階段復(fù)習(xí)課第三課 立體幾何初步思維脈圖構(gòu)建【答案速填】①_________?②_________③_________?④_________⑤_________?⑥___________?⑦_________?平行平行性質(zhì)[0,π] 判定易錯案例警示易錯一　對概念理解不準確致誤【案例1】有兩個面互相平行,其余各面均為平行四邊形的幾何體一定是棱柱.這種說法是否正確?如果正確,說明理由;若不正確,舉出反例.【解析】如圖所示的幾何體,它由兩個等底的四棱柱組合而成,它有兩個面相互平行,其余各面都是平行四邊形,但相鄰的兩個側(cè)面的公共邊并不都平行,因此該幾何體不是棱柱.【錯因探究】有兩個面相互平行,并不能保證所有側(cè)棱都相互平行.【避錯警示】對棱柱的判斷要從定義出發(fā).易錯二　因斜二測畫法規(guī)則應(yīng)用不當(dāng)致誤【案例2】一梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形,且梯形OA′B′C′的面積為 ,求原梯形的面積. 【解析】如圖由斜二測畫法原理知,原梯形與直觀圖中的梯形上下底邊的長度是一樣的,不一樣的是兩個梯形的高,原梯形的高OC是直觀圖中OC′長度的2倍,OC′的長度是直觀圖中梯形的高的 倍,由此知原梯形的高OC的長度是直觀圖中梯形高的2 倍,故其面積是梯形OA′B′C′面積的2 倍,梯形OA′B′C′的面積為 ,所以原梯形的面積是4.【錯因探究】由于直觀圖中的等腰梯形只知道面積,不知道高和上下底邊的長,所以要求原梯形的面積,關(guān)鍵是根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則將圖形還原,確定原梯形與直觀圖中的梯形在高和上下底邊長兩方面的關(guān)系.在解答本題過程中易得原直角梯形的高為h的錯誤,導(dǎo)致該種錯誤的原因是忽視了在直觀圖中平行于y軸的線段長是原圖中線段長的一半.【避錯警示】通過本題所得結(jié)論:任何一個平面圖形,若原圖形的面積為S,其直觀圖的面積為S′,則S′∶S= ∶4.易錯三　考慮問題不全面或空間想象力差致誤【案例3】長方體ABCD -A1B1C1D1中,AB=4 m,BC=3 m,BB1=5 m,一只螞蟻從點A出發(fā)沿表面爬行到點C1,求螞蟻爬行的最短路程.【解析】沿長方體的一條棱剪開,使點A和點C1展在同一個平面上,求線段AC1的長即可,如圖所示有三種剪法:(1)如圖(1)所示,若沿C1D1剪開,使面ABB1A1與面A1B1C1D1在同一個平面內(nèi),可求得AC1= (2)如圖(2)所示,沿AD剪開,使面ADCB與面BCC1B1在同一個平面內(nèi),可求得AC1= (3)如圖(3)所示,沿CC1剪開,使面BCC1B1與面ABB1A1在同一個平面內(nèi),可求得AC1= 故螞蟻爬行的最短路線長為 m.【錯因探究】錯解1:如圖(1)所示,若沿C1D1剪開,使面ABB1A1與面A1B1C1D1在同一個平面內(nèi),可求得AC1= 故螞蟻爬行的最短路線長為 m.錯解2:如圖(2)所示,沿AD剪開,使面ADCB與面BCC1B1在同一個平面內(nèi),可求得AC1= 故螞蟻爬行的最短路線長為 m.錯解3:如圖(3)所示,沿CC1剪開,使面BCC1B1與面ABB1A1在同一個平面內(nèi),可求得AC1= 故螞蟻爬行的最短路線長為 m.三種解法都只考慮了一種情況而得到結(jié)論,思考問題不全面.【避錯警示】(1)解答多面體表面上兩點間的最短線路問題,一般地都是將多面體表面展開,轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點間線段的長.多面體的表面展開圖并不只是一種圖形,在解答題過程中容易因思考不全面導(dǎo)致錯誤.(2)求解與側(cè)面積和全面積有關(guān)的問題,借助側(cè)面展開圖是常用的思路.求幾何體表面兩點間最短距離,也應(yīng)借助側(cè)面展開圖,將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,這時應(yīng)對多面體展開圖的各種情況考慮周全.避免因遺漏某些情況而導(dǎo)致錯誤.易錯四　不能正確理解題意致誤【案例4】以直角三角形的一條邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體有哪些?【解析】假設(shè)直角三角形ABC中,∠ACB=90°.以AC邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體如圖(1)所示. 當(dāng)以BC邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體如圖(2)所示.當(dāng)以AB邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體如圖(3)所示.【錯因探究】求解不全面,漏掉以AC與AB所在直線旋轉(zhuǎn)為軸的情況.【避錯警示】以平面圖形某邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),在要求不明確的情況下,要注意分情況討論.易錯五　不能正確地應(yīng)用基本事實3和推論致誤【案例5】已知直線l與三條平行直線a,b,c都相交且l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:四條直線l,a,b,c共面.【證明】方法一:因為a∥b,所以a,b確定一個平面α.因為l∩a=A,l∩b=B,所以A∈α,B∈α,所以AB?α.又因為A∈l,B∈l,所以l?α.因為a∥c,所以a、c確定一個平面β.因為l∩a=A,l∩c=C,所以A∈β,C∈β,所以AC?β.因為A∈l,C∈l,所以l?β,所以α∩β=a且α∩β=l,因為過兩條相交直線有且只有一個平面,l∩a=A,所以α與β重合,即直線a,b,c,l共面.方法二:因為a∥b,所以a、b確定一個平面α,因為l∩a=A,l∩b=B,所以A∈α,B∈α,所以AB?α.因為A∈l,B∈l,所以l?α,即a,b,l在同一個平面內(nèi),故b在a、l確定的平面內(nèi).因為a∥c,所以a、c確定一個平面β.因為l∩a=A,l∩c=C,所以A∈β,C∈β,所以AC?β.因為A∈l,C∈l,所以l?β,即a,c,l在同一個平面內(nèi),故c在a、l確定的平面內(nèi).又因為l∩a=A,所以a和l只能確定一個平面,所以a,b,c,l共面.【錯因探究】錯解:因為l與a相交,所以l與a共面.同理l與b共面,l與c共面,故l與a,b,c共面.本題錯誤的原因是:若l與a共面于α,l與b共面于β,但α,β卻不是同一平面,則推不出l與a,b共面.【避錯警示】要正確的應(yīng)用基本事實3和三個推論證明共面.易錯六　因直觀臆斷,推理論證不嚴密致誤【案例6】已知E,F分別是正方體ABCD -A1B1C1D1的棱AA1,CC1上的點,且AE=C1F.求證:四邊形EBFD1是平行四邊形. 【證明】如圖,在棱BB1上取一點G, 使得B1G=C1F=AE,連接A1G,GF,則GF?B1C1?A1D1,所以四邊形GFD1A1為平行四邊形,所以A1G?D1F.因為A1E=AA1-AE,BG=B1B-B1G,所以A1E?BG,所以四邊形EBGA1為平行四邊形,所以A1G?EB,所以D1F?EB,所以四邊形EBFD1是平行四邊形.【錯因探究】解答本題時,往往僅憑直觀感覺,盲目地認為E,B,F,D1四點共面,同時條件AE=C1F也沒有用到,從而導(dǎo)致錯誤.【避錯警示】在證明問題中,結(jié)論成立與否要有嚴格的推理過程,不能憑直觀感覺,同時當(dāng)解決完問題時,發(fā)現(xiàn)條件還有沒用到的,則需要考慮自己的證明過程是否有誤.易錯七　考慮問題不全面,推理過程不嚴密致誤【案例7】如圖,在三棱柱ABC -A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D為BB1的中點.求證:AD⊥平面A1DC1.【證明】因為AA1⊥底面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,所以AA1⊥平面A1B1C1.所以A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90°,所以A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1=A1,所以A1C1⊥平面AA1B1B,AD?平面AA1B1B,所以A1C1⊥AD.由已知計算得AD= ,A1D= ,AA1=2.所以AD2+A1D2=A ,所以A1D⊥AD.因為A1C1∩A1D=A1,所以AD⊥平面A1DC1.【錯因探究】錯解:在三棱柱中,因為AA1⊥平面ABC,∠B1A1C1=90°,所以AD⊥A1C1;又從圖可知AD⊥平面BCC1B1,所以AD⊥C1D,所以AD⊥平面A1DC1.前半部分,雖然由羅列條件能夠推證出AD⊥A1C1,但推理過程不嚴密;后半部分AD⊥平面BCC1B1純屬臆想,無任何推理依據(jù).【避錯警示】先推證C1A1⊥平面ABB1A1得出AD⊥C1A1;再在矩形ABB1A1中,通過計算證明AD⊥A1D.【案例8】如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分別是AP,AD的中點.求證:(1)直線EF∥平面PCD.(2)平面BEF⊥平面PAD.【證明】(1)在△PAD中,因為E,F分別為AP,AD的中點,所以EF∥PD.又因為EF?平面PCD,PD?平面PCD,所以直線EF∥平面PCD.(2)如圖,連接BD.因為AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD為正三角形.因為F是AD的中點,所以BF⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因為BF?平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.【錯因探究】使用線面平行的判定定理時,必須證得三個條件同時具備,才能判定直線與平面平行,不可省略任何一個條件.【避錯警示】由面⊥面?線⊥面?面⊥面,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,每步必須滿足定理的條件,如若省略條件,將導(dǎo)致證明推理過程不嚴密而丟分.解題過程要表達準確、格式要符合要求.每步推理要有根有據(jù).計算題要有明確的計算過程,不可跨度太大,以免漏掉得分點.引入數(shù)據(jù)要明確,要寫明已知、設(shè)等字樣,要養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣.

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