初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

專題27.26 相似三角形幾何模型-A型圖（知識(shí)講解）相似三角形A型圖類型：圖一圖二圖三圖四類型一、平行A字型1．如圖，在△ABC中，BC＞AC，點(diǎn)D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分線CF交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接EF．(1) 求證：△AEF∽△ABD；(2) 填空：① 若BC＝8，AC＝5，則EF＝_________；② 若四邊形BDFE的面積為6，則△ABD的面積為_________ ．【答案】(1)見分析 (2) ①；② 8【分析】（1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，然后得到EF是△ABD的中位線，進(jìn)而可證明△AEF∽△ABD；（2）①因?yàn)?/span>EF是△ABD的中位線，所以BD=2EF，求出BD的長(zhǎng)即可得到EF的長(zhǎng)；②根據(jù)（1）證得的平行可以判定△AEF∽ABD，然后利用相似三角形面積的比等于相似比的平方求的△ABD的面積．（1）證明：∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，又∵DC=AC，∴CF是△ACD的中線，∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，又∵E是AB的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD，∴△AEF∽△ABD；（2）解：①∵EF是△ABD的中位線，∴EF=BD，∵BC=8，AC=5，DC=AC，∴BD=BC-CD=3，∴EF=1.5，故答案為1.5；②∵△AEF∽△ABD，∴S△AEF：S△ABD=1：4，∴S△AEF：S四邊形BDFE=1：3，∵四邊形BDFE的面積為6，∴S△AEF=2，∴S△ABD=S△AEF+S四邊形BDFE=2+6=8，故答案為：8．【點(diǎn)撥】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線的定義和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于求證EF為中位線，S△AEF：S△ABD=1：4．舉一反三【變式1】如圖，點(diǎn)D，E 在BC 上，且,求證：【分析】利用平行關(guān)系，找出對(duì)應(yīng)角相等，即可證明相似．證明：∵，∴，∵，∴，在和中，，，∴．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定，解題關(guān)鍵找到需要的條件．【變式2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求證：△BDE∽△EFC．【分析】根據(jù)，得出，根據(jù)可判斷，可證．證明：，，又，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查平行線性質(zhì)，三角形相似判定，掌握平行線性質(zhì)，三角形相似判定是解題關(guān)鍵．類型二、非平行A字型（反A字型）2．已知：D、E是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，AB＝8，AD＝3，AC＝6，AE＝4，求證：△ABC∽△AED．【分析】根據(jù)已知線段長(zhǎng)度求出，再根據(jù)∠A=∠A推出相似即可．證明：在△ABC和△AED 中，∵，，∴，又∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AED．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：有兩邊的對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似．舉一反三【變式1】如圖，在中，、分別是、邊上的高．求證：．【分析】要證明，這兩個(gè)三角形已經(jīng)有一個(gè)公共角相等，此時(shí)可以考慮用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似，即找到CD：CA與CE：CB是否相等，這時(shí)不能直接的找出，則充分利用題干“、分別是、邊上的高”中的垂直關(guān)系找到角相等的關(guān)系，再證明△CDA∽△CEB得到CD：CE=CA：CB從而運(yùn)用比例的基本性質(zhì)得到CD：CA=CE：CB.證明：∵在△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高∴∠ADC=∠BEC=90°∵∠C是公共角，∴△CDA∽△CEB（兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）∴CD：CE=CA：CB（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）∴CD：CA=CE：CB（比例的基本性質(zhì)）∴△DCE∽△ACB．（兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似）【點(diǎn)撥】本題考察了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例；相似三角形的判定定理：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似的綜合運(yùn)用，運(yùn)用證明一個(gè)三角形相似得到的結(jié)論去證明另外一個(gè)三角形相似.【變式2】如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；如果、兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)與相似？【答案】經(jīng)過2秒或0.8秒時(shí)，與相似．【分析】觀察圖形可得，與已經(jīng)有公共角，根據(jù)題意需要考慮的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩種情況，和，可設(shè)經(jīng)過秒時(shí)與相似，用時(shí)間分別表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，代入比例式解答即可.解：設(shè)經(jīng)過秒時(shí)，與相似，則，，，，當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，，即，解得；即經(jīng)過2秒或0.8秒時(shí)，與相似．【點(diǎn)撥】本題是結(jié)合了相似三角形的判定的動(dòng)點(diǎn)問題，在運(yùn)動(dòng)過程中尋找符合要求的節(jié)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為判定三角形的相似是解答關(guān)鍵.類型三、非平行A字型（母子型）3．已知，如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．【分析】由AB＝4，BC＝8，BD＝2可知，再由∠ABD＝∠CBA可得△ABD∽△CBA；證明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，∴，又∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三【變式1】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6．(1) 求證：△ACD∽△ABC； (2) 求邊AC的長(zhǎng)．【答案】(1) 證明見分析 (2) 4【分析】（1）直接利用相似三角形的判定即可得證；（2）先根據(jù)線段和差可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．（1）證明：在和中，，．（2）解：，，由（1）已證：，，即，解得或（不符題意，舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，則邊的長(zhǎng)為4．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠BCD=∠A，求證：BC?=BD?AB（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD平分∠ACB，若BC=1，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）證明△BDC∽△BCA，由相似的性質(zhì)可以得出．則可以得出結(jié)論．（2）證明△ABC∽△CBD，可得，設(shè)BD=x，則AB=x+1，得出，解出方程即可得到答案．解：（1）∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B∴△BDC∽△BCA∴∴（2）∵AB＝AC，∠BAC=36°∴∠B＝∠ACB＝72°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝∠BCD＝36°＝∠A∴∠BDC＝72°＝∠ACB∵∠B＝∠B∴△ABC∽△CBD∴∵∠BDC＝∠B＝72°∴BC=CD=1∵∠ACD＝∠A＝36°∴AD=BC=CD=1設(shè)BD=x，則AB=x+1∴即解得：（負(fù)值舍去）∴∴【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形是相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．

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