第4章 數(shù)列
第二課時　等比數(shù)列前n項和的性質及應用
課標要求
1.熟練應用等比數(shù)列前n項和的性質解題.2.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，并解決相應的問題.
素養(yǎng)要求
通過利用等比數(shù)列的前n項和公式解決實際應用問題，提升學生的數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng).
問題導學預習教材必備知識探究
內容索引
互動合作研析題型關鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問題導學預習教材 必備知識探究
1
一、等比數(shù)列前n項和的性質1.思考　類比等差數(shù)列前n項和性質中的奇數(shù)項、偶數(shù)項的問題，等比數(shù)列是否也有相似的性質？
2.填空　(1)性質一：若Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，則數(shù)列{an}是______數(shù)列.
等比
q
溫馨提醒　等比數(shù)列前n項和的性質分為三類：第一類是項數(shù)的“奇、偶”性，主要描述數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之間的關系；第二類是“片段和”性質：一個等比數(shù)列依次等項數(shù)之和也成等比；第三類是“相關和”性質，即Sn＋m＝Sn＋qnSm.因此，在運用性質時，一定要認清條件適合用哪一條性質，以免出錯.
3.做一做　思考辨析，判斷正誤
√
√
√
×
二、等比數(shù)列前n項和的實際應用1.思考　日常生活中的增長率、利潤、利息、濃度匹配、養(yǎng)老保險等問題都與等比數(shù)列及其求和知識有關，如何解決這類問題？ 提示　解答這些問題時，應在認真審題的基礎上先將問題數(shù)學化，然后再函數(shù)化，最后數(shù)列化，即用數(shù)列的知識和方法求解實際問題.
2.填空　(1)解等比數(shù)列模型的求和應用題，一是直接運用公式求和；二是由特例入手，歸納總結一般情形，進而建立____________________，再求其和；三是尋找遞推公式，把它轉化為數(shù)列的問題. (2)解等差數(shù)列、等比數(shù)列應用題時，首先要認真審題，深刻理解問題的實際背景，理清蘊含在語言中的數(shù)學關系，把應用問題抽象為數(shù)學中的______數(shù)列、______數(shù)列問題，使關系明朗化、標準化，然后用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識求解.在建模時要明確是求n，an，還是Sn.
等比數(shù)列求和的模型
等差
等比
C
3.做一做　中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地……”，則該人最后一天走的路程為(　　) A.24里 B.12里 C.6里 D.3里
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互動合作研析題型 關鍵能力提升
2
例1 等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S2＝7，S6＝91，則S4為(　　) A.28 B.32 C.21 D.28或－21
A
題型一　等比數(shù)列的連續(xù)n項之和的性質
解析　 ∵{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4－S2，S6－S4也為等比數(shù)列，即7，S4－7，91－S4成等比數(shù)列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.
遷移1 將例題中的條件“S2＝7，S6＝91”改為“各項都為正數(shù)，Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值.
解　設S2n＝x，S4n＝y(tǒng)，則2，x－2，14－x，y－14成等比數(shù)列，
遷移2 將例題中條件“S2＝7，S6＝91”改為“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值.
法二　設b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，則b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56，∴b1(1＋q＋q2)＝56.
函數(shù)等比數(shù)列前n項和為Sn(且Sn≠0)，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn(q≠－1).
訓練1 在等比數(shù)列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
法二　∵{an}為等比數(shù)列，顯然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列，
例2 已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，全部項之和為偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64，求該等比數(shù)列的通項公式.
題型二　等比數(shù)列的不連續(xù)n項和的性質
解　設數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，全部奇數(shù)項、偶數(shù)項之和分別記為S奇，S偶，由題意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.
訓練2 已知等比數(shù)列{an}的首項是1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求此數(shù)列的公比和項數(shù).
解　設等比數(shù)列{an}的公比為q，項數(shù)為2n(n∈N*).
∴2n＝256，∴n＝8，即公比q＝2，項數(shù)n＝8.
B
題型三　等比數(shù)列前n項和的實際應用
A.2 B.3 C.4 D.1
(1)解應用問題的核心是建立數(shù)學模型.(2)一般步驟：審題、抓住數(shù)量關系，建立數(shù)學模型.(3)注意問題是求什么(n，an，Sn).
訓練3 一個熱氣球在第一分鐘上升了25 m的高度，在以后的每一分鐘內，它上升的高度都是它在前一分鐘內上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125 m嗎？
課堂小結
1.牢記1個知識點 等比數(shù)列的前n項和的性質.2.掌握2種方法(1)應用等比數(shù)列前n項和的性質時運用整體思想.(2)構建數(shù)學模型.3.注意1個易錯點對于某些數(shù)列問題，必須充分挖掘題目中隱含的條件(如n是奇數(shù)還是偶數(shù))，若忽略這些隱含條件將導致錯誤.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分層精練 核心素養(yǎng)達成
3
1.已知一個等比數(shù)列的項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為1 011，偶數(shù)項之和為2 022，則這個數(shù)列的公比為(　　) A.8 B.－2 C.4 D.2
D
2.已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項之和是奇數(shù)項之和的2倍，又它的首項為1，且中間兩項的和為24，則此等比數(shù)列的項數(shù)為(　　) A.6 B.8 C.10 D.12
B
C
ABD
5.中國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應償還多少？此問題中1斗為10升，則牛主人應償還粟的升數(shù)(　　)
D
6.正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S30＝13S10，S10＋S30＝140，則S20等于________.
40
7.一個球從256米的高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半，則當它第6次著地時，共經(jīng)過的路程是________米.
752
得210(S30－S20)＝S20－S10.又S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列，
9.已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為255，且偶數(shù)項的和比奇數(shù)項的和大85，首項a1＝1，求此數(shù)列的公比和項數(shù).
10.(1)設數(shù)列{xn}滿足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，記{xn}的前n項和為Sn，求S20；
解　(1)∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}為等比數(shù)列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250.
(2)設數(shù)列{an}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，求ba1＋ba2＋ba3＋…＋ba6.
解　設數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝2.
11.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12等于(　　) A.40 B.60 C.32 D.50
B
解析　由等比數(shù)列的性質可知，數(shù)列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4，8，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.
12.若數(shù)列{xn}滿足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，則lg(x101＋x102＋…＋x200)的值等于(　　) A.200 B.120 C.110 D.102
D
13.某企業(yè)投資1 000萬元用于一個高科技項目，每年可獲利25%，由于企業(yè)間競爭激烈，每年年底需要從利潤中取出200萬元進行技術研發(fā)與廣告投資方能保持原有的利潤增長率.問經(jīng)過多少年后，該項目的資金可以達到或超過翻兩番(4倍)的目標？(取lg 2≈0.3)
解　設該項目n年后資金數(shù)為an，n∈N*.則由已知得an＋1＝an(1＋25%)－200，
∵lg 2≈0.3，∴不等式化為0.1n≥1.2，∴n≥12.故經(jīng)過12年后，該項目資金可達到或超過翻兩番的目標.

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4.3 等比數(shù)列

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