?專題27.35 相似三角形幾何模型-一線三等角（培優(yōu)篇）
（專項練習(xí)）
一、單選題
1．如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點共有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是BC邊上一動點（與B，C不重合）連接AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分線于E，設(shè)BP=，△PCE的面積為，則與的函數(shù)關(guān)系式是（???????）

A． B． C． D．
3．如圖，在平面直角坐標系中，直線不經(jīng)過第四象限，且與軸，軸分別交于兩點，點為的中點，點在線段上，其坐標為，連結(jié)，，若，那么的值為（???）

A． B．4 C．5 D．6
4．將矩形OABC如圖放置，O為坐標原點，若點A（﹣1，2），點B的縱坐標是，則點C的坐標是（　　　）

A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
二、填空題
5．如圖，將等邊三角形ABC折疊，使得點C落在邊AB上的點D處，折痕為EF，點E，F(xiàn)分別在AC和BC上．若AC＝8，AD＝2，則＝_______________．

6．如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，若點D的對應(yīng)點D′，連接D′B，以下結(jié)論中：①D′B的最小值為3；②當DE＝時，△ABD′是等腰三角形；③當DE＝2是，△ABD′是直角三角形；④△ABD′不可能是等腰直角三角形；其中正確的有_____．（填上你認為正確結(jié)論的序號）

7．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B，點E為AB邊的中點，∠DEC=∠A．有下列結(jié)論：①DE平分∠AEC；②CE平分∠DEB；③DE平分∠ADC；④EC平分∠BCD．其中正確的是_______________.（把所以正確結(jié)論的序號都填上）

三、解答題
8．如圖，四邊形是正方形，點是邊上動點(不與重合)．連接過點作交于點．
求證：；
連接，試探究當點在什么位置時，，請證明你的結(jié)論．





9．如圖，在中，點分別在邊上，連接，且．
（1）證明：；
（2）若，當點D在上運動時（點D不與重合），且是等腰三角形，求此時的長．







10．如圖，已知△ABC是邊長為12的正三角形，AD是邊BC上的高線，CF是外角ACE的平分線，點P是邊BC上的一個動點（與點B，C不重合），∠APQ ＝60°，射線PQ分別與邊AC，射線CF交于點N，Q．
（1）求證：△ABP∽△PCN；
（2）不管點P運動到何處，在不添輔助線的情況下，除第（1）小題中的一對相似三角形外，請寫出圖中其它的所有相似三角形；
（3）當點P從BD的中點運動到DC的中點時，點N都隨著點P的運動而運動．在此過程中，試探究：能否求出點N運動的路徑長？若能，請求出這個長度；若不能，請說明理由．








11．如圖，已知直線y=-x+b與y軸相交于點B（0，3），與x軸交于點A，將△AOB沿y軸折疊，使點A落在x軸上的點C．
（1）求點C的坐標；
（2）設(shè)點P為線段CA上的一個動點，點P與點A、C不重合．聯(lián)結(jié)PB．以點P為端點作射線PM交AB于點M，使∠BPM=∠BAC．
①求證：△PBC∽△MPA．
②是否存在點P，使△PBM為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．




12．如圖①,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與A,B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”;如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”.
??????????????????
【試題再現(xiàn)】如圖②,在△ABC中,∠ACB=90°,直角頂點C在直線DE上,分別過點A,B作AD⊥DE于點D,BE⊥DE于點E.求證:△ADC∽△CEB．
【問題探究】在圖①中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由.
【深入探究】如圖③,AD∥BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于點P,過點P作AB⊥AD于點A,交BC于點B．
(1)請證明點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點.
(2)若AD=3,BC=5,試求AB的長.




13．如圖，四邊形是矩形，點是對角線上一動點(不與、 重合)，連接，過點作，交射線于點，已知，.
(1)求的值；
(2)當是以PC為底的等腰三角形時.請求出AP的值;






14．（1）【問題情境】八上《伴你學(xué)》第138頁有這樣一個問題：如圖1，把一塊三角板（）放入一個“”形槽中，使三角形的三個頂點、、分別在槽的兩壁及底邊上滑動，已知，在滑動過程中，你發(fā)現(xiàn)線段與有什么關(guān)系？試說明你的結(jié)論；

（2）【變式探究】小明在解決完這個問題后，將其命名為“一線三等角”模型；如圖2，在中，點、、分別在邊、、上，若，則這三個相等的角之間的聯(lián)系又會使圖形中出現(xiàn)其他的一些等角．請你寫出其中的一組，并加以說理；
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，，，點、分別是邊、上的動點，且．以為腰向右作等腰，使得，，連接．
①試判斷線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如圖4，已知，點是的中點，連接、，直接寫出的最小值．






15．感知∶
（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型∶如圖1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因為∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，進而得到 ．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型．
應(yīng)用∶
（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在△ABC中，點D在邊BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的長度（用含a，b的代數(shù)式表示）．???
拓展∶
（3）創(chuàng)新組突發(fā)奇想，將此模型遷移到平行四邊形中，如圖3，在平行四邊形ABCD中，E為邊BC上的一點，F(xiàn)為邊AB上的一點．若∠DEF=∠B．求證∶AB·FE=BE·DE．




16．[模型建立](一線三等角)
（1）如圖1，等腰中，直線經(jīng)過點，過點作于點過點作于點求證：；

[模型應(yīng)用]
（2）如圖2，直線與坐標軸交于點直線經(jīng)過點與直線垂直，求直線的函數(shù)表達式．

（3）如圖3，平面直角坐標系內(nèi)有一點過點作軸于點軸于點點是線段上的動點，點是直線上的動點且在第四象限內(nèi)．若成為等腰直角三角形，請直接寫出點的坐標．





參考答案
1．C
解：設(shè)AP=x，則BP=7-x，然后根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，分情況為：
①當△ADP∽△BCP時，可得，即，解得x=，這時有一個P點；
②當△ADP∽△BPC時，可得，即，解得x=1或x=6，因此這樣的點有兩個；
因此符合條件的P點共有3個.
故選C
【點撥】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題時，先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，和相似三角形的對應(yīng)關(guān)系，列出相應(yīng)的比例式，求解即可.
2．C
解：過點E作EH⊥BC的延長線于點H,因為∠APB+∠EPC=90°, ∠BAP+∠APB=90°,
所以∠BAP=∠EPH,因為∠B=∠H,所以△ABP∽△PHE,設(shè)EH=a,因為∠ECH=45°, ∠H=90°,所以CH=EH=a,因為BP=x,所以CP=4-x,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可知,即
,整理得:,解得,所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為:,故選C.

3．D
【分析】
典型的“一線三等角”，構(gòu)造相似三角形△AOB∽△DPC,即可證明△PCD∽△BPA，由相似比求得邊的相應(yīng)關(guān)系，從而求解．
解：在x軸上找點D（4,0），連接CD.

由可得A(-2m，0 )，B(0，m )，直線不經(jīng)過第四象限，所以m>0,
所以O(shè)A=2m，OB=m；因為坐標為，點D（4,0）所以O(shè)C=2，OD=4,
因為,∠AOB=∠DOC=90° ,所以△AOB∽△DPC,所以∠CDO=∠BAO.
又因為，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和和平角定義可得：∠APB+∠1=∠APB+∠CPD
所以∠1=∠CPD，又因為∠CDO=∠BAO，所以△PCD∽△BPA，所以 ,
因為點為的中點，所以AP=OP=m，PD=m+4，Rt△AOB中，由勾股定理得AB= m，同理得CD=2，因為，所以，解得m=6.
故選D.
【點撥】本題考查一次函數(shù)綜合題．需要掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的求法等知識點，
4．B
【分析】
首先構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的判定與性質(zhì)以及結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出CM＝，MO＝3，進而得出答案．
解：如圖，過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，過點A作AN⊥BF于點N，

過點C作CM⊥x軸于點M．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM．
∵點A（﹣1，2），點B的縱坐標是，
∴BN，
∴CM，
∴，
∴MO=3，
∴點C的坐標是：（3，）．
故選：B．
【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)等知識.構(gòu)造直角三角形，正確得出CM的長是解題的關(guān)鍵.
5．
解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=8，∵AD=2，∴DB=6，由折疊的性質(zhì)可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，F(xiàn)C=FD，∴∠AED+∠EDA=120°，∠EDA+∠BDF=120°，∴∠AED=∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴ ====，∴ ==，故答案為．
點睛：本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．①②④
【分析】
當D′落在線段AB上時，D′B的值最小，此時D′B＝AB﹣AD＝3，得出①正確；
過D′作MN⊥AB交AB于點N，交CD于點M，設(shè)AN＝x，則EM＝x﹣2.5，證出∠ED′M＝∠D′AN，因此△EMD′∽△D′NA，得出對應(yīng)邊成比例，求出x＝4，得出AN＝BN，因此AD′＝D′B，得出②正確；
當DE＝2時，假設(shè)△ABD′是直角三角形，則E、D′、B在一條直線上，作EF⊥AB于點F，由勾股定理求出D′B、EB，得出③不正確；
當AD′＝D′B時，由勾股定理的逆定理得出△ABD′不是直角三角形，當△ABD′是直角三角形時，由勾股定理求出D′B，得出AD′≠D′B，因此△ABD′不可能是等腰直角三角形，得出④正確．
解：當D′落在線段AB上時，D′B的值最小，如圖1所示：
此時D′B＝AB﹣AD＝8﹣5＝3，
∴①正確；
過D′作MN⊥AB交AB于點N，交CD于點M，如圖2所示：
設(shè)AN＝x，則EM＝x﹣2.5，
∵∠AD′N＝∠DAD′，∠ED′M＝180°﹣∠AD′E﹣∠AD′N＝180°﹣90°﹣∠AD′N＝90°﹣∠AD′N，
∴∠ED′M＝90°﹣∠DAD′，
∵∠D′AN＝90°﹣∠DAD′，
∴∠ED′M＝∠D′AN，
∵MN⊥AB，
∴∠EMD′＝∠AND′，
∴△EMD′∽△D′NA，
∴，
即，
解得：x＝4，
∴AN＝BN，
∴AD′＝D′B，
即△ABD′是等腰三角形，
∴②正確；
當DE＝2時，假設(shè)△ABD′是直角三角形，
則E、D′、B在一條直線上，
作EF⊥AB于點F，如圖3所示：
D′B＝=,EB=，
∵≠
∴③不正確；
當AD′＝D′B時，52+52≠82，
∴△ABD′不是直角三角形，
當△ABD′是直角三角形時，D′B＝=，
∴AD′≠D′B，
∴△ABD′不可能是等腰直角三角形，
∴④正確；
故答案為①②④．



【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
7．③④
解：試題分析：在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠A=180°，又∠AED+∠DEC+∠BEC=180°，可得∠ADE+∠AED+∠A =∠AED+∠DEC+∠BEC，由∠A=∠DEC，可得∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似，可得△ADE∽△BEC，可得，又AE=BE，得到，又∠DEC=∠B，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似，可知△CDE∽△CEB，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，可得∠DCE=∠BCE，因此EC平分∠BCD，即④成立；同理△ADE∽△EDC，因此DE平分∠ADC；即③成立；而①DE平分∠AEC不一定成立；②CE平分∠DEB不一定成立．
故答案為：③④.
8．（1）證明見分析；（2）點在中點位置時，，證明見分析．
【分析】
（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、角的和差可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；
（2）如圖（見分析），先根據(jù)正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得，最后根據(jù)等量代換即可得．
解：（1）四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）點在中點位置時，，證明如下：
如圖，連接，延長于的延長線相交于點H，
為中點，
，
四邊形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故當點在中點位置時，．

【點撥】本題考查了相似三角形的判定、正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和等腰三角形是解題關(guān)鍵．
9．(1)理由見詳解；（2）或，理由見詳解．
【分析】
（1）根據(jù)題目已知條件易得：，，所以得到，問題得證．
（2）由題意易得是等腰直角三角形，所以，當是等腰三角形時，根據(jù)分類討論有三種情況：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因為點D不與重合，所以第一種情況不符合，其他兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”及，求出問題即可．
解：（1）
如圖可知：
在中，
又

．
（2），
是等腰直角三角形

BC=2，AB=AC=BC=
①當AD=AE時，
，


點D在上運動時（點D不與重合）,點E在AC上
此情況不符合題意．
②
當AD=DE時，
由（1）結(jié)論可知：
AB=DC=
．
③
當AE=DE時，
是等腰直角三角形
，
，即
．
綜上所訴：或．
【點撥】本題主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性問題，關(guān)鍵是利用“K”型相似模型及根據(jù)“等邊對等角”、等腰直角三角形的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系，進而求解問題．
10．（1）詳見分析；（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；（3）1.5．
【分析】
（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到∠ABP＝∠PCN＝60°，利用角的和差證明∠BAP＝∠CPN，根據(jù)相似三角形的判定定理證明結(jié)論；（2）因為△ABC是正三角形，AD是邊BC上的高線，由三線合一可證△ABD≌△ACD；因為∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP,所以△APN∽△ACP；因為∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,所以△APN∽△QCN；因為△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，所以△ACP∽△QCN ；（3）當點P在BD的中點運動到DC的中點時，利用相似三角形性質(zhì)，設(shè)PB＝x，CN＝y(tǒng)，則3≤x≤9，由第（1）題利用相似三角形性質(zhì)可得：，解得，又利用函數(shù)圖象可知：當x＝3或9時，y＝，當x＝6時，y最大＝3，所以點N運動的路徑長為：（3－）×2＝1.5．
解：（1）在正三角形ABC中，∠ABP＝∠PCN＝60°，
∴∠BAP +∠BPA＝120°，又∵∠APQ ＝60°，
∴∠CPN +∠BPA＝120°， ∴∠BAP＝∠CPN，
∴△ABP∽△PCN；
（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；
理由：∵△ABC是正三角形，AD⊥BC，由三線合一可證△ABD≌△ACD；∵∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP，∴△APN∽△ACP；∵∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∴△APN∽△QCN；∵△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，∴△ACP∽△QCN ；
（3）能，設(shè)PB＝x，CN＝y(tǒng)，由第（1）題可得：，
∴，又3≤x≤9，利用函數(shù)圖象可知：
當x＝3或9時，y＝，當x＝6時，y最大＝3；
∴點N運動的路徑長為：（3－）×2＝1.5．
【點撥】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理、靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
11．（1）C（-4，0）；（2）①證明見分析，②存在．使△PBM為直角三角形的點P有兩個P1（-，0），P2（0，0）．
【分析】
（1）根據(jù)B點坐標求得直線解析式，再求得A點坐標，然后根據(jù)A與C關(guān)于y軸對稱，據(jù)此即可確定C的坐標；
（2）①根據(jù)點C與點A關(guān)于y軸對稱，即可得到BC=BA，則∠BCP=∠MAP，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證得∠PMA=∠BPC，從而證得兩個三角形相似；
②首先求得B的坐標，當∠PBM=90°時，則有△BPO∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得PO的長，求得P的坐標；
當∠PMB=90°時，則∠PMA═90°時，BP⊥AC，則此時點P與點O重合．則P的坐標可以求得．
（1）解：∵直線y=-x+b與y軸相交于點B（0，3），
∴b=3，
∴直線的解析式為y=-x+3，
令y=0，得到x=4，
∴A（4，0），
∵點C與點A關(guān)于y軸對稱，
∴C（-4，0）；
（2）①證明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，
∴∠PMA=∠BPC，
又∵點C與點A關(guān)于y軸對稱，且∠BPM=∠BAC，
∴∠BCP=∠MAP，
∴△PBC∽△MPA；
②解：存在．
由題意：A（4，0），B（0，3），C（-4，0）
當∠PBM=90°時，則有△BPO∽△ABO，
∴=，即=，
∴PO=，即：P1（-，0）．
當∠PMB=90°時，則∠PMA═90°，
∴∠PAM+∠MPA=90°，
∵∠BPM=∠BAC，
∴∠BPM+∠APM=90°，
∴BP⊥AC．
∵過點B只有一條直線與AC垂直，
∴此時點P與點O重合，即：符合條件的點P2的坐標為：P2（0，0）．
∴使△PBM為直角三角形的點P有兩個P1（-，0），P2（0，0）．
【點撥】本題是屬于一次函數(shù)綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
12．【試題再現(xiàn)】見分析；【問題探究】點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點. 理由見分析；【深入探究】(1) 點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點，見分析；(2)
解：試題分析：【試題再現(xiàn)】易證∠BCE=∠CAD，又∠ADC=∠CEB=90°，故得△ADC∽△CEB.
【問題探究】要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．
【深入探究】（1）分別證明△ADP∽△PDC,△BPC∽△PDC,從而△ADP∽△PDC∽△BPC,故點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點.
（2）過點P作PE⊥DC于點E,過點D作DF⊥BC于點F,則四邊形ABFD是矩形,通過證明△ADP≌△EDP和△CBP≌△CEP得DC =8，再求出CF=2，在Rt△CDF中,由勾股定理,得AB=2.
解：【試題再現(xiàn)】
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,
∵AD⊥DE,
∴∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠BCE=∠CAD,
∵∠ADC=∠CEB=90°,
∴△ADC∽△CEB.
【問題探究】點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點.
理由如下:
∵∠DEC=40°,
∴∠DEA+∠CEB=140°.
∵∠A=40°,
∴∠ADE+∠AED=140°,
∴∠ADE=∠CEB,
又∵∠A=∠B,
∴△ADE∽△BEC,
∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點.
【深入探究】
(1)∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∵DP平分∠ADC,CP平分∠BCD,
∴∠CDP+∠DCP=(∠ADC+∠BCD)=90°,
∵DA⊥AB,DA∥BC,
∴CB⊥AB,
∴∠DPC=∠A=∠B=90°,
∵∠ADP=∠CDP,
∴△ADP∽△PDC,同理△BPC∽△PDC,
∴△ADP∽△PDC∽△BPC,即點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點.
(2)過點P作PE⊥DC于點E,過點D作DF⊥BC于點F,則四邊形ABFD是矩形,

∴DF=AB,
在△ADP與△EDP中,

∴△ADP≌△EDP,
∴AD=DE,
同理△CBP≌△CEP,∴BC=EC,
∴DC=AD+BC=8.
在Rt△CDF中,CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2,
由勾股定理,得DF==2,
∴AB=2.
13．(1);(2).
分析：（1）如圖，過點P作CD的垂線，分別交AB、CD于M、N，易證△PNE∽△BMP,從而證得
（2）首先證明BP=BC,再過點B作BF垂直AC得PF=CF,由得
根據(jù)AP=AC-PC即可求解.
解：（1）












（2）???













【點撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，正確作出輔助線、靈活運用相關(guān)的定理是解題的關(guān)鍵．
14．【小問1】，說明見分析
【小問2】，；說理見分析
【小問3】①，理由見分析；②的最小值為
【分析】
（1）【問題情境】證明，即可求解．
（2）【變式探究】利用等量代換即可求解．
（3）【拓展應(yīng)用】①等量代換即可求解；②在上截取，連接，作點關(guān)于的對稱點，連接，，先證明，得到EM＝CM，在求出，即可確定E點在射線CE上運動，當A、E、N三點共線時，EA＋EG的值最小，最小值為AN，在中求出AN即可．
解：（1）【問題情境】
，理由如下：
，
，
，
，
，
，
；
（2）【變式探究】
，；理由如下：
，
，
，；
（3）【拓展應(yīng)用】
①，
，
，
，
；
②在上截取，連接，作點關(guān)于的對稱點，連接，，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
點在射線上運動，
點與的關(guān)于對稱，
，
，
當、、三點共線時，的值最小，最小值為，
，，
，
，
由對稱性可知，，
，
點是的中點，，
，
，
在中，，
的最小值為．

【點撥】本題是三角形的綜合題，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，軸對稱求最短距離的方法是解題的關(guān)鍵．
15．（1）；（2）CE=a-b；（3）見分析
【分析】
（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；
（2）由已知易證△ADB≌△DEC，從而由全等三角形的性質(zhì)即可求得CE的長度；
（3）作CG//FE交DE于點G，易證得△FBE∽△EGC，從而可得=；可證得△DGC∽△DCE，可得=，即有=，再由AB=CD即可得要證的結(jié)論．
解：（1）∵△ABC∽△DAE
∴
故答案為：；
（2）∵∠B=∠ADE=∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠EDC=∠BAD
又∵DA=DE
∴△ADB≌△DEC
∴EC=BD，AB=DC=b
∴BD=BC-DC=a-b．
即：CE=a-b．
（3）∵∠DEF=∠B
∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC
∴∠BFE=∠DEC．
作CG//FE交DE于點G，如圖3．

∴∠DEF=∠EGC
∴∠B=∠EGC
∴△FBE∽△EGC
∴=
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴∠B+∠BCD=180°
∵∠EGC+∠DGC=180°，且∠B=∠EGC
∴∠DGC=∠BCD
又∵∠EDC=∠CDG
∴△DGC∽△DCE
∴=
∴=
∴DC·FE=BE·DE
又∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=DC
∴AB·FE=BE·DE
【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，（3）問中作輔助線是難點，靈活運用這些知識是重點．
16．（1）答案見分析；（2）直線l2的函數(shù)表達式為：y＝；（3）點D的坐標為或(8，﹣14)或
【分析】
（1）由垂直的定義得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定義和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB，最后由角角邊證明：△BEC≌△CDA；
（2）如圖2，仿照（1）作輔助線，構(gòu)建三角形全等，同理證明△BOA≌△AED，求出點D的坐標為（-7，3），最后利用待定系數(shù)法可得直線l2的函數(shù)表達式；
（3）分三種情況：①如圖3，∠CPD=90°時，②如圖4，∠PCD=90°，此時P與A重合，③如圖5，∠CDP=90°，分別作輔助線，構(gòu)建三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得點D的坐標．
解：（1）如圖1所示：

∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BEC=90°，
又∵∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△CDA和△BEC中，，
∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）如圖2，在l2上取D點，使AD=AB，過D點作DE⊥OA，垂足為E，

∵直線y=x+4與坐標軸交于點A、B，
∴A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
由（1）得△BOA≌△AED，
∴DE=OA=3，AE=OB=4，
∴OE=7，
∴D（-7，3）
設(shè)l2的解析式為y=kx+b，
?????∴
解得
∴直線l2的函數(shù)表達式為：y＝；
（3）點D的坐標為或（8，﹣14）或
?????分三種情況：
①如圖3，∠CPD=90°時，過P作MH∥x軸，過D作DH∥y軸，MH和DH交于H，

∵△CPD是等腰直角三角形，∠CPD=90°，
∴CP=PD，
同理得△CMP≌△PHD（AAS），
∴DH=PM=6，PH=CM，
設(shè)PH=a，則D（6+a，a-8-6），
∵點D是直線y=-2x+2上的動點且在第四象限內(nèi)．
∴a-8-6=-2（6+a）+2，
解得：a=，
∴D（）；
②如圖4，∠PCD=90°，此時P與A重合，過D作DE⊥y軸于E，

∵△CPD是等腰直角三角形，
同理得△AOC≌△CED，
∴OA=CE=6，OC=DE=8，
∴D（8，-14）；
③如圖5，∠CDP=90°，過點D作MQ∥x軸，延長AB交MQ于Q，則∠Q=∠DMC=90°，

∵△CDP是等腰直角三角形，
同理得△PQD≌△DMC，
∴PQ=DM，DQ=CM，
設(shè)CM=b，則DM=6-b，AQ=8+b，
∴D（6-b，-8-b），
∵點D是直線y=-2x+2上的動點且在第四象限內(nèi)，
∴-8-b=-2（6-b）+2，
解得：b= ，
∴D（）；
綜上，點D的坐標為或（8，﹣14）或
【點撥】本題是一次函數(shù)和四邊形的綜合題，綜合考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，一次函數(shù)上點的坐標的特點等知識點，重點是運用類比的方法，作輔助線，構(gòu)建全等三角形依次解決問題．

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