《1.1集合的概念》教學(xué)設(shè)計一．教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊》人教A版（2019）第一章《集合與常用邏輯用語》的第一節(jié)《集合的概念》。以下是集合單元的課時安排： 第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)課時內(nèi)容集合的概念集合間的基本關(guān)系集合的基本運算所在位置教材第2頁教材第7頁教材第10頁  新教材內(nèi)容分析教材選取了豐富的實例，既涵蓋了實數(shù)、方程、不等式、函數(shù)、簡單的幾何圖形等數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也包含了貼近學(xué)生生活的實際問題，以幫助學(xué)生理解元素與集合的概念、體會元素與集合之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)集合的表示法.以實例為載體，對照實數(shù)之間的相等關(guān)系、大小關(guān)系，通過類比，得到集合間的相等關(guān)系、包含關(guān)系.從類比實數(shù)的運算入手，聯(lián)想集合的運算，確定研究方法后，通過實例抽象概括出集合的并、交、補運算，并利用Venn圖的直觀性，幫助學(xué)生加以理解. 核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過觀察實例，理解集合的含義、進行集合的表示，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).通過概括共同特征，探究集合間的基本關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；利用韋恩圖表達集合間的基本關(guān)系，體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng).通過類比實數(shù)，理解集合的運算，強化了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；利用數(shù)軸或韋恩圖表達集合的運算，體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng)；在進行集合運算的過程中，提升了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).教學(xué)主線元素與集合的關(guān)系 二，學(xué)情分析     本章內(nèi)容屬于“預(yù)備知識”。學(xué)生在小學(xué)和初中階段已經(jīng)接觸過一些集合，如數(shù)集，不等式的解集，點集等，以此為基礎(chǔ)，高中階段系統(tǒng)安排了集合的初步知識，包括集合的含義、集合間的基本關(guān)系與集合的運算，使學(xué)生能夠在現(xiàn)實情境或數(shù)學(xué)情境中，幫助學(xué)生運用集合的語言簡潔、準確的表述數(shù)學(xué)的研究對象，提升學(xué)生數(shù)學(xué)表達的抽象層次，從而作好初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡。三．學(xué)習(xí)目標1.通過實例，了解集合的含義,體會元素與集合的“屬于”關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；2.針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合，提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；3.會用列舉法、描述法表示集合，強化數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。四．教學(xué)重點重點：元素與集合的“屬于”關(guān)系，用符號語言刻畫集合；難點：用描述法表示集合——難在對“共同特征”的描述、符號的表示五．教學(xué)過程（一）新知導(dǎo)入1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義.于是，他就請教數(shù)學(xué)家：“尊敬的先生，請您告訴我，集合是什么？”數(shù)學(xué)家只是笑了笑，沒有當(dāng)時就回答這位漁民.有一天，數(shù)學(xué)家來到這位漁民的船上，看到他撒下漁網(wǎng)，一拉動，許多魚兒在網(wǎng)中跳動.數(shù)學(xué)家就激動的大喊：“找到了，找到了，這就是一個集合”.【想一想】 數(shù)學(xué)家所說的集合指的是什么？【提示】   數(shù)學(xué)家所說的集合是指漁網(wǎng)中的魚組成了一個集合. 探索交流，解決問題【問題1】 考察下列問題，解決[思考1]：                     （1）1～10之間的所有偶數(shù)；                                   （2）立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生；                                    （3）所有的正方形；                          （4）到直線l的距離等于定長d的所有點;（5）方程的所有實數(shù)根；（6）地球上的四大洋。【思考1】（1）實例中的每組對象的全體能組成集合嗎？（2）把研究對象看作元素，每個集合的元素是什么？（3）構(gòu)成集合元素的對象可以是什么？【提示】  （1）實例中的每組對象能組成集合；（2）六個問題中集合的元素分別是：偶數(shù)2,4,6,8；立德中學(xué)今年入學(xué)的高一學(xué)生；正方形；到直線l的距離等于定長d的點；方程的實數(shù)根1,2；地球上的四大洋：太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋。（3）構(gòu)成集合的元素可以是數(shù)、點、幾何圖形、物體等。【設(shè)計意圖】通過問題與思考題的探究，引導(dǎo)學(xué)生概括出元素與集合的含義.提高學(xué)生用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題的能力。 （二）集合集合的概念：（1）一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素(element)，把一些元素組成的總體叫做集合(set)(簡稱為集)．（2）我們通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素． 【思考2】（1）所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個集合？由此說明什么？（2）由1,3,0,5,︱-3 ︳這些數(shù)組成的一個集合中有5個元素，這種說法正確嗎？由此說明什么？（3）高一（5）班的全體同學(xué)組成一個集合，調(diào)整座位后這個集合有沒有變化？由此說明什么？（4）如果兩個集合中，元素完全一樣，那么這兩集合相等，這種說法正確嗎？（5）由以上思考題，可以得到集合有什么特性？ 【提示】 （1）不能. 其中的元素不確定 ；   說明集合中的元素是確定的。（2）不正確.集合中只有4個不同元素1，3，0，5 .說明集合中的元素是互異的。（3）集合沒有變化；   說明集合中的元素是沒有順序的。（4）正確。（5）集合的元素滿足三個特性：確定性、互異性、無序性。  【做一做】  下列對象能組成集合的是(　　)A．的所有近似值B．某個班級中學(xué)習(xí)好的所有同學(xué)C．2021年全國高考數(shù)學(xué)試卷中所有難題D．屠呦呦實驗室的全體工作人員             [解析]　D中的對象都是確定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“學(xué)習(xí)好”，C中的“難題”標準不明確，不滿足確定性，因此A、B、C都不能構(gòu)成集合．[答案]　D【設(shè)計意圖】通過問題探究，使學(xué)生深入理解集合的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。 （三）元素與集合的關(guān)系【思考3】已知下面的兩個實例：（1）用A表示高一(3)班全體學(xué)生組成的集合.（2）用a表示高一(3)班的一位同學(xué)，b表示高一(4)班的一位同學(xué).思考：那么a，b與集合A分別有什么關(guān)系?  【提示】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素. 元素與集合的關(guān)系：如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A，記作aA；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作aA.     1.對元素與集合關(guān)系的認識：2.常用數(shù)集及其記法：數(shù)集非負整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號  或 例1.【多選題】下列所給關(guān)系正確的是(　　)A.π      B.         C.0         D .|－5|   【思維引導(dǎo)】  判斷元素是否在集合中，利用正確的數(shù)學(xué)符號表示。[解析]　選項A，π是實數(shù)，所以π  正確；選項B，是無理數(shù)，所以Q正確；選項C，0不是正整數(shù)，所以0∈N*錯誤；選項D，|－5|＝5為正整數(shù)，所以|－5|?N*錯誤．故選AB.[答案]　A B　【類題通法】判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法直接法(1)使用前提：集合中的元素是直接給出的(2)判斷方法：首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成，然后再判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可推理法(1)使用前提：對于某些不便直接表示的集合(2)判斷方法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可 【鞏固練習(xí)1】已知集合A中的元素x滿足x－1<，則下列各式正確的是(　　)A．3∈A且－3?A   B．3∈A且－3∈AC．3?A且－3?A   D．3?A且－3∈A[解析]  ∵3－1＝2>，∴3?A.又－3－1＝－4<，∴－3∈A.[答案]   D【設(shè)計意圖】通過例題及練習(xí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解元素與集合的關(guān)系，強化數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。 （四）集合的表示【思考4】 （1） 地球上的四大洋組成的集合如何表示？（2） 方程（x+1)(x+2)=0的所有根組成的集合，又如何表示呢？（3）通過思考以上問題大家能總結(jié)歸納出列舉法的特點嗎？ 【提示】（1）可以這樣表示： {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.（2）該集合表示為  {-1,-2}（3）列舉法就是把集合中的元素一一列舉出來。把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫做列舉法．【注意】（1）大括號不能缺失，元素中間用逗號隔開；       （2） 元素按一定的順序列舉，可以保證元素不重不漏，如：從小到大等。 【探究1】集合,,,是否是相等的集合？  【提示】   根據(jù)集合元素的互異性，判斷集合A與D相等；集合A，D是數(shù)集，集合B，C是點集，所以不會相等；集合B，C中的點不一樣，所以不相等。例2.用列舉法表示下列集合：    （1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合.（2）方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合.  【思維引導(dǎo)】將集合中的元素一一列舉，即可寫出列舉法。 [答案]  （1）設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A， 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.（2）設(shè)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合為B，那么B={1,0}. 【類題通法】列舉法表示集合的步驟及注意點分清元素列舉法表示集合，要分清是數(shù)集還是點集書寫集合列元素時要做到不重復(fù)、不遺漏  【鞏固練習(xí)2】用列舉法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全體；(2)大于3.1小于12.8的整數(shù)的全體；(3)方程＋|y＋1|＝0的解集；(4)正奇數(shù)組成的集合．[解答] (1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2){4,5,6,7,8,9,10,11,12}．(3)由方程＋|y＋1|＝0可知，即從而方程的解集用列舉法表示為{(2，－1)}．(4)正奇數(shù)組成的集合可用列舉法表示為{1,3,5,7，…}．【思考5】 （1）能用自然語言描述集合{0,3,6,9}嗎？（2）能否用列舉法表示不等式 x－3<7的解集？該集合中的元素有什么性質(zhì)？（3）不能用列舉法表示的集合怎樣表示？ 【提示】（1）用自然語言描述集合{0,3,6,9}是：比10小的能被3整除的自然數(shù)。（2）不等式 x－3<7的解集是,有無數(shù)個元素，所以不能用列舉法表示，但是可以看出，這個集合中的元素滿足性質(zhì)：集合中的元素都小于10；集合中的元素都是實數(shù)．（3）這樣的集合可以通過描述其元素性質(zhì)的方法來表示。        一般地，設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．描述法表示集合的寫法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及其取值(或變化)范圍,畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.【探究2】集合,,C=是否是相等的集合？   【提示】集合A表示函數(shù)的自變量x的取值集合，是實數(shù)集；集合B表示函數(shù)的函數(shù)值y的取值集合，是非負實數(shù)集；集合C是函數(shù)的圖象上的點組成的集合，所以這三個集合都不相等。  例3.    試分別用列舉法和描述法表示下列集合.(1)方程x2-2=0的所有實數(shù)根組成的集合.(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.  【思維引導(dǎo)】把集合中元素的特點表達出來，寫出描述法，再將其轉(zhuǎn)化為列舉法。 [解答](1)設(shè)方程x2-2=0的實數(shù)根為x,并且滿足條件x2-2=0，因此，用描述法表示為A={x∈R|x2-2=0}.方程x2-2=0有兩個實數(shù)根為，因此，用列舉法表示為A={}.(2)設(shè)大于10小于20的整數(shù)為x，它滿足條件x∈Z,且10<x<20,因此，用描述法表示為B={x∈Z∣10<x<20}.大于10小于20的整數(shù)有11,12,13,14,15,16,17, 18,19，因此，用列舉法表示為B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 【類題通法】描述法表示集合的幾點注意(1)用描述法表示集合，應(yīng)先弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示其元素．(2)用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，需對新字母說明其含義或取值范圍．(3)多層描述時，應(yīng)當(dāng)準確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．  【鞏固訓(xùn)練3】用描述法表示下列集合：(1)不等式2x－3＜1的解組成的集合A；(2)被3除余2的正整數(shù)的集合B；(3)C＝{2,4,6,8,10}；(4)平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的點組成的集合D.[解答]　(1)不等式2x－3＜1的解組成的集合為A，則集合A中的元素是數(shù)，設(shè)代表元素為x，則x滿足2x－3＜1，則A＝{x|2x－3＜1}，即A＝{x|x＜2}．(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z.但元素為正整數(shù)，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整數(shù)的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)設(shè)偶數(shù)為x，則x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．(4)平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的點的橫坐標為負，縱坐標為正，即x＜0，y＞0，故第二象限內(nèi)的點的集合為D＝{(x，y)|x＜0，y＞0}． 例4.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/span>①絕對值小于5的全體實數(shù)組成的集合；②所有正方形組成的集合；③除以3余1的所有整數(shù)組成的集合；④構(gòu)成英文單詞mathematics的全體字母． 【思維引導(dǎo)】根據(jù)集合中元素的特點選擇表示集合的方法。  [解答] ①絕對值小于5的全體實數(shù)組成的集合可表示為{x||x|＜5}．②所有正方形組成的集合可表示為{正方形}．③除以3余1的所有整數(shù)組成的集合可表示為{a|a＝3x＋1，x∈Z}．④構(gòu)成英文單詞mathematics的全體字母可表示為{m，a，t，h，e，i，c，s}． 【類題通法】選用列舉法或描述法表示集合的原則要根據(jù)集合元素所具有的屬性選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǎ信e法的特點是能清楚地展現(xiàn)集合的元素，通常用于表示元素個數(shù)較少的集合，當(dāng)集合中元素較多或無限時，就不宜采用列舉法；描述法的特點是形式簡單、應(yīng)用方便，通常用于表示元素具有明顯共同特征的集合，當(dāng)元素共同特征不易尋找或元素的限制條件較多時，就不宜采用描述法．　　【鞏固訓(xùn)練4】設(shè)集合(1)試判斷元素1和2與集合B的關(guān)系；(2)用列舉法表示集合B. [解答](1)當(dāng)x＝1時，＝2∈N；當(dāng)x＝2時，＝?N，∴1∈B,2?B.(2)∵x∈N，∈N，∴x只能為0,1,4，故B＝{0,1,4}．【設(shè)計意圖】通過學(xué)習(xí)列舉法、描述法，使學(xué)生能針對不同集合的元素的特點用最合適的方法表示出集合，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。  （五）操作演練  素養(yǎng)提升1.（2021·浙江高三專題練習(xí)）下列各對象可以組成集合的是（   ）A．與1非常接近的全體實數(shù)B．某校2021-2022學(xué)年度笫一學(xué)期全體高一學(xué)生C．高一年級視力比較好的同學(xué)D．與無理數(shù)相差很小的全體實數(shù)2.若一個集合中的三個元素a，b，c是△ABC的三邊長，則此三角形一定不是(　　)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形3.【多選題】（2021秦皇島一中高一期中）下列結(jié)論不正確的是（    ）A．        B．      C．     D．4.集合用列舉法表示是（   ）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}  [答案]   1.B     2.D     3.BC     4.D 【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。   （六）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？                                                                                                                                                                                               （2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？                                                                                                                                                                                   【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固集合與元素的含義與性質(zhì)，集合的表示方法，提高語言轉(zhuǎn)換和抽象概括能力,樹立用集合語言表示數(shù)學(xué)內(nèi)容的意識。      六．布置作業(yè)完成教材：第5頁  練習(xí)     第1，2，3題第5頁  習(xí)題1.1  第1,2,3,4題   

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1.1 集合的概念

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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