是由古?？嶂麛?shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》最先提出的，我們稱之為“射影定理”，又稱“歐幾里德定理”．(1)請證明“射影定理”中的結(jié)論③．(2)【結(jié)論運(yùn)用】如圖2，正方形的邊長為6，點(diǎn)O是對角線、的交點(diǎn)，點(diǎn)E在上，過點(diǎn)C作，垂足為F，連接．① 求證：．② 若，求的長．【答案】(1)見分析；(2)①見分析；②．【分析】（1）由AA證明，再由相似三角形對應(yīng)邊稱比例得到，繼而解題；（2）①由“射影定理”分別解得，，整理出，再結(jié)合即可證明；②由勾股定理解得，再根據(jù)得到，代入數(shù)值解題即可．(1)證明：(2)①四邊形ABCD是正方形②在中，在，．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的綜合題，涉及勾股定理、正方形等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．類型二、雙垂線共頂點(diǎn)等角模型2．如圖，已知CD為Rt△ABC斜邊上的中線，過點(diǎn)D作AC的平行線，過點(diǎn)C作CD的垂線，兩線相交于點(diǎn)E． 求證：△ABC∽△DEC.【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出CD=AD，進(jìn)而可得出∠A=∠ACD，由平行線的性質(zhì)可得出∠CDE=∠ACD=∠A，再結(jié)合∠ACB=∠DCE=90°，即可證出△ABC∽△DEC.解：∵CD為Rt△ABC斜邊上的中線，∴.∴.∵DE∥AC. ∴. ∴. ∵，CE⊥CD， ∴ .∴△ABC∽△DEC.【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，解題關(guān)鍵是找出證明三角形相似的條件.舉一反三【變式1】如圖，在矩形中，，點(diǎn)E是邊上的任一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)D，C），過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F，設(shè)．(1)  求的長（用含a的代數(shù)式表示）；(2)  連接交于點(diǎn)G，連接，當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)(2)見詳解【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，然后可證，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解；（2）如圖，連接AC，由題意易證四邊形是平行四邊形，然后可得，進(jìn)而可證，則可證，最后問題可求證．(1)解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴；(2)證明：由題意可得如圖所示：連接AC，在矩形中，，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)及菱形的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)及菱形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖①，在正方形中，，為對角線上任意一點(diǎn)（不與重合），連接，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn).（1）求證：；（2）若，求證：；（3）如圖②，連接交于點(diǎn)．若，求的值．【答案】（1）見分析；（2）見分析；（3）.【分析】(1)如圖，過分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，先證明四邊形是正方形，繼而證明，即可得結(jié)論；(2)由(1)得，，根據(jù)比例線段可得，，再根據(jù)可得，從而求得AN、BN長即可得結(jié)論；(3)把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，進(jìn)而可推導(dǎo)得出，，證明是等腰直角三角形，繼而證明，可得MG=HG，根據(jù)題意設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可求得，再結(jié)合正方形的性質(zhì)可求得a的值，繼而證明， 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得答案.解：(1)如圖，過分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，四邊形是正方形，，，，平行四邊形是正方形，，，，，，，；(2)由(1)得：，，，，，，，，，；(3)把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，，，.，，，，是等腰直角三角形，，，，，，設(shè)，則，在中，，則，正方形的邊長為，，，，，，，，， ，.【點(diǎn)撥】本題考查的是四邊形的綜合題，涉及了正方形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，正確把握相關(guān)的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.類型三、雙垂線共頂點(diǎn)等角模型拓展3．如圖，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求證：△ABC∽△ADE．【分析】由∠EAC＝∠DAB，可推出∠BAC=∠DAE，再由∠B=∠D，即可證明△ABC∽△ADE．解：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠DAC=∠DAB+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，又∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．舉一反三【變式1】（1）已知線段線段c是線段和b的比例中項(xiàng)，求線段c的長．（2）如圖所示，在和中，．①寫出圖中兩對相似三角形（不得添加字母和線）．②請寫出其中一對三角形相似理由．【答案】（1）6cm；（2）①△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；②見分析【分析】（1）根據(jù)線段比例中項(xiàng)的概念得出a：c=c：b，再根據(jù)a=4cm，b=9cm，求出c的值，注意把負(fù)值舍去．（2）①根據(jù)有兩組對角對應(yīng)相等的三角形相似可得出△ABC∽△ADE，再由兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得出△ABD∽△ACE；②由①中可得對應(yīng)線段成比例，又根據(jù)其對應(yīng)角相等，即可判定其相似．解：（1）∵線段c是線段a和b的比例中項(xiàng)，a=4cm，b=9cm，∴c2=ab=36，解得：c=±6，又∵線段是正數(shù)，∴c=6cm．（2）①由題意可得：△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；②證明：∵，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，又∵，∴△ABC∽△ADE，∴，∴AB×AE=AC×AD，∴，∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，E為△ABC外一點(diǎn)，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4．求證：（1）△ABD∽△CBE；   （2）△ABC∽△DBE． 【分析】（1）根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△ABD∽△CBE；（2）先利用得到∠1=∠2得到∠ABC=∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得 , 根據(jù)比例的性質(zhì)得到 , 然后根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△ABC與△DBE相似．解：（1）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4．∴△ABD∽△CBE；（2）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBC=∠2+DBC，即∠ABC=∠DBE，∵△ABD∽△CBE，∴=，∴=，∴△ABC∽△DBE．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形相似的判定，熟練掌握三角形相似的判定方法是解題關(guān)鍵．
 

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27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例

版本： 人教版

年級(jí)： 九年級(jí)下冊

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