高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊4.2 等差數(shù)列教案

這是一份高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊4.2 等差數(shù)列教案，共6頁。教案主要包含了新課導(dǎo)入，新知探究，應(yīng)用舉例，課堂練習(xí)，課堂小結(jié)，布置作業(yè)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
教學(xué)目標(biāo)
1.理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義；
2.能在具體的情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相關(guān)問題；
3.體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系；
4.通過等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義．
難點(diǎn)：利用等差數(shù)列解決相關(guān)問題．
教學(xué)過程
一、新課導(dǎo)入
情境：第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會于1896年在希臘雅典舉行，此后每4年舉行一次.奧運(yùn)會如因故不能舉行，屆數(shù)照算.按此規(guī)則，問：2050年舉行奧運(yùn)會嗎？
分析：舉行奧運(yùn)會的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個以1896為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.這個數(shù)列為1896，1900，1904，1908，…
要判斷2050年是否舉行奧運(yùn)會，只需要看2050是否在這個數(shù)列內(nèi).
追問：如何判斷2050是否在這個數(shù)列內(nèi)呢？
答案：寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，看是否存在n∈N?時， an=2050.
這節(jié)課我們一起來研究等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
二、新知探究
問題1：觀察等差數(shù)列an
4，7，10，13，16，…，
如何寫出它的第100項(xiàng)a100呢？
分析：試著用等差數(shù)列的取值規(guī)律表示每一項(xiàng).
答案：a1=4，
a2=7=4+3，
a3=10=4+3×2，
a4=13=4+3×3，
…
從而 a100=4+3×99=301.
想一想：設(shè)數(shù)列an是一個首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，根據(jù)上面的等式規(guī)律你能寫出它的第n項(xiàng)an嗎？
答案：一般地，對于等差數(shù)列an的第n項(xiàng)an，有 an=a1+(n?1)d.
追問：能否證明上面的結(jié)論？
證明：因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以當(dāng)n≥2時，有
a2?a1=d，
a3?a2=d，
…
an?an?1=d.
將上面n?1個等式的兩邊分別相加，得
an?a1=(n?1)d，
所以 an=a1+(n?1)d.
當(dāng)n=1時，上面的等式也成立.
總結(jié)：首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a1+(n?1)d.
練一練：等差數(shù)列9，5，1，…的第101項(xiàng)是多少？
解：由a1=9，d=5?9=?4，
得a101=a1+n?1d=9+101?1×?4=?391.
問題2：現(xiàn)在你能否解決前面提到的情境問題？
答案：由題意知，舉行奧運(yùn)會的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個以1896為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.這個數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=1896+4n?1
=1892+4n(n∈N?).
假設(shè)an=2050，則2050=1892+4n，解得n=39.5.
所以an=2050無正整數(shù)解.
答：按此規(guī)則，2050年不舉行奧運(yùn)會.
問題3：我們知道，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n?1)d，你發(fā)現(xiàn)an與n的關(guān)系與以前所學(xué)過的什么函數(shù)有關(guān)？
追問1：在通項(xiàng)公式an=a1+(n?1)d中，誰是常量，誰是變量？
答案：a1和d是常量，an和n是變量.
追問2：變量之間有什么變化關(guān)系？
答案：an隨n的變化而變化，且每一個n的值對應(yīng)一個an.所以an是關(guān)于n的函數(shù)．
小結(jié)：將an=a1+(n?1)d整理一下，可得an=a1+(n?1)d=dn+(a1?d)，可將an記作f（n）.它是定義在正整數(shù)集（或其子集）上的函數(shù).
（1）當(dāng)公差d=0時，f（n）是常數(shù)函數(shù)，此時數(shù)列an是常數(shù)列（因此，公差為0的等差數(shù)列是常數(shù)列）；
（2）當(dāng)公差d≠0時，f（n）是自變量取整數(shù)的一次函數(shù).
問題4：你能畫出等差數(shù)列an的圖象嗎？
追問1：an的圖象與一次函數(shù)y=dx+(a1?d)的圖象有什么關(guān)系？
答案：等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)圖象的一個子集，是圖象上一些間隔的點(diǎn)．
追問2：公差d的幾何意義是什么？
答案：公差d是對應(yīng)直線y=dx+(a1?d)的斜率.
追問3：d的取值對圖象的增減性是否有影響？
答案：有，分d＞0，d＜0，d=0.
小結(jié)：等差數(shù)列an的圖象是斜率為d，截距為a1?d的直線上，自變量取正整數(shù)的點(diǎn)組成的集合.
總結(jié)：等差數(shù)列的增減性
當(dāng)d＞0時，數(shù)列an為遞增數(shù)列；
當(dāng)d＜0時，數(shù)列an為遞減數(shù)列；
當(dāng)d=0時，數(shù)列an為常數(shù)列.
設(shè)計(jì)意圖：通過等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程強(qiáng)化對通項(xiàng)公式意義的理解，并通過探究通項(xiàng)公式體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
三、應(yīng)用舉例
例1 在等差數(shù)列an中，
（1）已知a1=3，公差d=?2，求a6；
已知a3=10，a9=28，求an.
思考1：等差數(shù)列由哪些基本量確定？
答案：a1和d.
思考2：已知任意兩項(xiàng)如何確定通項(xiàng)an？
答案：利用通項(xiàng)公式列方程組求解即可.
解：（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得
a6=3+6?1?2=?7.
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，那么
a1+2d=10，a1+8d=28，
解得 a1=4，d=3.
所以 an=4+n?1·3=3n+1.
已知等差數(shù)列an得通項(xiàng)公式為an=2n?1，求首項(xiàng)a1和公差d.并畫出它的圖象.
思考1：已知通項(xiàng)如何求a1和d？
答案：令n=1求a1，an＋1?an=d.
思考2：an=2n?1 與哪個函數(shù)有關(guān)？
答案：與一次函數(shù)y=2x?1有關(guān).
解：a1=2×1?1=1，
a2=2×2?1=3，
所以d=a2?a1=3?1=2.
等差數(shù)列an=2n?1是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示這個數(shù)列的各點(diǎn)(n，an)均在直線y=2x?1上.
設(shè)計(jì)意圖：通過例題，對等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行練習(xí)，掌握求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，并通過畫圖進(jìn)一步體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．
四、課堂練習(xí)
1．(1) 求等差數(shù)列8，5，2…的第20項(xiàng)．
(2) 已知{an}是等差數(shù)列，且a2＝-5，a6＝a4＋6，求首項(xiàng)a1和公差d．
2. -401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？
3. 諾沃爾（Knwall）在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人類都可以看到這顆彗星，即彗星每隔83年出現(xiàn)一次.
（1）從發(fā)現(xiàn)那次算起，彗星第8次出現(xiàn)是在哪一年？
（2）你認(rèn)為這顆彗星會在2500年出現(xiàn)嗎？為什么？
4.已知(2，1)，(4，5)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點(diǎn)．
(1)求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)判斷(n，17)是否是{an}圖象上的點(diǎn)，若是，求出n的值，若不是，說明理由；
(3)判斷這個數(shù)列的增減性，并求其最小正數(shù)項(xiàng)．
參考答案：
1．(1) 由已知條件得a1＝8，d＝5-8＝-3，n＝20，從而a20＝8＋(20-1)×(-3)＝-49．
所以這個數(shù)列的第20項(xiàng)是-49.
(2) 解：設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an= a1+( n-1)d，
由已知得a1+d=-5a1+5d=a1+3d+6，解得a1＝-8，d＝3．
2. 由a1=-5,d=-9-(-5)=-4，
得這個數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-5-4(n-1)=-4n-1，
令-4n-1=-401，解得n=100，
由于100∈N?，所以-401是這個等差數(shù)列中的項(xiàng)，是第100項(xiàng).
3. 解：（1）由題意知，彗星出現(xiàn)的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個以1823為首項(xiàng)，83為公差的等差數(shù)列.這個數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=1740+83n?1
=1657+83n(n∈N?).
所以，a8=1657+83×8=2321.
（2）假設(shè)an=2500，則2500=1657+83n，解得n≈10.2.
所以an=2500無正整數(shù)解.
所以這顆彗星不會在2500年出現(xiàn).
4.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝dn＋b，
由(2，1)，(4，5)是等差數(shù)列圖象上的兩點(diǎn)，可得
2d+b=1，4d+b=5，解得b=?3，d=2，所以an＝2n?3.
(2)(n，17)是{an}圖象上的點(diǎn)．
由2n?3＝17，得n＝10∈N*，
所以(10，17)是{an}圖象上的點(diǎn)．
(3)由d＝2>0，知數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．
令2n?3>0，得n>32，
即n≥2.
所以數(shù)列{an}的最小正數(shù)項(xiàng)為a2＝1.
五、課堂小結(jié)
①首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a1+(n?1)d.公式中有四個量，已知其中任意三個量可求第四個量；
②等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：
an=dn+(a1?d)，可將an記作f（n）.它是定義在正整數(shù)集（或其子集）上的函數(shù).
當(dāng)公差d=0時，f（n）是常數(shù)函數(shù)；
當(dāng)公差d≠0時，f（n）是自變量取整數(shù)的一次函數(shù).
六、布置作業(yè)
教材第133頁練習(xí)第1，3，4題．