高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)2.2 基本不等式課時(shí)練習(xí)

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)2.2 基本不等式課時(shí)練習(xí)，文件包含專題22基本不等式解析版docx、專題22基本不等式原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共40頁(yè)， 歡迎下載使用。
?專題2.2 基本不等式

1．基本不等式：
（1）基本不等式成立的條件：.
（2）等號(hào)成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
2．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)，則a、b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
3．利用基本不等式求最值問(wèn)題
（1）積xy是定值P，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，x＋y有最小值是.(簡(jiǎn)記：積定和最小)
（2）和x＋y是定值P，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，xy有最大值是.(簡(jiǎn)記：和定積最大)
4．常用結(jié)論
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
5．利用基本不等式求最值的常用技巧
（1）若直接滿足基本不等式條件，則直接應(yīng)用基本不等式．
（2）若不直接滿足基本不等式條件，則需要?jiǎng)?chuàng)造條件對(duì)式子進(jìn)行恒等變形，如構(gòu)造“1”的代換等．常見的變形手段有拆、并、配.
①拆——裂項(xiàng)拆項(xiàng)：對(duì)分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對(duì)整式進(jìn)行拆項(xiàng)，為應(yīng)用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件．
②并——分組并項(xiàng)：目的是分組后各組可以單獨(dú)應(yīng)用基本不等式，或分組后先由一組應(yīng)用基本不等式，再組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值．
③配——配式配系數(shù)：有時(shí)為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項(xiàng)之和為定值.
（3）若一次應(yīng)用基本不等式不能達(dá)到要求，需多次應(yīng)用基本不等式，但要注意等號(hào)成立的條件必須要一致.注：若可用基本不等式，但等號(hào)不成立，則一般是利用函數(shù)單調(diào)性求解.

一、單選題
1．已知兩個(gè)正數(shù)滿足，則的最小值
A．3 B．6
C． D．
【試題來(lái)源】北京師范大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高一10月月考
【答案】B
【分析】直接由基本不等式可得．
【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為6，故選
2．設(shè)，則函數(shù)的最小值為
A．10 B．9
C．8 D．7
【試題來(lái)源】?jī)?nèi)蒙古鄂爾多斯市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（理）
【答案】B
【分析】利用換元法令，可將整個(gè)式子化簡(jiǎn)成關(guān)于t的函數(shù)，分子分母再分別除以t，得到關(guān)于t的一個(gè)對(duì)勾函數(shù)，再利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解．
【解析】令，則，因?yàn)?，所以?br /> 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值9．故選B．
3．下列說(shuō)法中正確的是
A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，的最小值是2
C．當(dāng)時(shí)，的最小值是5 D．若，則的最小值為
【試題來(lái)源】江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期10月月考
【答案】A
【分析】根據(jù)基本不等式適用的條件“一正二定三相等”依次討論各選項(xiàng)即可求得答案．
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，沒(méi)有最小值，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，可得，
，即最大值為1，
沒(méi)有最小值，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，，不是定值，D不正確．故選A．
4．已知且，則的最小值為
A．3 B．4
C．5 D．6
【試題來(lái)源】江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期10月月考
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，只需求的最小值，再根據(jù)基本不等式求解即可．
【解析】因?yàn)榍遥?br /> 所以．
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值小3．故選A．
5．設(shè)某同學(xué)從甲地到乙地往返的速度分別為和，其全程的平均速度為，則
A． B．
C． D．
【試題來(lái)源】河南省豫西名校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】D
【分析】設(shè)甲、乙兩地之間的距離為，可求得，知A錯(cuò)誤；利用基本不等式可求得，知BC錯(cuò)誤；利用作差法可求得，知D正確．
【解析】設(shè)甲、乙兩地之間的距離為，則全程所需的時(shí)間為，，A錯(cuò)誤；，由基本不等式可得，，BC錯(cuò)誤；
，，則，D正確．故選D．
6．下列結(jié)論正確的是
①當(dāng)時(shí)，
②當(dāng)時(shí)，的最小值是2
③當(dāng)時(shí)，的最大值是
④設(shè)且x+y＝2，則的最小值是
A．①②④ B．①③④
C．①③ D．①④
【試題來(lái)源】河南省洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期9月月考
【答案】D
【分析】運(yùn)用基本不等式逐一判斷即可．
【解析】對(duì)于①：時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，取等號(hào)，所以①正確；對(duì)于②：時(shí)，設(shè)（t≥2），則x2+5＝t2+1，原式轉(zhuǎn)化為，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)，取等號(hào)，由于t≥2，取不到最小值，所以②不對(duì)；
對(duì)于③：時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，取等號(hào)，即最大值是，所以③不對(duì)；對(duì)于④：x+y＝2，可得，則（）（），當(dāng)且僅當(dāng)x，y時(shí)，取等號(hào)，即最小值是，所以④正確；故選D．
7．，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
A． B．
C． D．
【試題來(lái)源】北京師范大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高一10月月考
【答案】D
【分析】不等式化為，利用基本不等式的性質(zhì)可得的最小值，即可得出．
【解析】不等式化為，
，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
不等式對(duì)一切恒成立，，解得，故選．
8．若直線過(guò)點(diǎn)，則的最大值等于
A．2 B．3
C．4 D．5
【試題來(lái)源】甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（文）
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得到，分類討論，結(jié)合基本不等式，即可求解．
【解析】由題意，直線過(guò)點(diǎn)，可得，
當(dāng)，此時(shí)；當(dāng)，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
綜上可得，的最大值為．故選C．
9．已知，且，則的最小值為
A． B．
C．4 D．3
【試題來(lái)源】福建省三明第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考
【答案】A
【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【解析】因?yàn)?，，?br /> 則，
當(dāng)且僅當(dāng)且即，時(shí)取等號(hào)．故選A．
10．已知x，y均為正數(shù)，且滿足，則的最大值為
A． B．2
C． D．
【試題來(lái)源】廣西浦北中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考
【答案】B
【分析】直接根據(jù)基本不等式即可求出的最大值．
【解析】因?yàn)?，，所以，即，所以，即?br /> 當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為2．故選B．
11．已知，則的最小值為
A．25 B．26
C．27 D．28
【試題來(lái)源】北京市第十二中學(xué)2022屆高三10月月考
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選A．
12．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B．
C． D．
【試題來(lái)源】海南省?？谑泻Ｄ喜▓@學(xué)校2022屆高三上學(xué)期第一次月考
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范圍．
【解析】當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，即的取值范圍為．故選D．
13．?dāng)M設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面（小矩形）面積為，它的兩邊都留有寬為的空白，頂部和底部都留有寬為的空白．當(dāng)宣傳畫所用的紙張（大矩形）面積最小時(shí)，畫面的高是（ ）．

A．48 B．60
C．78 D．88
【試題來(lái)源】福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2021-2022學(xué)年高一10月月考學(xué)情評(píng)價(jià)一
【答案】D
【分析】設(shè)畫面邊長(zhǎng)為，利用基本不等式求解紙張面積的最值，從而確定畫面的高．
【解析】設(shè)畫面邊長(zhǎng)為，其中是畫面的高，則，
紙張面積為
，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
所以當(dāng)宣傳畫所用的紙張（大矩形）面積最小時(shí)，畫面的高是．故選D
14．在中國(guó)，周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和．若一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于則這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值為
A． B．
C． D．
【試題來(lái)源】河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】C
【分析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為，則，根據(jù)基本不等式求出的最大值后，可得三角形周長(zhǎng)的最大值．
【解析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為，則．
因?yàn)?，所以?所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值為故選C
15．若，則的最大值是
A． B．
C． D．
【試題來(lái)源】金太陽(yáng)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考
【答案】B
【分析】將所求的代數(shù)式整理為，再利用基本不等式即可求解．
【解析】因?yàn)?，所以?br /> ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選B．
16．已知，，且，則的最小值為
A． B．
C． D．
【試題來(lái)源】四川省內(nèi)江市第六中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第二次（9月）月考（文）
【答案】C
【分析】根據(jù)，，且，結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式求解．
【解析】因?yàn)?，，且?br /> 所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4故選C
17．若，且恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
A． B．
C． D．
【試題來(lái)源】廣東省廣州市第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考
【答案】D
【分析】結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式求得的最小值后可得的范圍．
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．即的范圍是．故選D．
18．若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，x的值為
A．1 B．
C． D．
【試題來(lái)源】廣東省廣州市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式即可得到答案．
【解析】因?yàn)?，所以，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”．故選D．
19．已知，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B．
C． D．
【試題來(lái)源】河南省駐馬店市西平縣高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考
【答案】C
【分析】不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】因?yàn)?，所以不等式恒成立，?br /> ，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以．故選C
20．若，，且，則
A．有最大值1 B．有最小值1
C．有最大值 D．有最小值
【試題來(lái)源】河南省豫西名校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】B
【分析】借助均值不等式，可得可判斷C，D；又結(jié)合，可判斷A，B
【解析】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即
所以，故C，D錯(cuò)誤，由，，
得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤，B正確，故選B
21．已知a>0，b>0，a+3b﹣ab=0，若不等式m≤a+3b﹣1恒成立，則m的最大值為
A．11 B．15
C．26 D．3﹣1
【試題來(lái)源】福建省福州市閩侯縣第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考
【答案】A
【分析】將用表示，代入，變形后利用基本不等式求出最小值，利用恒成立求出的范圍，可得結(jié)果．
【解析】由得，因?yàn)?，所以，所以?br /> 所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，所以的最大值為．故選A
22．已知對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是
A．1 B．2
C．3 D．不存在
【試題來(lái)源】北京市對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高三10月月考
【答案】D
【分析】將已知轉(zhuǎn)化為對(duì)，不等式恒成立，利用基本不等式可知恒成立，即可得到答案．
【解析】對(duì)，不等式恒成立，可化為恒成立，
利用基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立
，即恒成立，即實(shí)數(shù)m的最大值不存在．故選D
23．已知，且 ，則的最小值為
A．4 B．3
C．2 D．1
【試題來(lái)源】山西省運(yùn)城市教育發(fā)展聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考
【答案】C
【分析】利用已知條件將化為積為定值的形式，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果．
【解析】
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，又，所以時(shí)，等號(hào)成立．故選C
24．若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為
A．8 B．9
C．10 D．11
【試題來(lái)源】山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)2021-2022 學(xué)年高一上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)
【答案】B
【分析】對(duì)等式進(jìn)行變形，再根據(jù)基本不等式進(jìn)行求解即可．
【解析】因?yàn)?，則，又，是正數(shù)．
所以，
當(dāng)取得等號(hào)，即且時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為9，故選B．
25．對(duì)于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．2
【試題來(lái)源】山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考
【答案】D
【分析】當(dāng)時(shí)，可判斷A；當(dāng)時(shí)，可判斷B；當(dāng)時(shí)，可判斷C；利用均值不等式，可判斷D．
【解析】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，，不成立，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，，不成立，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，不成立，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：由有意義，故，因此
由均值不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立
故D正確，故選D
二、多選題
1．已知正數(shù)a，b，則下列說(shuō)法正確的是
A．的最小值為2 B．
C． D．
【試題來(lái)源】江蘇省星海中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期十月月考
【答案】BC
【分析】由基本不等式和重要不等式逐一判斷選項(xiàng)，討論等號(hào)成立的條件可得結(jié)果．
【解析】A選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故“等號(hào)”不成立，A不正確；
B選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；C選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；
D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D不正確；故選BC
2．設(shè)，且，那么
A．有最小值 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
【試題來(lái)源】貴州省黎平一中2021-202學(xué)年度高一上學(xué)期第一次月考試題
【答案】AD
【分析】結(jié)合基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng)．
【解析】由，得，得，
則有，解得或（舍），
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），A正確，B錯(cuò)誤．
由，得，
即或（舍去），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），有最小值，D正確，C錯(cuò)誤．故選AD
3．下列結(jié)論正確的是
A．當(dāng)x≠0時(shí)，x+≥2 B．當(dāng)x>0時(shí)，+≥2
C．當(dāng)x≥2時(shí)，x+的最小值為2 D．當(dāng)x