16.3 二次根式的加減（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握同類二次根式的概念和二次根式的加減法法則，會(huì)合并同類二次根式，進(jìn)行簡單的二次根式加減運(yùn)算；2、會(huì)利用運(yùn)算律和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、同類二次根式1.定義：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.
特別說明：
　　(1)判斷幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；
　　(2)幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號外的因式無關(guān).
2.合并同類二次根式
　　合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)類似)
特別說明：
　　(1)根號外面的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)；
　　(2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式.要點(diǎn)二、二次根式的加減
1.二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進(jìn)行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.特別說明：（1）在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號、添括號法則仍然適用.             （2）二次根式加減運(yùn)算的步驟：
　　1)將每個(gè)二次根式都化簡成為最簡二次根式；
　　2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；
　　3)合并同類二次根式.
要點(diǎn)三、二次根式的混合運(yùn)算
　　二次根式的混合運(yùn)算是對二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.
特別說明：
　　(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的；
　　(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；
　　(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要寫成最簡形式.【典型例題】類型一、同類二次根式 1．是經(jīng)過化簡的二次根式，且與是同類二次根式，則x為（　?。?/span>A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【答案】B【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義（被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式叫做最簡二次根式）、同類二次根式的定義（把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式）可得，再解方程即可得．解：由題意得：，解得，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了最簡二次根式、同類二次根式，熟記定義是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】 下列各組二次根式中，屬于同類二次根式的是（　?。?/span>A．和 B．和 C．和 D．和【答案】A【分析】將各項(xiàng)先化為最簡二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可．解：A. 和    是同類二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；B. 和，不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；    C. 和，不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；D. 和，不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；故選A【點(diǎn)撥】本題考查了同類二次根式的定義：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式，掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知最簡二次根式與2可以合并成一項(xiàng)，則a，b的值分別為（　?。?/span>A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2【答案】C【分析】根據(jù)最簡二次根式和合并同類二次根式的法則得出方程組，求出方程組的解即可．解：∵最簡二次根式與2可以合并成一項(xiàng)，∴，解得：a＝1，b＝0，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查最簡二次根式和同類二次根式，二元一次方程組的解法，掌握這些知識點(diǎn)是關(guān)鍵.【變式3】已知方程+3＝，則此方程的正整數(shù)解的組數(shù)是（　?。?/span>A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先把化為最簡二次根式，由+3＝可知，化為最簡根式應(yīng)與為同類根式，即可得到此方程的正整數(shù)解的組數(shù)有三組．解：∵＝10，x，y為正整數(shù)，∴，化為最簡根式應(yīng)與為同類根式，只能有以下三種情況：．∴，，，共有三組正整數(shù)解．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．類型二、二次根式的加減運(yùn)算 2．計(jì)算或化簡下列各題（1）；                 （2）．【答案】（1）0；（2）．【分析】（1）先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）先計(jì)算二次根式乘法，絕對值化簡，乘方，再去括號，合并同類項(xiàng)即可．（1）解：，＝，＝；（2）解：，＝ ，＝．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式混合計(jì)算，最簡二次根式，絕對值化簡，乘方，掌握二次根式混合運(yùn)算法則，絕對值化簡，乘方是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計(jì)算：【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡計(jì)算即可；解：原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的加減混合運(yùn)算，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2】計(jì)算：【答案】【分析】根據(jù)乘方、絕對值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、最簡二次根式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．解：．【點(diǎn)撥】本題考查了乘方、絕對值、分式、二次根式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘方、絕對值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、最簡二次根式的的性質(zhì)，從而完成求解．【變式3】計(jì)算： （1）              （2）【答案】（1）；（2）4【分析】（1）先將每項(xiàng)二次根式化到最簡，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并；（2）化簡二次根式，計(jì)算0指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪，最后就得結(jié)果．解：（1）；（2）．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡及加減法，0指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)計(jì)算題．類型三、二次根式的混合運(yùn)算 3．計(jì)算或化簡：（1）；          （2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）原式第一項(xiàng)進(jìn)行分母有理化，第二項(xiàng)化簡二次根式，第三項(xiàng)運(yùn)用零指數(shù)冪法則化簡后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可得解；（2）原式先化簡二次根式，再進(jìn)行除法運(yùn)算即可．解：（1）原式==；（2）原式===【點(diǎn)撥】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式”．舉一反三：【變式1】計(jì)算：（1）2×﹣；             （2）÷﹣×＋．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用二次根式的性質(zhì)化簡，然后根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則求解即可；（2）先利用二次根式的性質(zhì)化簡，然后根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則求解即可．解：（1） ；（2）．【點(diǎn)撥】本題主要考查了利用二次根式的化簡和二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】計(jì)算：（1）       （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先計(jì)算零次冪及去絕對值符號，將根式化為最簡根式，然后依次進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）先將根式化為最簡根式 ，然后在括號內(nèi)進(jìn)行加減計(jì)算，接著進(jìn)行除法運(yùn)算，最后將根式化為最簡即可解：（1），；（2），，，．【點(diǎn)撥】題目主要考查二次根式的混合運(yùn)算，0次冪的運(yùn)算，去絕對值等，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式3】如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右爬行2個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)A所表示的數(shù)為﹣，設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為m．（1）求m的值；（2）求|m﹣1|＋（2﹣）（4﹣m）的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)一只螞蟻從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右爬行2個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)B，可得，再由點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為m，即可得到，由此求解即可；（2）根據(jù)（1）求出的結(jié)果，代入m的值，根據(jù)實(shí)數(shù)的混合計(jì)算法則求解即可．解：（1）由題意得：，∵點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為m，∴，∴；（2）∵∴ ．【點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，平方差公式，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意求出．類型四、分母有理化 4．分母有理化：＝___．【答案】【分析】分母中含有根號，則需分子分母同時(shí)乘以分母的有理化因式：的有理化因式是它本身，的有理化因式是．解：，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的分母有理化，注意有理化的過程不改變原式大小是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】化簡：=________【答案】##【分析】把分子分母都乘以（），然后利用平方差公式計(jì)算．解：．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和平方差公式是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】不等式的解集是__________________．【答案】##【分析】利用解不等式的方法與步驟求得解集，進(jìn)一步化簡即可．解：，，，．故答案為：【點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元一次不等式，二次根式的化簡，熟練掌握一元一次不等式的解法和二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】二次根式＋4的一個(gè)有理化因式是________________．【答案】﹣4【分析】由平方差公式：（＋4）?（﹣4）＝a﹣16可得答案．解：∵（＋4）?（﹣4）＝a﹣16，∴＋4的一個(gè)有理化因式為﹣4，故答案為：﹣4．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次根式的有理化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平方差公式進(jìn)行二次根式的有理化．類型五、已知字母的值化簡求值 5．化簡求值：已知，求的值．【答案】，2【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則先對原式進(jìn)行化簡，然后把x和y的值代入計(jì)算即可．解：原式．當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握該知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】先化簡代數(shù)式，然后當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的值．【答案】，3【分析】利用分母有理化及平方差公式先將原式化簡，再代入求值即可．解： ；把代入可得，原式．【點(diǎn)撥】題目主要考查二次根式的化簡求值，掌握二次根式的化簡是解題關(guān)鍵．【變式2】已知，求的值．【答案】【分析】先將根式進(jìn)行分母有理化，然后代入原式求值即可．解：，．【點(diǎn)撥】題目主要考查二次根式的化簡及求代數(shù)式的值，掌握二次根式化簡是解題的關(guān)鍵．【變式3】已知x＝+1，求代數(shù)式的值．【答案】；【分析】利用二次根式的性質(zhì)化簡，然后根據(jù)x值化簡絕對值，最后代入求出答案．解：原式化簡為：，∵x＝+1，∴，∴原式＝，把x＝+1，代入得：【點(diǎn)撥】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．類型六、已知條件化簡求值 6．已知求的值．【答案】【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)將原式化簡，然后代入求值即可．解：原式==∵，∴原式＝==．【點(diǎn)撥】本題考查了分式加法，二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，運(yùn)用整體的思想解題是關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】 已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x﹣+1|+=0（1）求x，y的值；             （2）求代數(shù)式x2+2x﹣3y的值．【答案】（1）x=﹣1，y=2；（2）-4【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于x，y的方程，再求得x，y的值即可；（2）把x，y的值代入，即可得出答案．解：（1）∵|x﹣+1|+=0，∴x﹣+1=0，y﹣2=0，解得x=﹣1，y=2；（2）把x=﹣1，y=2代入x2+2x﹣3y=（﹣1）2+2（﹣1）﹣6=4﹣2+2﹣2﹣6=﹣4．【點(diǎn)撥】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知，求的值．【答案】16解：解析：因?yàn)槎胃?、平方?shù)與絕對值均為非負(fù)數(shù)，根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，得它們分別為零可求出x，y，z的值，代入代數(shù)式求值即可．答案：解：∵，，，且，∴解得∴．易錯(cuò)：解：根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則它們分別為零可得，∴．錯(cuò)因：雖然了解若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則它們分別為零，但整體思想不到位．滿分備考：到目前為止，我們已學(xué)習(xí)三個(gè)非負(fù)數(shù)：絕對值、平方數(shù)與二次根式，它們有獨(dú)特性質(zhì)，即若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則它們分別為零，常利用此性質(zhì)解題．類型七、比較二次根式的大小 7．比較大?。?/span>______________   (填“>”、“=”或“<”)．【答案】<【分析】將兩數(shù)相減，再判斷結(jié)果的符號即可．解：==，∵，∴，即<0，∴，故答案為：<．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的大小比較以及無理數(shù)的估算，掌握作差法是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】試比較與的大?。?/span>【答案】＜【分析】將與進(jìn)行分母有理化，再進(jìn)行作差運(yùn)算，得到即可．解：∵；，∴，∵，∴，即＜．【點(diǎn)撥】本題考查了無理數(shù)的比較大小，以及二次根式的分母有理化，解題的關(guān)鍵是將與進(jìn)行分母有理化，再進(jìn)行作差運(yùn)算比較大?。?/span>【變式2】通過估算，比較與的大小．【答案】．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得，，然后求解即可．解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)得，∵∴，即故答案為【點(diǎn)撥】此題考查了二次根式比較大小，涉及了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的大小比較方法．【變式3】請比較和的大?。?/span>【答案】【分析】先將兩數(shù)通分，然后將分子中根號外的數(shù)字平方后移到根號內(nèi)，通過比較被開方數(shù)的大小得出結(jié)論．解：，，又，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)數(shù)大小的比較，二次根式的性質(zhì)．將兩個(gè)無理數(shù)適當(dāng)變形后，通過比較被開方數(shù)的大小進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．類型八、二次根式的應(yīng)用 8．設(shè)一個(gè)三角形的三邊長分別為a、b、c，，則有下列面積公式：（海倫公式）．（1）一個(gè)三角形邊長依次為5、6、7，利用海倫公式求這個(gè)三角形的面積；（2）一個(gè)三角形邊長依次為2、、3，利用海倫公式求這個(gè)三角形的面積．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）把a、b、c的長代入求出P，進(jìn)一步代入求得S即可得解；（2）把a、b、c的長代入求出P，進(jìn)一步代入求得S即可得解．解：（1）P=×（5+6+7）=9，；（2）P=×（2++3）=，P-a=，P-b=，P-c=，所以，S2，所以，S=．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的應(yīng)用，難點(diǎn)在于對各項(xiàng)整理利用平方差公式計(jì)算．舉一反三：【變式1】 將一組數(shù)，，3，，，…，， 按下面的方式進(jìn)行排列：按這樣的方式進(jìn)行下去，將所在的位置記為，所在的位置記為，那么（1）所在的位置應(yīng)記為       ；（2）在的位置上的數(shù)是       ，所在的位置應(yīng)記為       ；（3）這組數(shù)中最大的有理數(shù)所在的位置應(yīng)記為             ．【答案】（1）；（2），（5，4）；（3）（6，2）【分析】觀察這組數(shù)字的規(guī)律為被開方數(shù)為從3開始的3的自然倍數(shù)，將30個(gè)數(shù)按題干方式排列后，依據(jù)題意表示即可：（1）依據(jù)在第二行第五列即可得出結(jié)論；（2）每個(gè)被開方數(shù)都是3的倍數(shù)，因此第四行第一列的數(shù)字為；依據(jù)每行有5個(gè)數(shù)，找出規(guī)律，位置即可確定；（3）由于最大得有理數(shù)為，依據(jù)每行有5個(gè)數(shù)，找出規(guī)律，位置即可確定．解：（1）∵在第二行第五列，∴所在的位置應(yīng)記為：，故答案為：；（2）由題意得，每個(gè)被開方數(shù)都是3的倍數(shù)，因此第四行第一列的數(shù)字為，∴（4，1）位置上的數(shù)是；，，每行有5個(gè)數(shù)，∴所在的位置記為（5，4），故答案為：，（5，4）；（3）這組數(shù)中最大的有理數(shù)是，它所在的位置記為第6行第2列，∴這組數(shù)中最大的有理數(shù)所在的位置應(yīng)記為：（6，2），故答案為：（6，2）．【點(diǎn)撥】題目主要考查二次根式的應(yīng)用，坐標(biāo)位置的確定，理解題意，確定被開方數(shù)存在的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式2】在一個(gè)邊長為（3+2）cm的正方形的內(nèi)部挖去一個(gè)長為（3+）cm，寬為（4﹣）cm的長方形，求剩余部分的面積．【答案】 【分析】用大正方形面積減去長方形面積即可求出剩余部分的面積．解：大正方形的面積：（ ），長方形的面積：（  ），剩余部分面積： （)，答：剩余部分的面積為 （ ）．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．32．求代數(shù)式的值，其中．如圖是小亮和小芳的解答過程．（1）           的解法是錯(cuò)誤的；（2）求代數(shù)式的值，其中．【答案】（1）小芳；（2）2025【分析】（1）a是小于零的數(shù)，而算術(shù)平方根開出來的數(shù)為非負(fù)數(shù)，小芳開出來a-1是個(gè)負(fù)數(shù)，是不可能存在的．
（2）首先把根號內(nèi)的式子湊成完全平方，再開算術(shù)平方根得到正數(shù)，所以得到6-a，再代入a=-2019即可．解：（1）小芳；
因?yàn)樾》奸_出來的a-1是個(gè)小于零的數(shù)，這是不可能的．（2），∵，∴，∴原式，即代數(shù)式的值是2025．【點(diǎn)撥】本題考查帶有二次根式的代數(shù)式的計(jì)算，注意算術(shù)平方根開出來的是正數(shù)，掌握這一點(diǎn)是本題解題關(guān)鍵．
 

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初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊電子課本

16.3 二次根式的加減

版本： 人教版

年級： 八年級下冊

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