?《4.4.2 對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》教學設(shè)計
一．教材分析
本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）第四章《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》的第四節(jié)《對數(shù)函數(shù)》（第二課時）。是高中數(shù)學在指數(shù)函數(shù)之后的重要初等函數(shù)之一。對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系密切，無論是研究的思想方法方法還是圖像及性質(zhì)，都有其共通之處。相較于指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象亦有其獨特的美感。在類比推理的過程中，感受圖像的變化，認識變化的規(guī)律，這是提高學生直觀想象能力的一個重要的過程。為之后學習數(shù)學提供了更多角度的分析方法。培養(yǎng)和發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學直觀、數(shù)學抽象、和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

二，學情分析

學生已經(jīng)學了對數(shù)函數(shù)的概念，接著研究對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，從而深化學生對對數(shù)函數(shù)的理解，并且了解較為全面的研究函數(shù)的方法，為以后在研究函數(shù)增長類型打下基礎(chǔ)。
三．學習目標

1、 掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能利用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)來解決簡單問題培養(yǎng)學生實際應(yīng)用函數(shù)的能力.
2、 經(jīng)過探究對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，對數(shù)函數(shù)內(nèi)部的的聯(lián)系。培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和歸納問題的思維能力以及數(shù)學交流能力；滲透類比等基本數(shù)學思想方法。
3、 在對數(shù)函數(shù)的學習過程中,體驗數(shù)學的科學價值并養(yǎng)成勇于探索的良好習慣，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．
四．教學重點
重點：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
難點：對底數(shù)的分類，如何由圖象、解析式歸納對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．
五．教學過程
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
歷史上納皮爾是當之無愧的“對數(shù)締造者”，理應(yīng)在數(shù)學史上享有這份殊榮。偉大的導(dǎo)師恩格斯在他的著作《自然辯證法》中，曾經(jīng)把笛卡爾的坐標、納皮爾的對數(shù)、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為十七世紀的三大數(shù)學發(fā)明。法國著名的數(shù)學家、天文學家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾說：對數(shù)，可以縮短計算時間，“在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”.
【想一想】我們能用研究指數(shù)函數(shù)的方法研究對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)嗎？
提示：研究指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的方法是相同的.
2. 探索交流，解決問題
【問題1】 在同一坐標系內(nèi)用描點法畫出函數(shù)和的圖象。
列表

描點并連線：

【思考1】通過上述過程，說出這兩個函數(shù)圖象從左到右的變化趨勢？
【提示】 這兩個函數(shù)的圖象從左到右均是不斷上升的.
【思考2】（1）在所畫函數(shù)和圖象的基礎(chǔ)上,再畫出函數(shù)和的圖象，觀察新畫出的這兩個函數(shù)圖象的變化趨勢及這四個函數(shù)圖象的特征。
（2）通過上述過程，你發(fā)現(xiàn)了什么？
【提示】（1）

函數(shù) 和的圖象從左到右是下降的.
函數(shù)和的圖象關(guān)于x軸對稱,同樣,函數(shù)和的圖象也關(guān)于x軸對稱.
（2）這四個函數(shù)的定義域均為(0,+∞),值域為R,都過定點(1,0)
【設(shè)計意圖】
由問題引發(fā)學生思考：類比指數(shù)函數(shù)的研究方法，做出對數(shù)的圖象，得出性質(zhì)，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。
（二）對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)
1.對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)
a的范圍
0＜a＜1
a＞1
圖　象


a的范圍
0＜a＜1
a＞1
性質(zhì)
定義域
(0，＋∞)
值域
R
定點
(1,0)，即x＝1時，y＝0
單調(diào)性
在(0，＋∞)上是減函數(shù)
在(0，＋∞)上是增函數(shù)

2.點睛之筆：
對數(shù)增減有思路, 函數(shù)圖象看底數(shù); 底數(shù)只能大于0, 等于1來也不行;底數(shù)若是大于1, 圖象從下往上增;底數(shù)0到1之間, 圖象從上往下減;無論函數(shù)增和減, 圖象都過(1,0)點.
【做一做】 1．函數(shù)y＝logax的圖象如圖所示，則實數(shù)a的可能取值為(　　)
A．5　　　B. C.e D.
2．y＝log2x的圖象與的圖象關(guān)于________對稱．
3．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)的圖象過定點________．
4．log23.4與log28.5的大小關(guān)系為________．
解析：1．AC 函數(shù)圖象是單調(diào)遞增的，所以底數(shù)大于1.
2．x軸 兩個對數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù)，所以關(guān)于x軸對稱。
3．(1,1) 4．log23.4＜log28.5 函數(shù)log2x是單調(diào)遞增函數(shù)。
【設(shè)計意圖】
通過具體的例子，讓學生加深對對數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)的理解。
（三）反函數(shù)
【思考3】（1）在同一坐標系內(nèi)用描點法畫出函數(shù)y＝2x圖象與y＝log2x的圖象之后，說出這兩個函數(shù)圖象之間有什么關(guān)系。
提示：圖象如圖

圖象關(guān)于y＝x對稱
（2）對數(shù)函數(shù)中兩個變量和函數(shù)值的取值范圍分別是什么？有什么關(guān)系？
提示：變量x的取值范圍與指數(shù)函數(shù)中的y的取值范圍相同，即(0,+∞).變量y的取值范圍與指數(shù)函數(shù)中的x的取值范圍相同,即為R.
【設(shè)計意圖】
讓學生經(jīng)歷從特殊到一般的歸納過程，得出反函數(shù)的概念，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。
反函數(shù)
一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換．
特別提醒：
互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于y＝x對稱．
原函數(shù)y＝ax的點(x0，y0)，則(y0，x0)在y＝logax上．
【做一做】 若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(，)，則a＝________.
提示：因點(，)在y＝f(x)的圖象上，所以點(，)在y＝ax的圖象上，則有，又因a>0，所以a2＝2，a＝.
【設(shè)計意圖】
通過具體的例子，使學生掌握反函數(shù)的概念.
（四）對數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)的應(yīng)用
1.對數(shù)函數(shù)的圖象
例1 (1)如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為________．

(2)函數(shù)f(x)＝ax－2＋loga(x－1)＋1(a＞0，a≠1)的圖象必經(jīng)過點________．
(3)作出函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象．
解：(1)由圖可知函數(shù)y＝logax，y＝logbx的底數(shù)a＞1，b＞1，函數(shù)y＝logcx，y＝logdx的底數(shù)0＜c＜1,0＜d＜1.
過點(0,1)作平行于x軸的直線l(圖略)，則直線l與四條曲線交點的橫坐標從左向右依次為c，d，a，b，顯然b＞a＞1＞d＞c＞0.
(2)當x＝2時，f(2)＝a0＋loga1＋1＝2，所以圖象必經(jīng)過點(2,2).
(3)第一步：作出函數(shù)y＝log2x的圖象(如圖①)；
第二步：將y＝log2x的圖象向左平移1個單位長度，得函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象(如圖②)；
第三步：將函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象在x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，得y＝|log2(x＋1)|的圖象(如圖③)．

【類題通法】
1.含絕對值的函數(shù)圖象的變換
含有絕對值的函數(shù)的圖象變換是一種對稱變換．一般地，y＝f(|x－a|)的圖象是關(guān)于直線x＝a對稱的軸對稱圖形；函數(shù)y＝|f(x)|的圖象與y＝f(x)的圖象在x軸上方相同，在x軸下方關(guān)于x軸對稱．
2．對數(shù)函數(shù)y＝logax的底數(shù)a越大，函數(shù)圖象在x軸上方部分越遠離y軸的正方向，即“底大圖右”，如圖所示．

3.兩個單調(diào)性相同的對數(shù)函數(shù)，它們的圖象在位于直線x＝1右側(cè)的部分是“底大圖低”，如圖①、②.

鞏固練習1. 作出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)區(qū)間.
解：先畫出函數(shù)y=lg x的圖象(如圖①).
再將該函數(shù)圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象(如圖②).



圖① 圖② 圖③
最后把y=lg(x-1)的圖象在x軸下方的部分對稱翻折到x軸上方(原來在x軸上方的部分不變),即得出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象(如圖③).
由圖易知其定義域為(1,+∞),值域為[0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2],單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞).
2.對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
（一）比較大小
例2 比較下列各組數(shù)的大小．
(1)與；(2)3與3；(3)loga2與loga3.
解：　(1)y＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又因為＜，所以＞.
(2)法一：log3－log3＝－＝.
∵y＝lg x是增函數(shù)，∴l(xiāng)g

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4.4 對數(shù)函數(shù)

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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