5.1　導(dǎo)數(shù)的概念5.1.1　平均變化率課標(biāo)要求　1.通過實例，了解平均變化率的概念，并會求具體函數(shù)的平均變化率.2.了解平均變化率概念的形成過程，會在具體的情境中，說明平均變化率的實際意義.素養(yǎng)要求　1.通過具體的平均變化率問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2.借助平均變化率的求解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).1.思考　如圖，從數(shù)學(xué)的角度刻畫氣溫“陡升”，用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫變量變化的快慢程度？提示　陡峭程度反應(yīng)了氣溫變化的快與慢；A，B兩點相差31天，氣溫增加了15.1 ℃，則有≈0.5；而B，C兩點相差2天，氣溫增加了14.8 ℃，則有＝7.4.我們用比值刻畫了變量變化的快慢程度，比值稱為函數(shù)在某一區(qū)間上的平均變化率.平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”.2.填空　(1)函數(shù)的平均變化率一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為. (2)平均變化率的意義平均變化率的幾何意義是經(jīng)過曲線y＝f(x)上兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直線PQ的斜率.因此平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”.溫馨提醒　x2－x1，f(x2)－f(x1)可正可負(fù)，f(x2)－f(x1)也可以為零，但x2－x1不能為零.平均變化率可正、可負(fù)、可為零.3.做一做　已知函數(shù)f(x)＝x2＋1，則當(dāng)x由2變到2.1時，函數(shù)值的改變量為(　　)A.0.40  B.0.41C.0.43  D.0.44答案　B解析　f(2.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.故選B.題型一　求函數(shù)的平均變化率例1 (1)函數(shù)f(x)＝在[2，6]上的平均變化率為________.答案　－解析　＝＝－.(2)已知函數(shù)f(x)＝x＋，分別計算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率，并判斷在哪個區(qū)間上函數(shù)值變化得較快.解　自變量x從1變到2時，函數(shù)f(x)的平均變化率為＝＝；自變量x從3變到5時，函數(shù)f(x)的平均變化率為＝＝.因為<，所以函數(shù)f(x)＝x＋在自變量x從3變到5時函數(shù)值變化得較快.思維升華　求函數(shù)平均變化率的三個步驟第一步，求自變量的增量x2－x1；第二步，求函數(shù)值的增量f(x2)－f(x1)；第三步，求平均變化率.訓(xùn)練1 某森林公園在過去的10年里，森林占地面積變化如圖所示，試分別計算前5年與后5年森林面積的平均變化率.解　前5年森林面積的平均變化率為＝0.8(公頃/年).后5年森林面積的平均變化率為＝1.6(公頃/年).題型二　實際問題中的平均變化率例2 在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.(1)求運動員在第一個0.5 s內(nèi)高度h的平均變化率；(2)求高度h在1≤t≤2這段時間內(nèi)的平均變化率.解　(1)運動員在第一個0.5 s內(nèi)高度h的平均變化率為＝4.05(m/s).(2)在1≤t≤2這段時間內(nèi)，高度h的平均變化率為＝－8.2 (m/s).思維升華　實際問題中的平均變化率與函數(shù)在某一區(qū)間上的平均變化率類似，首先求f(x2)－f(x1)，再求比值.當(dāng)函數(shù)解析式?jīng)]有給定時，先根據(jù)實際問題求出函數(shù)解析式，再重復(fù)上述步驟即可.訓(xùn)練2 一質(zhì)點作直線運動，其位移s與時間t的關(guān)系為s(t)＝t2＋1，該質(zhì)點在2到2＋Δt(Δt>0)之間的平均速度不大于5，則Δt的取值范圍是________.答案　(0，1]解析　質(zhì)點在2到2＋Δt之間的平均速度為v＝＝＝4＋Δt，又v≤5，則4＋Δt≤5，所以Δt≤1，又Δt>0，所以Δt的取值范圍是(0，1].題型三　平均變化率的應(yīng)用例3 為了檢測甲、乙兩輛車的剎車性能，分別對兩輛車進行了測試，甲車從25 m/s到0 m/s花了5 s，乙車從18 m/s到0 m/s花了4 s，試比較兩輛車的剎車性能.解　甲車速度的平均變化率為＝－5(m/s2)，乙車速度的平均變化率為＝－4.5(m/s2)，平均變化率為負(fù)值說明速度在減少，因為剎車后，甲車的速度變化相對較快，所以甲車的剎車性能較好.思維升華　平均變化率的應(yīng)用主要有：求某一時間段內(nèi)的平均速度，物體受熱膨脹率，高度(重量)的平均變化率等等.解決這些問題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)自變量和因變量.訓(xùn)練3 已知氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是V(r)＝πr3.(1)求半徑r關(guān)于體積V的函數(shù)r(V)；(2)比較體積V從0 L增加到1 L和從1 L增加到2 L半徑r的平均變化率；哪段半徑變化較快(精確到0.01)？此結(jié)論可說明什么意義？解　(1)∵V＝πr3，∴r3＝，r＝，即r(V)＝.(2)函數(shù)r(V)在區(qū)間[0，1]上的平均變化率約為＝≈0.62(dm/L)，函數(shù)r(V)在區(qū)間[1，2]上的平均變化率約為＝－≈0.16(dm/L).顯然體積V從0 L增加到1 L時，半徑變化快，這說明氣球剛開始膨脹的比較快，隨著體積的增大，半徑增加的越來越慢.[課堂小結(jié)]1.牢記1個知識點平均變化率對函數(shù)而言，即是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值，即平均變化率為.2.明確平均變化率的意義平均變化率的絕對值越大，表示函數(shù)值變化得越快，絕對值越小，表示函數(shù)值變化得越慢.平均變化率的正負(fù)只表示變化的方向.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.已知函數(shù)y＝2＋，當(dāng)x由1變到2時，函數(shù)值的改變量等于(　　)A.  B.－  C.1  D.－1答案　B解析　函數(shù)值的改變量為－(2＋1)＝－.2.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2，則該函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為(　　)A.4  B.3C.2  D.1答案　A解析　∵f(3)＝11，f(1)＝3，∴該函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為＝＝4.3.一物體的運動方程是s＝3＋2t，則在[2，2.1]這段時間內(nèi)的平均變化率為(　　)A.0.4  B.2  C.0.3  D.0.2答案　B解析　在[2，2.1]這段時間內(nèi)的平均變化率為＝2.4.某物體的運動方程為s＝5－2t2，則該物體在時間[1，1＋d]上的平均速度為(　　)A.2d＋4  B.－2d＋4C.2d－4  D.－2d－4答案　D解析　平均速度為＝－2d－4.故選D.5.函數(shù)y＝x2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為k1，在區(qū)間[x0－Δx，x0]上的平均變化率為k2，則(　　)A.k1>k2  B.k1<k2C.k1＝k2  D.不確定答案　A解析　因為k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，又由題意知Δx>0，所以k1>k2.6.函數(shù)f(x)＝log2x在區(qū)間[2，4]上的平均變化率是________.答案　解析　函數(shù)的平均變化率是＝＝.7.如圖所示為物體甲、乙在時間0到t1范圍內(nèi)路程的變化情況，則在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度________乙的平均速度，在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”“大于”或“小于”).答案　等于　大于解析　由圖可知，在[0，t0]上，甲的平均速度與乙的平均速度相同；在[t0，t1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度.8.若函數(shù)y＝x3＋2在區(qū)間[1，a]上的平均變化率為21，則a＝________.答案　4解析　由＝＝a2＋a＋1＝21，解得a＝4或a＝－5.又∵a>1，∴a＝4.9.求函數(shù)f(x)＝x2＋＋4在區(qū)間[1，2]上的平均變化率.解　f(x)＝x2＋＋4在區(qū)間[1，2]上的平均變化率為＝.10.求函數(shù)y＝sin x在0到之間和到之間的平均變化率，并比較它們的大小.解　在0到之間的平均變化率為＝；在到之間的平均變化率為＝.∵2－<1，∴>，∴函數(shù)y＝sin x在0到之間的平均變化率較大.二、能力提升11.如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖象，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，1]，[0，2]上的平均變化率分別為m1，m2，則m1，m2的大小關(guān)系是(　　)A.m1＞m2  B.m1＜m2C.m1＝m2  D.無法確定答案　B解析　函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，1]上的平均變化率為m1＝＝＝.由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)＝所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的平均變化率為m2＝＝＝.所以m1＜m2.12.函數(shù)f(x)的圖象如圖，則函數(shù)f(x)在下列區(qū)間上平均變化率最大的是(　　)A.[1，2]  B.[2，3]C.[3，4]  D.[4，7]答案　C解析　函數(shù)f(x)在區(qū)間上[x1，x2]的平均變化率為，由函數(shù)圖象可得，在區(qū)間[4，7]上，<0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[4，7]上的平均變化率小于0；在區(qū)間[1，2]，[2，3]，[3，4]上，>0，由圖象可知函數(shù)在區(qū)間[3，4]上的平均變化率最大.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[3，4]上的平均變化率最大.13.已知函數(shù)f(x)＝2x2＋1.(1)求函數(shù)f(x)在[2，2.01]上的平均變化率；(2)求函數(shù)f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均變化率.解　(1)由f(x)＝2x2＋1，得f(2.01)－f(2)＝0.080 2，又2.01－2＝0.01，∴＝＝8.02.(2)∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴＝＝4x0＋2Δx.三、創(chuàng)新拓展14.函數(shù)f(x)＝x，g(x)＝x2，h(x)＝x3在[0，1]上的平均變化率分別記為m1，m2，m3，則下列結(jié)論正確的是(　　)A.m1＝m2＝m3  B.m1>m2>m3C.m2>m1>m3  D.m1<m2<m3答案　A解析　m1＝＝f(1)－f(0)＝1－0＝1，m2＝＝g(1)－g(0)＝12－0＝1，m3＝＝h(1)－h(0)＝13－0＝1，故m1＝m2＝m3，故選A. 

相關(guān)課件

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊第5章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1 導(dǎo)數(shù)的概念課堂教學(xué)ppt課件：

這是一份高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊第5章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1 導(dǎo)數(shù)的概念課堂教學(xué)ppt課件，共1頁。

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-5.1.1-平均變化率【課件】：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-5.1.1-平均變化率【課件】，共29頁。PPT課件主要包含了知識點，數(shù)量化，視覺化，類型1，類型2，類型3等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義精品ppt課件：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義精品ppt課件，文件包含511《變化率問題》課件pptx、511《變化率問題》教案docx等2份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共29頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)課件 更多

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊4.2 對數(shù)評課課件ppt

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊4.2 對數(shù)評課課件ppt
高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊第1章 集合1.3 交集、并集評課ppt課件

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊第1章 集合1.3 交集、并集評課ppt課件
蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊5.1 導(dǎo)數(shù)的概念課堂教學(xué)ppt課件

蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊5.1 導(dǎo)數(shù)的概念課堂教學(xué)ppt課件
2021學(xué)年第5章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1 導(dǎo)數(shù)的概念背景圖課件ppt

2021學(xué)年第5章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1 導(dǎo)數(shù)的概念背景圖課件ppt
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊電子課本

5.1 導(dǎo)數(shù)的概念

版本： 蘇教版 (2019)

年級： 選擇性必修第一冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部