胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔,被喻為“世界古代七大奇觀之一”.如何求塔的高度？ 據(jù)說,古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的頂部立一根木桿,借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形,來測量金字塔的高度.
利用相似三角形測量高度
利用相似三角形測量寬度
利用相似解決有遮擋物問題
方法一：如圖,把長為2m的標(biāo)桿CD直立在地面上,量出樹的影長為10m,標(biāo)桿影長為1.5m。
【問題】以小組為單位請?jiān)O(shè)計(jì)一種方法求一棵樹的高度。
表達(dá)式：物1高:物2高＝影1長:影2長
測高方法一：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,可以用“在同一時(shí)刻物高與影長成正比例”的原理解決.
如果陰天還可以用這種方法測量樹高嗎?
方法二：如圖,把長為2m的標(biāo)桿CD直立在離樹15米的地面上,眼睛到地面高為1.5米的小麗站在離樹20米處,且樹、標(biāo)桿、小麗在同一條直線上,此時(shí)小麗觀測到樹頂和標(biāo)桿的頂點(diǎn)處重合。
你還有什么方法測量樹高嗎?
方法三：如圖,把鏡子放在離樹(AB)8m點(diǎn)E處,然后沿著直線BE后退到D,這時(shí)恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)A,再用皮尺量得DE=2.8m,觀察者目高CD=1.6m；
測高方法三：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決.
【例1】如圖,木桿EF長2m,它的影長FD為3m,測得OA為201m,求金字塔的高度BO.
解：太陽光是平行的光線,因此∠BAO=∠EDF.
又∵∠AOB=∠DFE=90o,∴△ABO∽△DEF.
因此金字塔的高度為134m.
1.如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來測量某古城墻高度的示意圖,點(diǎn)P處放一水平的平面鏡,光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后,剛好射到古城墻的頂端C處,已知AB=2米,且測得BP=3米,DP=12米,那么該古城墻的高度是( ) A.6米 B.8米 C.18米 D.24米
2.小剛身高1.7m,測得他站立在陽光下的影子長為0.85m,緊接著他把手臂豎直舉起,測得影子長為1.1m,那么小剛舉起的手臂超出頭頂 ( )
3.如圖,某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度,他們通過調(diào)整測量位置,使斜邊DF與地面保持平行,并使邊DE 與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上,已知DE=0.5 米,EF=0.25米,目測點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米,到旗桿的水平距離DC=20米,求旗桿的高度.
解:由題意可得:△DEF∽△DCA,
∵DE=0.5米,EF=0.25米,DG=1.5米,DC=20米.
解得:AC=10,故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(m).答：旗桿的高度為11.5m.
4.如圖，某一時(shí)刻，旗桿 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上．小明測得旗桿AB 在地面上的影長 BC 為 9.6 m，在墻面上的影長 CD 為 2 m．同一時(shí)刻，小明又測得豎立于地面長 1 m 的標(biāo)桿的影長為 1.2 m．請幫助小明求出旗桿的高度．
解：如圖,過點(diǎn)D作DE∥BC,交AB于點(diǎn)E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m，∵在同一時(shí)刻物高與影長成正比例，∴EA:ED=1:1.2，∴AE=8m，∴AB=AE+EB=8+2=10(m)，∴學(xué)校旗桿的高度為10m.
【例2】如圖,為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P,在近岸取點(diǎn)Q和S,使點(diǎn)P,Q,S共線且直線PS與河垂直,接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T,確定PT與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R.已知測得QS=45m,ST=90m,QR=60m,請根據(jù)這些數(shù)據(jù),計(jì)算河寬 PQ.
PQ×90=(PQ+45)×60.解得:PQ=90.因此,河寬大約為90m.
解：∵∠PQR=∠PST=90o，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST.
還有其他構(gòu)造相似三角形求河寬的方法嗎？
【例2】如圖,為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A,再在河的這一邊選點(diǎn)B和C,使AB⊥BC,然后,再選點(diǎn)E,使EC⊥BC,用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D．?
此時(shí)如果測得BD=120米,DC=60米,EC=50米,求AB的長．
解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90o，
∴△ABD∽△ECD.
解得AB=100.
因此,兩岸間的大致距離為100m.
測量河寬等不易直接測量的物體的寬度,常構(gòu)造相似三角形求解.
1.如圖,一條河的兩岸有一段是平行的,在河的南岸邊每隔5米有一棵樹,在北岸邊每隔50米有一根電線桿.小麗站在離南岸邊15米的點(diǎn)處看北岸,發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住,并且在這兩棵樹之間還有三棵樹,則河寬為______米.
【例3】如圖,左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和 CD=12m,兩樹底部的距離BD=5m,一個(gè)人估計(jì)自己的眼睛距地面1.6m.她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進(jìn),當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí),就不能看到右邊較高的樹的頂點(diǎn)C了?
由此可知,如果觀察者繼續(xù)前進(jìn),當(dāng)她與左邊的樹的距離小于8m時(shí),由于這棵樹的遮擋,就看不到右邊樹的頂端C.
解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時(shí),她的眼睛的位置點(diǎn)E 與兩棵樹的頂端點(diǎn)A,C恰在一條直線上． ∵AB⊥l,CD⊥l,∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.

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27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例

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