?專題27.34 相似三角形幾何模型-一線三等角（鞏固篇）
（專項練習(xí)）
一、單選題
1．如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，在邊CD上取一點P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的點P共有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．如圖，已知矩形ABCD中，點E是邊AD上的任一點，連接BE，過E作BE的垂線交BC延長線于點F，交邊CD于點P，則圖中共有相似三角形（　?。?br />
A．6對 B．5對 C．4對 D．3對
3．如圖，在正方形中，為中點，． 聯(lián)結(jié)．那么下列結(jié)果錯誤的是(?????)

A．與相似 B．與相似
C．與相似 D．與相似
4．如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，點D在BC邊上，DE與AC相交于點F，圖中相似的三角形有（　?。Γ?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如圖，在矩形中，點分別在邊上，于點，與交于點，與交于點，則下列結(jié)論錯誤的是

A． B．
C． D．
6．如圖，已知矩形中，點是邊上的任一點，連接，過作的垂線交延長線于點，交邊于點，則圖中共有相似三角形（???）

A．6對 B．5對 C．4對 D．3對
7．如圖，是正方形的邊上一點，下列條件中：①；②；③；④；⑤．其中能使的有（???????）

A．①② B．①②③
C．①②③④ D．①②③④⑤
8．如圖，在矩形ABCD中，點E為AD上一點，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，點P為AB邊上一動點，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如圖，已知矩形AOBC的頂點O在坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)是（－2，1），點B的縱坐標(biāo)是3，則點C的坐標(biāo)是（???????）

A． B． C． D．
10．如圖，矩形ABCO，點A、C在坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點D的坐標(biāo)是（???????）

A． B． C． D．
二、填空題
11．如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD邊上的一個動點，則當(dāng)△ADP與△BCP相似時，DP=__________．

12．如圖，將邊長為的正方形折疊，使點落在邊的中點處，折痕為，點落在點處，與交于點，則的周長是________．

13．如圖，將矩形紙片沿折疊，使點落在對角線上的點處，再沿折疊，使點落在矩形內(nèi)的點處，且、、在同一直線上，若，，則______， ______．

14．如圖，AB＝4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，連接AF并延長交射線BM于點C，設(shè)BE＝x，BC＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為_____．

15．如圖，在邊長為7的正方形ABCD中放入四個小正方形后形成一個中心對稱圖形，其中兩頂點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，則放入的四個小正方形的面積之和為___ ．

16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P為射線BC上的一個動點，過點P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點Q，當(dāng)BP＝5時，CQ＝_____．

17．如圖，P為線段AB上一點，AD與BC交于點E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于點F，AD交PC于點G，則圖中相似三角形有_____對．

18．如圖，點E是矩形ABCD的邊CD上一點，把△ADE沿AE對折，使點D恰好落在BC邊上的F點處．已知折痕，且，那么該矩形的周長為______cm．

19．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點M是BC邊上的一個動點（點M不與點B、C重合），BM＝x，將△ABM沿著AM折疊，使點B落在射線MP上的點B′處，點E是CD邊上一點，CE＝y(tǒng)，將△CME沿ME折疊，使點C也落在射線MP上的點C′處，當(dāng)y取最大值時，△C′ME的面積為_____．

20．如圖，在中，已知，，是邊上的一動點（不與點、重合）.連接，，邊與交于點，當(dāng)為等腰三角形時，則之長為_________.

三、解答題
21．如圖，，點P在上移動，當(dāng)以P，C，D為頂點的三角形與相似時，求的長．


22．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）證明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝6，當(dāng)點D在BC上運動時（點D不與B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此時BD的長．



23．如圖，在中，，點在邊上，滿足，且點，分別在邊，上． 求證：．






24．如圖，已知，.
（1）若，，，請問在上是否存在點P，使以P，A，B三點為頂點的三角形與以P，C，D三點為頂點的三角形相似？若存在，求的長；若不存在，請說明理由；
（2）若，，，請問在上存在幾個點使以三點為頂點的三角形與以P，C，D三點為頂點的三角形相似？并求的長.







25．如圖1，兩個全等的等邊三角形如圖放置，AC與DE交于點G，點D是AB的中點，BC與DF交于點K，連接GK.
（1）寫出兩對相似（不含全等）三角形；
（2）求證：；
（3）若將條件中的兩個全等的等邊三角形改為兩個全等的等腰三角形（），如圖2，其余條件不變，直接判斷（1）（2）中的結(jié)論是否依然成立.
?????






26．感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，點在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角”模型．

(1)如圖2，中，，，直線經(jīng)過點，過作于點，過作于點．求證：；
(2)如圖3，在中，是上一點，，，，，求點到邊的距離；
(3)如圖4，在中，為邊上的一點，為邊上的一點．若，，，求的值．





































參考答案
1．C
【分析】
如圖，以AB為直徑作⊙O交CD于點P1，P2，連接AP1，BP1，AP2，BP2．則△ADP1∽△△P1CB，，△ADP2∽△△P2CB，取CD的中點P3，連接AP3，BP3，則△ADP3∽△P3CB，由此可得結(jié)論．
解：如圖，以AB為直徑作⊙O交CD于點P1，P2，連接AP1，BP1，AP2，BP2．

∵AB為⊙O直徑，
∴ ，
∴ ，
為矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∴△ADP1∽△P1CB，
同理△ADP2∽△P2CB，
取CD的中點P3，連接AP3，BP3，則同理△ADP3∽△P3CB，
故選：C．
【點撥】本題考查相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
2．A
【分析】
根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到直角和平行線，利用相似三角形的判定和性質(zhì)進行推理判斷即可．
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠EDP=∠FCP=90°，
∵∠EPD=∠FPC，
∴△EDP∽△FCP；
∵∠FEP=∠FCP=90°，
∵∠F=∠F，
∴△FEB∽△FCP；
∴△FEB∽△EDP；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEP=∠ABE，
∴△EDP∽△BAE；
∴△FCP∽△BAE；
∴△FEB∽△BAE；
共有6對，
故選A．

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，互余原理，熟練掌握三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．
3．C
【分析】
根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理逆定理可以判斷△AEF是直角三角形，再根據(jù)三角形相似的判定可以選出結(jié)果錯誤的選項．
解：設(shè)正方形邊長為1 ，則由已知可得：，
∴，∴△AEF是直角三角形，
∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，
∠B=∠C=∠AEF=∠D，，
∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF兩兩相似，但是△ABE 與 △ADF 不相似，
∴A、B、D正確，C錯誤，
故選C．
【點撥】本題考查正方形與三角形相似的綜合應(yīng)用，靈活運用正方形的性質(zhì)和三角形相似的判定是解題關(guān)鍵．
4．C
【分析】
由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，得出△ABC∽△ADE，再證出∠BAD＝∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，證出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，即可得出△ADF∽△ACD．
解：圖中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下：
∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，
∴△ABC∽△ADE；
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠FAE，
∴△ABD∽△AEF；
∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，
∴△AEF∽△DCF，
∴△ABD∽△DCF；
∵∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，
∴△ADF∽△ACD，
故選：C．
【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．
5．D
【分析】
根據(jù)矩形四個角都是直角，又，利用等角的余角相等，逐個判別可以得出結(jié)論.
解：如圖：

A. 在中，
∵四邊形是矩形，且
∴，
，且
，A正確；
B. 在中，
∵四邊形是矩形，且
∴，，則
∵，，則
，B正確；
C. 在中
由前面知：，又，, 則,
又∵，
，C正確；
D.在中
已經(jīng)知道：，而AE并不是的角平分線，
∴,
,錯誤.
故選D．
【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，同角或等角的余角相等，相似三角形的證明，熟練掌握相似三角形的證明方法是解題的關(guān)鍵.
6．A
【分析】
根據(jù)的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=∠D=∠DCB=90°，根據(jù)鄰補角的定義得到∠PCF=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ABE=∠DEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．
解：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴圖中共有相似三角形有6對，
故選A.
【點撥】本題考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．D
【分析】
對于①②④，直接利用相似三角形的判定方法判斷即可；對于③，先利用同角的余角相等轉(zhuǎn)化為①，即可進行判斷，對于⑤，利用比例的性質(zhì)和勾股定理進行判斷.
解：∵∠B=∠C=90°，∴只要滿足或，均可判定△ABE∽△ECF，所以①②都正確；
③中，當(dāng)時，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF，故③正確；
④中對應(yīng)邊成比例，且夾角均為90°，∴△ABE∽△ECF，故④正確；
⑤中，當(dāng)時，則，即，
∴，∴，∴，
又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴⑤正確；
綜上，故選D.
【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、比例的性質(zhì)和勾股定理等知識，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是判斷①②③④的關(guān)鍵，對于⑤，則需綜合運用比例的性質(zhì)和勾股定理進行判斷.
8．C
【分析】
設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．
解：設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x，
當(dāng)△PAE∽△PBC時，，即，
解得，，
當(dāng)△PAE∽△CBP時，，即，
解得，x＝2或6，
可得：滿足條件的點P的個數(shù)有3個．
故選：C．
【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解答時，注意分情況討論思想的靈活運用．
9．A
【分析】
作軸于點D， 過點A作軸于點E，過點C作軸于點G，先通過角度等量代換證明，求出，再證明，求出，，則，，由此可解．
解：如圖，

作軸于點D， 過點A作軸于點E，過點C作軸于點G，
∵點A的坐標(biāo)是（－2，1），點B的縱坐標(biāo)是3，
∴，，，
∵軸，軸，軸，
∴，
∵ 四邊形AOBC是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
∵ 四邊形AOBC是矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵點C在第二象限，
∴點C的坐標(biāo)是．
故選A．
【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，通過作輔助線構(gòu)造全等及相似三角形是解題的關(guān)鍵．
10．A
【分析】
如圖，過作軸于點，延長交于，由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知，，，則，，證明，則，即，計算求出、的長，進而可得點坐標(biāo)．
解：如圖，過作軸于點，延長交于，

由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故選A．
【點撥】本題考查了翻折的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造、，利用相似的判定與性質(zhì)求出線段、的長．
11．2或8或5
【分析】
需要分類討論：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，分別根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得DP的長度即可．
解：在矩形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=4，
①當(dāng)△APD∽△PBC時，
可得，即，
解得：PD＝2或PD＝8；
②當(dāng)△PAD∽△PBC時，
可得，即，
解得：DP＝5．
綜上所述，DP的長度是2或8或5．
故答案為：2或8或5．
【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．12
【分析】
首先根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DF=EF，設(shè)EF=xcm，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，從而得到AF、EF的長，再證出△AEF和△BGE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BG、EG，然后根據(jù)三角形周長的定義列式計算即可得解．
解：由翻折的性質(zhì)得，DF=EF，設(shè)EF=xcm，則AF=(6?x)cm，
∵點E是AB的中點，
∴，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即32+(6?x)2=x2，
解得，
∴，，
∵∠FEG=∠D=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠BEG =∠AFE，
又∵∠B=∠A=90°，
∴△BGE∽△AEF，
∴，
即，
∴BG=4cm，EG=5cm，
∴△EBG的周長=3+4+5=12(cm)．
故答案為：12．
【點撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出△AEF的各邊的長，利用相似三角形的性質(zhì)求出△EBG各邊的長是解題的關(guān)鍵．
13．???? 4???? ##2.5
【分析】
根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE=EF，，利用勾股定理求出AC，進而求出CF，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，即，解方程求出BE，進而求出CE，再證，即有，則問題得解．
解：根據(jù)折疊的性質(zhì)有BE=EF，，
∵，，
則設(shè)，則，，，
在中，由勾股定理得，
∴，
根據(jù)折疊的性質(zhì)有∠B=∠AFE=90°,
則有∠EFC=90°，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴，，
由折疊的性質(zhì)得，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案為：4，．
【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識，證得進而得到是解答本題的關(guān)鍵．
14．y＝（0＜x≤2）
【分析】
作FH⊥BC于H．證明△DBE≌△EHF，則FH＝BE＝x，EH＝BD＝2BE＝2x，由求得自變量的范圍，根據(jù)FH∥AB，得＝，即可求解．
解：作FH⊥BC于H．

∵∠DBE＝∠DEF＝∠EMF＝90°，
∴∠DEB+∠BDE＝90°，∠DEB+∠FEH＝90°，
∴∠BDE＝∠FEH．
在△DBE和△EHF中，
，
∴△DBE≌△EHF，
BE＝DB，
∴FH＝BE＝x，EH＝BD＝2BE＝2x，
, AB＝4，
，即
∵FH∥AB，

∴＝，
∴＝，
∴y＝（0＜x≤2）．
故答案為：y＝（0＜x≤2）．
【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)關(guān)系式，證明是解題的關(guān)鍵．
15．22
【分析】
作GH⊥BC，證明△GHE∽△EMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到GH=2EM，HE=2MN ，根據(jù)正方形的性質(zhì)列方程求出MN，根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式計算，得到答案.
解：如圖，作GH⊥BC，

則∠HGE+∠HEG=∠HEG+∠MEN=90°,
∴∠HGE=∠MEN，
∵∠GHE=∠EMN=90°，
∴△GHE∽△EMN，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴四個小正方形的面積之和.
故答案為：22.
【點撥】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、中心對稱圖形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
16．
【分析】
通過證明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解．
解：如圖，

∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴
∴CQ＝ ，
故答案為：．
【點撥】本題考查相似三角形、矩形的性質(zhì)．根據(jù)題意找相似的條件是關(guān)鍵．利用相似比計算線段的長度是常用的方法．
17．3
【分析】
先根據(jù)條件證明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，再證明△APD∽△PGD，進而證明△APG∽△BFP再證明時注意圖形中隱含的相等的角．
解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C
∴∠APG＝∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
則圖中相似三角形有3對，
故答案為：3．
【點撥】本題考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角．
18．72
【分析】
根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根據(jù)，設(shè)CE=3k，CF=4k，推出EF=DE=5k，AB=CD=8k，利用相似三角形的性質(zhì)求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE對折，點D的對稱點F恰好落在BC上，
∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，
∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°，
∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∵，
∴設(shè)CE=3k，CF=4k，
∴，
∵∠BAF=∠EFC，且∠B=∠C=90°
∴△ABF∽△FCE，
∴，即，
∴BF=6k，
∴BC=BF+CF=10k=AD，
∵AE2=AD2+DE2，
∴500=100k2+25k2，
∴k=2
∴AB=CD =16cm，BC=AD=20cm，
∴四邊形ABCD的周長=72cm
故答案為72.
【點撥】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
19． ．
【分析】
由折疊的性質(zhì)得：∠AMB'＝∠AMB，∠EMC'＝∠EMC，得出∠AME＝90°，∠AMB+∠EMC＝90°，得出∠BAM＝∠EMC，證出△ABM∽△MCE，得出，求出，當(dāng)x＝時，y取最大值，即CE＝，由三角形面積公式即可得出△C'ME的面積．
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠AMB+∠BAM＝90°，
由折疊的性質(zhì)得：∠AMB'＝∠AMB，∠EMC'＝∠EMC，
∵∠AMB'+∠AMB+∠EMC'+∠EMC＝180°，
∴∠AME＝90°，∠AMB+∠EMC＝90°，
∴∠BAM＝∠EMC，
∴△ABM∽△MCE，
∴
∴，
當(dāng)x＝時，即CE＝即BM＝，CM＝BC﹣BM＝時，y取最大值，即CE＝，
此時△C'ME的面積＝△CME的面積，
故答案為．
【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．
20．2或
【分析】
分別討論AP=PD、PD=AD、PA=AD三種情況，當(dāng)AP=PD時，可證明△APB≌△PDC，可得PC=AB，進而可求出PB的長；當(dāng)PD=AD時，可證明△APC∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出PC的長，進而可得PB的長；當(dāng)PA=AD時，P點與點B重合，不符合題意；綜上即可得答案.
解：①當(dāng)AP=PD時，
∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，∠B=∠APD，
∴∠DPC=∠BAP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠C，∠DPC=∠BAP，AP=PD，
∴△APB≌△PDC，
∴PC=AB=4，
∴PB=BC-PC=2，
②當(dāng)PD=AD時，
∵AD=PD，∠APD=∠B，
∴∠APD=∠PAD=∠B，
∵∠PAD=∠B，∠C=∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴，即，
解得：PC=，
∴PB=BC-PC=.
③當(dāng)PA=AD時，P點與點B重合，不符合題意；
綜上所述：PB的長為2或.
故答案為2或
【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定定理及性質(zhì)并運用分類思想是解題關(guān)鍵.
21．當(dāng)BP為8.4或2或12時，以C、D、P為頂點的三角形與以P、B、A為頂點的三角形相似．
【分析】
設(shè)DP=x，則BP=BD-x=14-x，根據(jù)垂直的定義得到∠B=∠D=90°，再根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，當(dāng)時，△ABP∽△CDP，即；當(dāng)時，△ABP∽△PDC，即；然后分別解方程求出x即可．
解：設(shè)DP=x，則BP=BD-x=14-x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)時，△ABP∽△CDP，即，
解得；
當(dāng)時，△ABP∽△PDC，即，
整理得x2-14x+24=0，
解得x1=2，x2=12，
BP=14-2=12，BP=14-12=2，
∴當(dāng)BP為8.4或2或12時，以C、D、P為頂點的三角形與以P、B、A為頂點的三角形相似．
【點撥】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．
22．（）見分析；（2）或．
【分析】
（1）根據(jù)題目已知條件可知，，所以得到，即可得證．
（2）由題意易得是等腰直角三角形，所以，當(dāng)是等腰三角形時，根據(jù)分類討論有三種情況：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因為點D不與重合，所以第一種情況不符合，其他兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”及，求出問題即可．
解：（1）
在中，


又
；
（2），
是等腰直角三角形

BC=6，
AB=AC=BC=3
①當(dāng)AD=AE時，則
，



點D在上運動時（點D不與重合）,點E在AC上
此情況不符合題意．
②當(dāng)AD=DE時，如圖，


由（1）可知
又
AB=DC=
．
③當(dāng)AE=DE時，如圖

，

平分,
．
綜上所述：或．
【點撥】本題主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性問題，解題的關(guān)鍵是利用“K”型相似模型及根據(jù)“等邊對等角”、等腰直角三角形的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系，進而求解問題．
23．見詳解．
【分析】
由等邊對等角得，由三角形的內(nèi)角和定理，得到，即可得到結(jié)論成立．
證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【點撥】本題考查了相似三角形的判定定理：兩個角對應(yīng)相等，則這兩個三角形相似．
24．（1）存在，，見分析；（2）存在2個點P點，或，見分析.
【分析】
（1）存在1個P點，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)或時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；
（2）存在兩個P點，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)或時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可.
解：（1)存在1個P點.
設(shè)，則.
∵，，
∴.
當(dāng)時，，即.
整理，得，
∵，
∴此方程沒有實數(shù)解；
②當(dāng)時，，
即，解得.
綜上所述，的長為；
(2)存在2個點P.
設(shè)，則.
∵，，∴.
①當(dāng)時，，即，
解得；
②當(dāng)時，即，即，
解得.
綜上所述，的長為6或.
【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及解一元二次方程，根據(jù)題意進行分類討論是解題關(guān)鍵．
25．（1），；（2）見分析；（3）成立.
【分析】
（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠EDF=60°，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠AGD=∠BDK，證出△DAG∽△KBD，得出對應(yīng)邊成比例，證出AD=BD=2，得出，證出△KDG∽△KBD即可；
（2）由（1）知：△KDG∽△KBD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出結(jié)論；
（3）解法同（1）（2）.
解：（1），.
理由如下：
∵△ABC和△DEF是兩個全等的等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠EDF=60°，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴，
∵點D是AB的中點，
∴AD=BD，
∴，
又∵∠B=∠GDK=60°，
∴；
（2）∵，
∴.
（3）解：（1）（2）中的結(jié)論依然成立；理由如下：
∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰三角形，DF=EF=AC=BC，
∴∠A=∠B=∠EDF，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴ ，
∵點D是AB的中點，
∴AD=BD，
∴，
∴△KDG∽△KBD，
∴∠GKD=∠BKD.
【點撥】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識.熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
26．(1)見分析(2)(3)
【分析】
（1）根據(jù)“AAS”證明即可；
（2）過作于點，過作交延長線于點，可根據(jù)“AAS”證即可求解；
（3）過作交的延長線于點，可得，由平行四邊形ABCD易證，故，由相似三角形的性質(zhì)可求．
(1)證明：∵，，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
(2)解：如圖，過作于點，過作交延長線于點．

∵，∴，∴．
∵，∴．
∵，∴．
在和中，
，
∴，
∴，即點到邊的距離為．
(3)解：如圖，過作交的延長線于點，

∴．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，∴．
∵，，
∴，∴，
∴．
【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練運用全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例

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