?1．1.2　空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

知識點(diǎn)一　空間向量的夾角
1．定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．

2．范圍：0≤〈a，b〉≤π.
特別地，當(dāng)〈a，b〉＝時，a⊥b.

知識點(diǎn)二　空間向量的數(shù)量積
定義
已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.
即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.
性質(zhì)
①a⊥b?a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
運(yùn)算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交換律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).


知識點(diǎn)三　 向量a的投影
1．如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．
2．如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到，向量稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．


題型一、數(shù)量積的計算
1．空間向量的夾角
圖示

定義
已知兩個非零向量，，在空間任取一點(diǎn)O，作，，
則_________叫做向量，的夾角，記作_________
范圍
通常規(guī)定：__________________；
當(dāng)_________時，與垂直，記作_________
【答案】???? ；??； 0 ； ；? ； .

2．空間向量的數(shù)量積
（1）定義：已知兩個非零向量，，則_________叫做，的數(shù)量積，記作．即_________．
【微提醒】零向量與任意向量的數(shù)量積為0．
（2）由數(shù)量積的定義，可以得到：
_________；_________．
【答案】???? 向量的模長與在向量方向上的投影的乘積?；； ?；

3．如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，若E?F分別是AB?AD的中點(diǎn)，則___________，___________，___________，___________.

【答案】???? ?；?； ?； 0
【詳解】在棱長為1的正四面體ABCD中，每個面都是正三角形.所以.
因?yàn)镋?F分別是AB?AD的中點(diǎn)，所以,
所以的夾角為60°，所以；
所以的夾角為0°，所以；
所以的夾角為120°，所以；
取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、BG，則.
又,所以面ABG,所以AB，所以的夾角為90°.
所以的夾角為90°，所以.
故答案為：.

4．如圖，在單位正方體中，設(shè)，，，求：

(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)0； (2)1；(3)3
【詳解】(1)在單位正方體中，由題意，
所以
(2)
(3)

5．已知在四面體ABCD中，，，則______．
【答案】24
【詳解】由題設(shè)，可得如下四面體示意圖，

則，
又，，
所以.
故答案為：24

題型二、 投影向量
1．投影向量
（1）在空間，向量向向量投影：
如圖①，先將它們平移到同一平面內(nèi)，利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，_________，稱向量為向量在向量上的投影向量．
（2）向量在直線l上的投影如圖②．

（3）向量向平面投影：
如圖③，分別由向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面的垂線，垂足分別為，，得到向量，向量_________稱為向量在平面上的投影向量．
【答案】???? ?；

2．判斷正誤：
（1）向量在向量方向上的投影數(shù)量等于向量在向量方向上的投影數(shù)量；( )
（2）和向量在向量方向上的投影數(shù)量等于，在向量方向上的投影數(shù)量之和．( )
【答案】???? 錯???? 正確
【詳解】（1）向量在向量方向上的投影數(shù)量：
向量在向量方向上的投影數(shù)量：
因?yàn)榕c不一定相等，所以與不一定相等
所以（1）錯.
（2）向量在向量方向上的投影數(shù)量：
因?yàn)?br /> 所以
，在向量方向上的投影數(shù)量之和為：
所以向量在向量方向上的投影數(shù)量等于，在向量方向上的投影數(shù)量之和
故（2）正確.
3．已知，向量為單位向量，，求向量在向量方向上的投影的數(shù)量．
【答案】
【詳解】由題意，
則向量在向量方向上的投影的數(shù)量為

4．已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為___________
【答案】
【詳解】在方向上的投影向量為，
故答案為：.

5．已知向量與的夾角為．
(1)若是與方向相同的單位向量，求在上的投影向量；
(2)求；
(3)求．
【答案】(1)；(2)；(3)
【詳解】(1)在上的投影向量為

(2)，所以

(3)


題型三、利用數(shù)量積證明垂直問題
1．如圖，在空間四邊形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．

求證：OA⊥BC．
【詳解】證明：∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAB≌△OAC．∴∠AOB＝∠AOC．
∵
∴.即OA⊥BC．

2．如圖，四面體OABC各棱的棱長都是1，D，E分別是OC，AB的中點(diǎn)，記，，.

(1)用向量表示向量；
(2)求證.
【詳解】(1)根據(jù)題意，
.
(2)根據(jù)題意，相互之間的夾角為，且模均為1，
由（1）
，
所以.

3．如圖在正方體中，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)．求證：平面.

【詳解】證明：設(shè)，，，則，，.
而，
，
.
∴
.
∴，∴.同理可證，∴.
又且平面，∴平面.

題型四、利用數(shù)量積求模
1．在棱長為2的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，則（???????）．
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【詳解】

由題設(shè)，，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以．
故選：C．

2．已知平行六面體，，，求.

【答案】
【詳解】∵為平行六面體，∴，
∴




，
∴.

3．如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AA1的長為b，∠A1AB=∠A1AD=120°.

（1）求AC1的長;
（2）證明:AC1⊥BD．
【詳解】（1）∵||2=(+)2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=
a2+a2+b2+2a2cos 90°+2abcos 120°+2abcos 120°=2a2+b2-2ab,
∴AC1=||=.
（2∵·=(++)·(-)=·+||2+·-||2-·-··-·=bacos 120°-bacos 120°=0,
∴⊥,即AC1⊥BD．

題型五、利用數(shù)量積求夾角
1．已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由得，，
所以，得，故與的夾角為.
故選：D

2．四面體中，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，，所?br /> 所以，
所以，又，所以，
所以，因?yàn)椋裕?br /> 故選：C

3．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長度都為，且兩兩夾角為.求：

（1）的長；
（2）與夾角的余弦值.
【詳解】（1）記，，，則，，
，
，
，即的長為；
（2），，
，，
，，
又，
，即與夾角的余弦值為.



1．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，若點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則______．
【答案】
【詳解】連接AC、BD，由題意得A-BCD為正四面體，底面為等邊三角形，
因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，
所以，且，
所以.
故答案為：
???
2．三棱錐中，，，，則______．

【答案】-2
【詳解】由題意得，故，
,
故答案為：-2

3．已知單位正方體，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【答案】(1)0；(2)0；(3)1；(4)1；(5)1；(6).
【詳解】(1)；

(2)

；
(3)

；
(4)；
(5)
；
(6)


.

4．已知，，與的夾角為135°，則在方向上的投影向量為（???????）
A．－ B． C． D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)?，，與的夾角為135°，
所以在方向上的投影為，
所以在方向上的投影向量為－，
故選：A.

5．中，角、、的對邊分別為、、，并且，，．設(shè)，，則向量在向量上的投影向量為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由余弦定理可得，因?yàn)?，，則，
所以，向量在向量上的投影向量為.
故選：C.

6．已知向量、的夾角為120°，且，．
(1)求；
(2)求向量在向量方向上的投影．
【答案】(1)；(2)
【詳解】(1)∵·＝||||cos120°＝4×3×＝－6，
∴＝．
(2)∵·（＋）＝＋·＝＝10，
∴向量在向量＋方向上的投影為：．

7．已知四面體OABC，，．求證：．
【詳解】

因?yàn)?
所以,
因?yàn)?，?br /> 所以，
所以，即.

8．已知空間四邊形中，，且，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：
【詳解】證明：如圖所示，設(shè)，，，，則.∵，，∴
，∴，即


9．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于點(diǎn)O，連接AO．求證：AO⊥CD1．

【詳解】∵
???????????????
∴
，
∴，即AO⊥CD1.

10．如圖所示，已知和都是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，．求證：平面．

【詳解】不妨設(shè)，則，
由空間向量數(shù)量積的定義可得，
因?yàn)榍?，所以，?br /> 所以，，，
又因?yàn)?，，因此，平?

11．已知均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（???????）
A． B． C． D．4
【答案】C
【詳解】．
故選：C.

12．若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（???????）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【詳解】，
故，
故選：C

13．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，則（???????）
A． B．
C． D．異面直線與所成角的余弦值為
【答案】BD
【詳解】設(shè)，，，則，，，
，，，
，，
所以．
故選：BD.

14．在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長度都為，且兩兩夾角為，則的長為________.
【答案】
【詳解】由已知可得，且，
由空間向量數(shù)量積的定義可得，
所以，，
因此，.
故答案為：.

15．如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，，設(shè)，，．

(1)用，，表示，并求；
(2)求．
【答案】(1)，；(2)0
【詳解】(1)因?yàn)椋?
所以，
因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形，，，
所以



(2)因?yàn)?，底面ABCD是邊長為1的正方形，，，
所以

16．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn).若，，.

（1）求對角線的長；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】連接，，，如圖：

（1）頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是
，，，
由（1）可知平行四邊形中 ，

，，即對角線的長為.
（2），，
∴.

17．如圖所示，正四面體的高VD的中點(diǎn)為O，VC的中點(diǎn)為M．

(1)求證：兩兩垂直；
(2)求異面直線與所成角的大小．
【詳解】(1)解：設(shè)，，，
不妨令正四面體的棱長為1，則有，，
則，，
同理可得，，
所以
．
所以，即，
同理可得：，．
所以兩兩垂直.
(2)因?yàn)椋?br /> 所以，，
則，
所以，
所以異面直線與所成角的大小為．

18．如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)．設(shè)，，．

（1）求證：；
（2）求異面直線和所成角的余弦值．
【詳解】（1）由已知得

，
所以，所以；
（2）



，
設(shè)異面直線和所成角為，則，
所以異面直線和所成角的余弦值為．



1．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，則的值為（???????）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意得，故.
故選：D.

2．已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】依題意三角形的外接圓圓心為，且，
所以是的中點(diǎn)，即是圓的直徑，且，
由于，所以三角形是等邊三角形，
設(shè)圓的半徑為，則，

所以向量在向量上的投影向量為.
故選：C.

3．已知△ABC的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖示：

因?yàn)椤鰽BC的外接圓圓心為O，，，
所以,所以△AOC為等邊三角形，所以O(shè)BAC為菱形，所以.
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：B

4．下列命題中正確的個數(shù)為（???????）
①若，則
②若，且，則
③若，，且與的夾角為，則在方向上的投影向量為
④若，則必定存在實(shí)數(shù)，使得
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【詳解】對于①，向量不能比較大小，故①錯誤；
對于②，當(dāng)時，，此時與不相等，故②錯誤；
對于③，在方向上的投影向量為，故③正確；
對于④，當(dāng)，為非零向量時，，但不存在實(shí)數(shù)，使得，故④錯誤；
故選：B

5．三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】如圖，設(shè)，，，棱長均為，
由題意，，，，

，，
，
，
，
，
異面直線與所成角的余弦值為，
故選：A.

6．在平行六面體中，，，，則（???????）
A． B．5 C． D．3
【答案】B
【詳解】，
所以，
所以，
故選：B.

7．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（???????）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，
依題意，，
設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，
所以與AC所成角的大小為.
故選：B

8．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則的值為（???????）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且，則為的中點(diǎn)，
，
則

.
故選：D.

9．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．在塹堵中，，P為的中點(diǎn)，則（???????）．
A．6 B． C．2 D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)塹堵的幾何性質(zhì)知：，，．

因?yàn)?，?br /> 所以
.
故選：A．

10．在平行六面體中，，，，，，則AM的長為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵，
∴ ，
∴．
故選：C．

11．如圖，四面體中，，分別為和的中點(diǎn)，，，且向量與向量的夾角為，則線段長為（???????）

A． B． C．或 D．3或
【答案】A
【詳解】取AC的中點(diǎn)E，連接ME、EN，又，分別為和的中點(diǎn)，
∴ME∥BC，且，∥AD，且，

∵向量與向量的夾角為，
∴向量與向量的夾角為，
又，
∴，
∴，即線段長為.
故選：A.

12．在平形六面體中，其中，，，，，則的長為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)槭瞧叫辛骟w，
所以，
所以有：，
因此有：
，
因?yàn)?，，，，?br /> 所以，
所以，
故選：B

13．（多選）下列說法正確的是（???????）
A．對于任意兩個向量，若，且同向，則
B．已知，為單位向量，若，則在上的投影向量為
C．設(shè)為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件
D．若，則與的夾角是鈍角
【答案】BC
【詳解】選項A：向量是既有大小又有方向的量，但不能比較大小，故選項A錯誤；
選項B：在單位向量上的投影向量為，故選項B正確；
選項C：若存在負(fù)數(shù)，使得，則；
若，則向量與的夾角為鈍角或，故選項C正確；
選項D：若，則與的夾角是鈍角或角，故選項D錯誤；
故選：BC.

14．（多選）如圖，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱彼此的夾角都是60°，且棱長均為1，則下列選項中正確的是（???????）

A．
B．
C．直線與直線所成角的正該值是
D．直線與平面所成角的正弦值是
【答案】AB
【詳解】記，則
因?yàn)?，所以，故A正確；
因?yàn)?，故B正確；
因?yàn)?，，?
所以，所以，故C不正確；
易知，又，所以為平面的法向量，記直線與平面所成角為，則，故D不正確.
故選：AB

15．判斷正誤
（1）向量與的夾角等于向量與的夾角．( )
（2）若，則或．( )
（3）對于非零向量，，與相等．( )
（4）若，且，則．( )
（5）若，均為非零向量，則是與共線的充要條件．( )
【答案】???? ×???? ×???? ×???? ×???? ×
【詳解】
(1)向量與的夾角與向量與的夾角互補(bǔ)，錯誤；
(2)比如，錯誤；
(3)由非零向量，，與互補(bǔ)，錯誤；
(4)不一定相等，錯誤；
(5)若，均為非零向量，，則，
若與共線，則或，錯誤.

16．正四面體的棱長為1，E為中點(diǎn)，則__________
【答案】
【詳解】因?yàn)檎拿骟w的棱長為1，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
所以


.
故答案為：

17．如圖在平行六面體中，，，則的長是_________．

【答案】
【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，，
，
所以，
所以的長是，
故答案為：.

18．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為__________.

【答案】
【詳解】因?yàn)?br /> 所以

即
故答案為：
19．設(shè)空間中有四個互異的點(diǎn)A?B?C?D，若，則的形狀是___________.
【答案】等腰三角形
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
則，即，
所以的形狀是等腰三角形，
故答案為：等腰三角形

20．已知空間向量??是兩兩互相垂直的單位向量，=___________.
【答案】
【詳解】∵空間向量??是兩兩互相垂直的單位向量，
∴，
∴.
故答案為：.

21．已知空間向量與滿足，且，若與的夾角為，則________．
【答案】
【詳解】因?yàn)椋c的夾角為，
所以由，
故答案為：

22．已知平行六面體的棱長均為4，，E為棱的中點(diǎn)，則___________.
【答案】6
【詳解】設(shè)，，，則，
∴，
∴.

故答案為：6

23．如圖，二面角等于，A、是棱l上兩點(diǎn)，BD、AC分別在半平面、內(nèi)，，，且，則CD的長等于________.

【答案】4
【詳解】
由二面角的平面角的定義知，
∴，
由，，得，，又，
∴
，
所以，即.
故答案為：4.
24．六面體的所有棱長都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點(diǎn)是O，若，則___________.
【答案】
【詳解】，

.
所以.
故答案為：

25．已知空間四邊形ABCD的邊長和對角線長都為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，DC的中點(diǎn)，求下列數(shù)量積：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)2；(2)2；(3)-2；(4)1
【詳解】(1)因?yàn)榭臻g四邊形ABCD的邊長和對角線長都為2, 如圖，

所以在空間四邊形ABCD中，且，
∴.
(2)，，
.
(3)，，
又，，

(4)∵，，，
∴.
∴.

26．如圖所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，點(diǎn)，分別在對角線，上，且，．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
【詳解】(1)證明：在矩形中，，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面?br /> 平面，
所以平面，
又因平面，所以，


，
所以，
所以；
(2)因?yàn)椋?br /> 所以，
則，
即的長為.

27．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面邊長為．

（1）設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1；
（2）設(shè)AB1與BC1的夾角為，求側(cè)棱的長．
【詳解】（1）證明：，．
因?yàn)锽B1⊥平面ABC，
所以0，0．
又△ABC為正三角形，
所以，π，π．
因?yàn)椋ǎǎ?br /> ?
＝||||?cos，1+1
＝0，
所以AB1⊥BC1．
（2）由（1）知||?||?cos，1．
又||||，
所以cos，，
所以||＝2，
即側(cè)棱長為2．

28．如圖所示，已知是△所在平面外一點(diǎn)，，
求證：在面上的射影是△的垂心．

【詳解】證明：∵，
∴，，，平面.
∴.由題意可知，面，
∴，，.
∴.
∴.同理可證，. ∴是△的垂心．

29．如右圖,一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，以點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱AB，AD，的長都等于，且彼此之間的夾角都是.
(1)用向量表示向量.
(2)求晶體的對角線長.

【答案】（1）.（2）．
【詳解】（1）.
（2）設(shè)，，，則兩兩夾角為，且模均為．
∵，
∴|，
∴|即AC1的長為．

30．如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3，且，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)，，，用、、表示向量，并求BN的長．

【答案】，
【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，底面是正方形，
所以
，
又由題意，可得，，，，
，
因此
，
所以，即的長為.

31．已知四面體的各棱長均為1，D是棱OA的中點(diǎn)，E是棱AB的中點(diǎn)．設(shè)，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)判斷與是否垂直；
(3)求異面直線BD與AC所成角的余弦值．
【詳解】(1)
，
；
(2)
，
∴與不垂直；
(3)，，，
且，
于是，
∴異面直線BD與AC所成角的余弦值為．

32．如圖，點(diǎn)、分別是棱長為的正四面體的邊和的中點(diǎn)，點(diǎn)、是線段的三等分點(diǎn)．

(1)用向量、、表示和；
(2)求、；
(3)求．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【詳解】(1)連接，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
，
故，
.
(2)由空間向量數(shù)量積的定義可得，

，

.
(3)
.

33．如圖，在長方體中，已知，，，分別求向量在、、方向上的投影數(shù)量．

【答案】向量在、、方向上的投影數(shù)量分別為、、.
【詳解】非零向量在非零向量方向上的投影數(shù)量為，
由空間向量的平行六面體法則可得，
在長方體中，，
因此，向量在方向上的投影數(shù)量為，
向量在方向上的投影數(shù)量為，
向量在方向上的投影數(shù)量為.

34．已知都是空間向量，且，求.
【答案】
【詳解】與同向，與反向，且

另解：


又向量的夾角范圍為，


35．如圖，二面角的棱上有兩個點(diǎn)，，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱．若，，，二面角為，求．

【答案】.
【詳解】設(shè)平面與平面的夾角為，又，
∴，
∴，即的長度為.

36．已知平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，．

(1)求；
(2)求．
【答案】(1)3；(2)
【詳解】(1)設(shè)，，，
由題意得：，，，，，，
；
(2)

37．如圖，正方體的棱長是，和相交于點(diǎn)．

(1)求；
(2)求與的夾角的大??；
(3)判斷與是否垂直．
【答案】(1)；(2)；(3)垂直
【詳解】(1)正方體中， ,
故;
(2)由題意知, ,
,
，
故，
故 ，
故與的夾角的大小為 ；
(3)由題意， ,

,
故與垂直.

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