1.1.2 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.了解空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)與運(yùn)算律.（重點(diǎn)）3.可以用數(shù)量積證明垂直，求解角度和長度．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1、邏輯推理2、數(shù)學(xué)運(yùn)算3、數(shù)學(xué)抽象【自主學(xué)習(xí)】一．空間向量的夾角1.已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的     ，記作      ．2.a，b為非零向量，＝，a與b的夾角的范圍是      。當(dāng)＝0時(shí)，a與b       ；當(dāng)＝π時(shí)，a與b      ；當(dāng)＝時(shí)，a與b        ． 二．空間向量數(shù)量積1.概念：已知兩個(gè)非零向量a，b，則         叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|．解讀：兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.2.投影向量：向量a向向量b投影，得到c =         ,向量c稱為向量a在向量b上的投影向量。3.性質(zhì)及應(yīng)用 性質(zhì)應(yīng)用若a，b為非零向量，則a⊥b?a·b＝0　用于證明線線垂直a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝，推廣：|a±b|=.用于求長度＝   用于求異面直線所成角4.運(yùn)算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)a·b＝b·a(交換律)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c　(分配律).解讀：向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去律（a·b＝a·c不能推出b＝c）和乘法的結(jié)合律（(a·b)·c≠a·(b·c)）．【小試牛刀】1.思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若非零向量a，b為共線且同向的向量，則a·b＝|a||b|.(  )(2)對于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(   )(3)對任意向量a，b，滿足|a·b|≤|a||b|.(  )(3)對于非零向量a，b，與相等．(　　)(4)若a·b＝b·c，且b≠0，則a＝c.(　　)(5)若a，b均為非零向量，則a·b＝|a||b|是a與b共線的充要條件．(　　)2.已知兩異面直線的方向向量分別為a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，則兩直線的夾角為(　　)A．30°    B．60°    C．120°    D．150°【經(jīng)典例題】題型一　數(shù)量積的計(jì)算點(diǎn)撥：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算方法1.已知a，b的模及a與b的夾角，直接代入數(shù)量積的公式計(jì)算．如果求的是關(guān)于a與b的多項(xiàng)式形式的數(shù)量積，可以先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將多項(xiàng)式展開，再利用a·a＝|a|2及數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算．2.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟：(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積；(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a||b|求解．例1　(1)已知向量a和b的夾角為120°，且|a|＝2，|b|＝5，則(2a－b)·a等于(　　)A．12    B．8＋    C．4    D．13(2)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則a·b＝(　　)A．1    B．2    C．3    D．4【跟蹤訓(xùn)練】1如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點(diǎn)，求：(1)·；  (2)·；   (3)·；   (4)·.　     題型二　用數(shù)量積證明垂直問題點(diǎn)撥：用向量法證明垂直關(guān)系的步驟 (1)把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)用已知向量表示所證向量；(3)結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0；(4)將向量問題回歸到幾何問題．例2 如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求證：BD⊥平面ADC.    【跟蹤訓(xùn)練】 2 已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD與BC的位置關(guān)系為_______．(填“平行”或“垂直”)題型三 用數(shù)量積求角度點(diǎn)撥：利用向量求異面直線夾角的步驟例3　如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是______． 【跟蹤訓(xùn)練】 3 已知點(diǎn)O是正△ABC平面外的一點(diǎn)，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分別是AB、OC的中點(diǎn)，試求異面直線OE與BF所成角的余弦值．   題型四  用數(shù)量積求長度點(diǎn)撥：利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|＝求解即可． 例4 如圖，已知中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，則PC的長為__________． 【跟蹤訓(xùn)練】4 在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的長．     【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.已知i，j，k是兩兩垂直的單位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，則a·b等于(　　)A．－2     B．－1     C．±1     D．22.已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b|等于(　　)A．      B．97    C．     D．613.已知向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為_________.4.已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＝135°，m⊥n，則λ＝________．5.如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則異面直線OA與BC的夾角的余弦值為________． 6.如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長為.(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1；(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為，求側(cè)棱的長． 
【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】一．1.夾角  2.[0，π]  方向相同  方向相反 互相垂直 0或π  二．1.|a||b| 2.   3.a·b＝0        4.λ(a·b)  b·a  a·b＋a·c【小試牛刀】1.√   ×  √  √  ×  ×2.B 解析：設(shè)向量a，b的夾角為θ，則＝＝－，所以θ＝120°，則兩個(gè)方向向量對應(yīng)的直線的夾角為180°－120°＝60°.【經(jīng)典例題】例1 (1) D 解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×＝13.(2) A解析：由題意知p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.【跟蹤訓(xùn)練】1 解 (1)·＝·＝||||·cos〈，〉＝cos 60°＝.(2)·＝·＝||2＝.(3)·＝·＝||·||cos〈，〉＝cos 120°＝－.(4)·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0.例2 【證明】　不妨設(shè)AD＝BD＝CD＝1，則AB＝AC＝.·＝(－)·＝·－·，由于·＝·(＋)＝·＝1，·＝||·||cos 60°＝××＝1.∴·＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，∴BD⊥平面ADC.【跟蹤訓(xùn)練】2 垂直 解析：∵·＝(＋)·(－)＝·＋·－2－·＝·(－－)＝·＝0，∴AD與BC垂直．例3 90° 解析：不妨設(shè)棱長為2，則＝－，＝＋，cos〈，〉＝＝＝0。【跟蹤訓(xùn)練】 3 解：設(shè)＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，則a·b＝b·c＝c·a＝.又∵＝(a＋b)，＝c－b，∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－|b|2＝－.又||＝，||＝，∴cos 〈，〉＝＝－，∵異面直線夾角的范圍為，∴異面直線OE與BF所成角的余弦值為.例4  7 解析：∵＝＋＋，∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49．∴PC＝7．【跟蹤訓(xùn)練】4 解　因?yàn)?/span>＝＋＋，所以＝(＋＋)2＝2＋2＋＋2(·＋·＋·)．因?yàn)?/span>∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.因?yàn)?/span>＝||2，所以||2＝23，則||＝，即AC1＝.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.A 解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.2.C 解析：|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2 ＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝.3. 60° 解析：(a＋2b)·(a－b)＝－6，則a2＋a·b－2b2＝－6，即12＋a·b－2×22＝－6，a·b＝1，所以＝＝，所以＝60°.4.－解析： 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，∴18＋(λ＋1)×3×4cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－.5.  解析：因?yàn)?/span>＝－，所以·＝·－·＝||·||·cos〈，〉－||·||·cos〈，〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16.所以cos〈，〉＝＝＝，所以異面直線OA與BC的夾角的余弦值為.6.(1)證明　＝＋，＝＋.∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.又△ABC為正三角形，∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)解　結(jié)合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.又||＝||.∴cos〈，〉＝＝，∴||＝2，即側(cè)棱長為2.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.1 空間向量及其運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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