人教版九年級(jí)下冊(cè)27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題

這是一份人教版九年級(jí)下冊(cè)27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題，共29頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
專(zhuān)題27.37 相似三角形幾何模型-雙垂線等角（基礎(chǔ)篇）（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，在△中，，垂足為，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（       ）A．B．C．D．2．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度得到△AB'C'，連接BB'、CC'，則BB'：CC'等于（　?。?/span>A．AB：AC B．BC：ACC．AB：BC D．AC：AB3．如圖，在中，，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則圖中與相似的三角形有（       ）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，一直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，這塊三角板饒點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊始終與邊分別相交于，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與的關(guān)系是（ ）A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．無(wú)法判斷5．如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合），DE與AB相交于點(diǎn)F，那么與△BFD相似的三角形是（　　?。?/span>A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．6．如圖，在△ABC與△ADE中， ，添加下列條件，不能得到△ABC與△ADE相似的是(　　)A． B． C． D．7．如圖所示，△ABC中，AD⊥BC于D，對(duì)于下列中的每一個(gè)條件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)8．如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，CD=6，BD=4，則AB的長(zhǎng)為（       ）A．11 B．12 C．13 D．149．如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的長(zhǎng)為（　?。?/span>A．4 B．5 C．6 D．710．如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使∽，則的長(zhǎng)是（       ）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，∠1＝∠2，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：________________，使△ABC∽△ADE．12．如圖，∠DAB=∠CAE，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：________________，使△ABC∽△ADE．13．如圖，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一種即可）．14．如圖，若，則．15．如圖，，請(qǐng)補(bǔ)充—個(gè)條件：___________，使（只寫(xiě)一個(gè)答案即可）．16．如圖，點(diǎn)是四邊形的對(duì)角線上一點(diǎn)，且．從圖中找出對(duì)相似三角形，它們是________．17．如圖，在和中，，，則的度數(shù)為_____．18．如圖，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝，那么BC＝_______．19．直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：，，，，則______（填“＞”、“＝”、“＜”中的一個(gè)）．20．如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)在上，、分別交、于點(diǎn)、，繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)．當(dāng)時(shí)，的值為________；當(dāng)時(shí)，為________．（用含的式子表示） 三、解答題21．如圖，中，CD是斜邊AB上的高．求證：（1）；（2）． 22．如圖，已知CD為Rt△ABC斜邊上的中線，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，過(guò)點(diǎn)C作CD的垂線，兩線相交于點(diǎn)E． 求證：△ABC∽△DEC.    23．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在Rt中，，點(diǎn)D為斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)時(shí)，把線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE，BE．①的度數(shù)為______；②探究發(fā)現(xiàn)AD和BE有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的探究過(guò)程；(2)探究證明：如圖2，當(dāng)時(shí)，把線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后并延長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍，記為線段CE．①在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)判斷AD與BE有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；②若，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)的形狀為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)的面積．       24．（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形ABCD上，使直角頂點(diǎn)與D重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．則DP        DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變．①如圖2，若PQ＝5，求AP長(zhǎng)．②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長(zhǎng)為        ．     25．如圖，在周長(zhǎng)為16的正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F分別在邊AB，BC上，且∠EOF＝90°，連接EF交OB于M．(1)求證：△BOE≌△COF；(2)當(dāng)BE＝1時(shí)，求OB?OM的值．    26．（1）如圖，RtABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，E、F分別為AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF＝90°．求證：DE＝DF；（2）如圖2，RtABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．①求證：DF?DA＝DB?DE；②求EF的最小值．            參考答案1．B【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定可知△ADC∽△CDB∽△ACB，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例即可求解.解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ADC∽△CDB∽△ACB∴AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，故，A正確，B錯(cuò)誤；∵△ADC∽△CDB∴∴，,C,D選項(xiàng)正確；故選B.【點(diǎn)撥】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定.2．A【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，則可判斷△ABB′∽△ACC′，然后利用相似三角形的性質(zhì)可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．解：∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度得到△AB'C'，∴∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，∴△ABB′∽△ACC′，∴．故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．3．D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理，利用已知條件判定相似的三角形．解：∵DE⊥BC，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝∠EDC＝∠BCD∴△CAD∽△DCE∽△BDE∽△BCD∽△ABC∴共有四個(gè)三角形與Rt△ABC相似．有四個(gè)，分別是△DCE，△ACD，△CDE，△CBD，．故選D．【點(diǎn)撥】此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定方法的掌握情況，是證明相似的關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)已知條件可得出，，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得出，從而可判定兩三角形一定相似．解：由已知條件可得，，∵，∴，∵，∴，繼而可得出，∴．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定定理，靈活利用三角形內(nèi)角和定理以及余角定理是解此題的關(guān)鍵．5．C【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得再利用公共角可得答案．解： △ABC與△BDE都是等邊三角形， 故選C．【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定方法是解題的關(guān)鍵．6．B解：A選項(xiàng)：∵∠E=∠C，∠B=∠D，∴△ADE∽△ABC；B選項(xiàng)：∵∠B與∠D不是AE、DE以及AC、BC的夾角，∴不能證明△ADE∽△ABC；C選項(xiàng)：∵，∠B=∠D，∴△ADE∽△ABC；D選項(xiàng)：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，又∵∠B=∠D，∴△ADE∽△ABC.故選B.點(diǎn)睛：相似三角形的判定：（1）有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；（2）有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則這兩個(gè)三角形相似.7．A【分析】根據(jù)已知對(duì)各個(gè)條件進(jìn)行分析，從而得到答案．解：①不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴無(wú)法證明△ABC是直角三角形；②能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B=∠DAC，∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=∠B+∠BAD=90°；∴△ABC是直角三角形；③能，∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠ADC=90°，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∴∠B=∠DAC， 由②得△ABC是直角三角形；④能，∵AB2=BD?BC，∴，又∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴△ABC一定是直角三角形．綜上，②③④都能判定△ABC是直角三角形，共有3個(gè)．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是通過(guò)計(jì)算角相等和邊成比例，判斷出兩個(gè)三角形是否相似，進(jìn)而判斷出是否為直角．8．C【分析】由是Rt△斜邊上的高，可得∠ADC=∠BDC=90°，可證△ACD∽△CBD，可得，求出AD,再求AB．解：∵是Rt△斜邊上的高，∴CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴，∴，∴AD=9，∴AB=AD+BD=9+4=13．故選擇：C．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解相似三角形性質(zhì)．9．A【分析】先證明，列出，進(jìn)而即可求解．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC=∠C=90°，又∵∠A=∠A，∴，∴，即：，∴AC=4（負(fù)值舍去），故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．10．A【分析】是的中點(diǎn)可求得，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得，可得的長(zhǎng)即可求解．解：∵是的中點(diǎn)，，∴，又∵∽，，即，解得，，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形相似的性質(zhì)，掌握三角形相似的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．11．∠C＝∠E或∠B＝∠ADE(答案不唯一）【分析】再添加一組角可以利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)進(jìn)行判定．解：∵∠1＝∠2∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2∴∠BAC＝∠DAE又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE）∴△ABC∽△ADE．故答案為：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的幾個(gè)判定定理是關(guān)鍵．12．∠D=∠B（答案不唯一）【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理再補(bǔ)充一個(gè)相等的角即可．解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴當(dāng)∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD?AC=AB?AE時(shí)△ABC∽△ADE．故答案為：∠D=∠B（答案不唯一）．13．∠DAE=∠BAC（不唯一）【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理解答即可．解：根據(jù)“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”可得：∠DAE=∠BAC．故答案是∠DAE=∠BAC（不唯一）．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定，掌握“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”和“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”是解答本題的關(guān)鍵．14．DE【分析】結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求解解：（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）故答案是：DE【點(diǎn)撥】本題主要考察相似三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)理解題，難度不大．解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)和相似三角形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．注意：在相似三角形中，用相似符號(hào)（）連接的兩個(gè)三角形，則相同位置的頂點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．15．∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD?AC=AB?AE（填一個(gè)即可）．【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，已知一組角相等則再添加一組相等的角或夾該角的兩個(gè)邊對(duì)應(yīng)成比例即可推出兩三角形相似．解：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，∴當(dāng)∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD?AC=AB?AE時(shí)兩三角形相似．故答案為：∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD?AC=AB?AE(填一個(gè)即可)．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所組成的三角形與原三角形相似．16．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和，由∠BAC=∠BDC得到∠ABD=∠ACD，再利用等量加等量和相等，由∠BAC=∠DAE得到∠CAD=∠BAE，根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可判斷△AEB∽△ADC，利用相似的性質(zhì)得=，利用比例性質(zhì)得=，加上∠BAC=∠DAE，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可判斷△ADE～△ACB．解：如圖：∵∠BAC=∠BDC，而∠1=∠2，∴∠ABD=∠ACD，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠3=∠DAE+∠3，即∠CAD=∠BAE，∴△AEB∽△ADC，∴=，∴=，∵∠BAC=∠DAE，∴△ADE～△ACB．故答案為△AEB∽△ADC；△ADE～△ACB．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵.17．40°##40度【分析】由可得，根據(jù)即可求解；解：∵，∴，∴，∵，，∴，故答案為：40°．【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)及證明，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．【分析】證明△BCD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．19．＝【分析】分別根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出各條線段的長(zhǎng)度，再判斷△AOB和△COD是否相似即可解答；解：OA=，OB=，AB= ，OC=，OD= ，CD= ；∴ ∴ ∴△AOB∽△COD，∴∠AOB＝∠COD，故答案為：=.【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉并靈活應(yīng)用相似三角形的判定以及性質(zhì)解決問(wèn)題．20．     ,     如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由條件可以表示出HO、GO的值，通過(guò)證明△PHO∽△QGO由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°．∵∠ACB=90°，∴四邊形HCGO為矩形，∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴．∵，設(shè)OA=x，則OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x．在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案為．21．（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明即可．（2）根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明即可．證明：（1）∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．（2）∵CD是斜邊AB上的高，∴∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定定理；熟記有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．見(jiàn)分析【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出CD=AD，進(jìn)而可得出∠A=∠ACD，由平行線的性質(zhì)可得出∠CDE=∠ACD=∠A，再結(jié)合∠ACB=∠DCE=90°，即可證出△ABC∽△DEC.解：∵CD為Rt△ABC斜邊上的中線，∴.∴.∵DE∥AC. ∴. ∴. ∵，CE⊥CD， ∴ .∴△ABC∽△DEC.【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，解題關(guān)鍵是找出證明三角形相似的條件.23．(1)①，②，證明見(jiàn)分析(2)①，證明見(jiàn)分析；②或或8【分析】（1）①②證明，即可求解；（2）①證明，即可求解；②根據(jù)，可得當(dāng)△CBE是等腰三角形時(shí)，△ACD也是等腰三角形，且，然后分三種情況討論：若AC=CD=2，若AD=AC=2，若AD=CD，即可求解．(1)解：①∵，∴∠CAD=∠ABC，∵，∴∠CAD=∠ABC=45°，∵線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE∴，，∵，，∴，∴，∴，②，理由如下：∵線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE∴，，∵，，∴，∴，∴．(2)解：①．理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；②由①得：，∴當(dāng)△CBE是等腰三角形時(shí)，△ACD也是等腰三角形，且，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，∵AC=2，BC=2AC，∴BC=4，∴，∵，∴，∴，若AC=CD=2，此時(shí)AD=2AP=，∴，∴；若AD=AC=2，，∴；若AD=CD，如圖，若AD=CD，設(shè)AD=CD=x，則，∵，∴，解得：即，∴，∴；綜上所述，當(dāng)的形狀為等腰三角形時(shí)，的面積為或或8；【點(diǎn)撥】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．24．（1）＝；（2）①1，②【分析】（1）先證明△ADP≌△CDQ，即可求解；（2）①先證明△ADP∽△CDQ，可得＝＝＝ ，設(shè)AP＝x，則CQ＝2x，再由勾股定理，即可求解；②過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DP交DP延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BF⊥DQ于點(diǎn)F，根據(jù)△ADP∽△CDQ，可得∠APD=∠Q，＝＝＝ ，從而得到∠BPE=∠Q，再由角平分線的性質(zhì)定理可得BE=BF，進(jìn)而證得△BEP≌△BFQ，得到BP=BQ，從而得到，再由勾股定理，即可求解．解：（1）在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，∵∠PDQ=90°，∴∠PDQ=∠ADC=90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP=∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ；故答案為∶= （2）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．∵∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ．又∵∠A＝∠DCQ＝90°．∴△ADP∽△CDQ，∴＝＝＝ ，設(shè)AP＝x，則CQ＝2x，∴PB＝4－x，BQ＝2＋2x．由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2＋BQ2＝PQ2，代入得（4－x）2＋（2＋2x）2＝52，解得x＝1，即AP＝1．∴AP的長(zhǎng)為1．②如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DP交DP延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BF⊥DQ于點(diǎn)F，由①得：△ADP∽△CDQ，∴∠APD=∠Q，＝＝＝ ，∴CQ=2AP，∵∠APD=∠BPE，∴∠BPE=∠Q，∵BD平分∠PDQ，BE⊥DE，BF⊥DQ，∴BE=BF，∵∠E=∠BFQ=90°，∴△BEP≌△BFQ，∴BP=BQ，設(shè)AP=m，則BQ=BP=4-m，CQ=2m，∴2+2m=4-m，解得：，即，∴【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．25．(1)見(jiàn)分析(2)5【分析】（1）由“ASA”可證△BOE≌△COF；（2）通過(guò)證明△EOM∽△BOE，可得OE2=OB?OM，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AO=CO=BO=DO，AC⊥BD，∠ABD=∠ACB=45°，∴∠BOC=∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA）；(2)∵△BOE≌△COF，∴OE=OF，∴∠OEF=45°，∴∠ABO=∠OEF，又∵∠BOE=∠BOE，∴△EOM∽△BOE，∴，∴OE2=OB?OM，如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，∵正方形ABCD的周長(zhǎng)為16，∴AB=4，∵OA=OB，∠AOB=90°，OH⊥AB，∴AH=BH=2=OH，∵BE=1，∴HE=1，∴OE2=OH2+HE2=5，∴OB?OM=5．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．26．（1）見(jiàn)分析；（2）①見(jiàn)分析；②【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ADE＝∠BDF，從而得到△BDF≌△ADE，即可求證；（2）①先證得∠BDF＝∠ADE，∠B＝∠DAE，可證得△BDF∽△ADE，即可求證；②連接EF，根據(jù)勾股定理可得BC5，根據(jù)三角形的面積可得AD，從而得到DC，再由△ADB∽△CAB，可得，再根據(jù)，可得到，從而得到△EDF∽△CAB，進(jìn)而得到EF，可得到當(dāng)DE最小時(shí)，EF取最小值，即可求解．證明：（1）如圖1，連接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠DAE＝45°，∵∠ADB＝∠EDF＝90°，∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠ADE＝∠BDF，在△BDF和△ADE中，，∴△BDF≌△ADE（ASA），∴DE＝DF；（2）①證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠EDF，∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠BDF＝∠ADE，∵∠BAD+∠DAE＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠DAE，∴△BDF∽△ADE，∴，∴DF?DA＝DB?DE；②解：如圖2，連接EF，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，則BC5，∴AD，由勾股定理得：DC，∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠CAB=90°， ∴△ADB∽△CAB，∴，∴，由①可知，，∴，∵∠EDF＝∠CAB＝90°，∴△EDF∽△CAB，∴，即，∴EF，當(dāng)DE最小時(shí)，EF取最小值，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，DE最小，此時(shí)，DE，∴EF的最小值為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．