第4章 數(shù)列
第二課時(shí)　數(shù)列的遞推公式
課標(biāo)要求
1.理解數(shù)列的遞推公式是數(shù)列的表示方法的一種形式.2.掌握由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法.
素養(yǎng)要求
通過(guò)由數(shù)列的遞推公式歸納或者推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).
問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究
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互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材 必備知識(shí)探究
1
一、數(shù)列的遞推公式
1.思考　(1)在{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，則a4的值為多少？提示　a1＝2，an＋1＝an＋2，故a2＝2＋1＝3，a3＝3＋2＝5，a4＝5＋3＝8.
(2)如圖所示，有三根針和套在一根針上的n個(gè)金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.①每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片；②在每次移動(dòng)過(guò)程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.將n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為an，你能發(fā)現(xiàn)an與an＋1之間的關(guān)系嗎？
提示　其實(shí)把n＋1個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，只需3步即可完成，第一步：把最大金屬片上面的n個(gè)金屬片移到2號(hào)位，需要an步；第二步：把最大的金屬片移到3號(hào)位，需要1步；第三步：把2號(hào)位上的n個(gè)金屬片移到3號(hào)位，需要an步，故an＋1＝2an＋1.
2.填空　一般地，如果已知一個(gè)數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)__________ (或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫作這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式也是給定數(shù)列的一種方法.
溫馨提醒　遞推關(guān)系是數(shù)列任意兩個(gè)或多個(gè)相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，需要知道首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，即可求數(shù)列中的每一項(xiàng).
an－1
C
二、數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系1.思考　利用an＋1＝2an，n∈N*，可以寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式嗎？提示　只有給出a1的值，才可以確定數(shù)列{an}.
2.填空　數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系
an－1
n
數(shù)列
溫馨提醒　(1)類(lèi)似bn＝an·an＋1的式子不是遞推公式，它只是說(shuō)明數(shù)列{bn}中的各項(xiàng)是由數(shù)列{an}中的項(xiàng)an與an＋1的積構(gòu)成的.(2)理解數(shù)列的遞推公式的注意點(diǎn)與“不一定所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互動(dòng)合作研析題型 關(guān)鍵能力提升
2
題型一　由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)
遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))之間的關(guān)系.對(duì)于通項(xiàng)公式，已知n的值即可得到相應(yīng)的項(xiàng)，而遞推公式則要已知首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，才可依次求得其他的項(xiàng).若項(xiàng)數(shù)很大，則應(yīng)考慮數(shù)列是否具有規(guī)律.
AD
題型二　根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)
解　由a1＝2，an＋1＝3an，得：a2＝3a1＝3×2，a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，…，
課堂小結(jié)
1.牢記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)(1)數(shù)列的4種表示方法①圖象法；②列表法；③通項(xiàng)公式法；④遞推公式法.(2)通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別.2.掌握求通項(xiàng)公式的常用方法 (1)觀察法；(2)累加法；(3)累乘法.3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) 累加(累乘)法求通項(xiàng)公式時(shí)，易忽略驗(yàn)證n＝1.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
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3
D
2.已知數(shù)列{an}中，a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，則a1＋a3的值為(　　) A.4 B.5 C.6 D.8
A
解析　由a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，可得a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，解得a1＝1，a3＝3, ∴a1＋a3＝4.
A
4.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an等于(　　) A.n2＋1 B.n＋1 C.1－n D.3－n
D
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2也符合上式.故數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝3－n(n∈N*).
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
ABD
6.數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，則14是{an}的第________項(xiàng).
5
8.數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N*，2≤n≤10)，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為_(kāi)_______.
1 024
9.根據(jù)下列條件，寫(xiě)出數(shù)列的前四項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式.
10.數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＝4an＋3，且a1＝1，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.
法二(迭代法)　由an＋1＝4an＋3，可得an＋1＋1＝4(an＋1)，則a2＋1＝4(a1＋1)，a3＋1＝4(a2＋1)，a4＋1＝4(a3＋1)，…，an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴an＋1＝4n－1(a1＋1)(n≥2)，即an＝2·4n－1－1＝22n－1－1(n≥2).又a1＝1也滿(mǎn)足上式，∴an＝22n－1－1.
11.如下表定義函數(shù)f(x)：
對(duì)于數(shù)列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2，3，4，…，則a2 022的值是(　　)A.1 B.2 C.5 D.4
A
解析　因?yàn)閍1＝4，an＝f(an－1)，所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，由上可知，數(shù)列{an}是4，1，5，2，4，1，…，是周期為4的周期數(shù)列，又2 022＝505×4＋2，所以a2 022＝a2＝1.
2＋ln n
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，…，an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2).把以上各式分別相加得an－a1＝ln n－ln 1，則an＝2＋ln n，且a1＝2也適合，因此an＝2＋ln n(n∈N*).
14.在一個(gè)數(shù)列中，如果對(duì)任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫作等積數(shù)列，k叫作這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
28
解析　依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

4.1 數(shù)列

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修第一冊(cè)

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