熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題.
學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建成數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用勾股定理的逆定理解決.
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
互逆命題：如果兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另外一個(gè)叫做它的逆命題.
互逆定理：一般地，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，稱這兩個(gè)定理互為逆定理，其中一個(gè)定理叫做另外一個(gè)定理的逆定理.
(2)等腰△ ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,則BC邊上的高是 cm.
(1)已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為 三角形， 是最大角.
思考：前面我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了用勾股定理解決生活中的很多問(wèn)題，那么勾股定理的逆定理解決哪些實(shí)際問(wèn)題呢？你能舉舉例嗎？
思考 我們已經(jīng)學(xué)會(huì)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，那么勾股定理的逆定理在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用呢？
船只在航行的時(shí)候需要確定方向和位置.
例1 如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上. “遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里,“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里.它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行,能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？
問(wèn)題1：認(rèn)真審題，弄清已知是什么？要解決的問(wèn)題是什么？
“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向、兩艘船的一個(gè)半小時(shí)后的航程及距離已知，如圖.
問(wèn)題2: 由于我們現(xiàn)在所能得到的都是線段長(zhǎng)，要求角，由此你聯(lián)想到了什么？
實(shí)質(zhì)是要求出兩艘船航向所成角.
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行.
【點(diǎn)睛】解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：?構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；?標(biāo)注有用信息,明確已知和所求；?應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解.
1. A、B、C 三地的兩兩距離如圖所示，A 地在 B 地的正東方向，C 地在 B 地的什么方向？
解析：根據(jù)圖示的距離，可以判斷出以 A、B、C 三地位置構(gòu)成的三角形是直角三角形.
所以△ABC是直角三角形，且∠B=90?，所以 C 地在 B 地的正北方向 .
3.如圖，南北方向PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海，以西為公海，晚上10時(shí)28分，我邊防反偷渡巡邏101號(hào)艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷?，便立即通知在PQ上B處巡邏的103號(hào)艇注意其動(dòng)向，經(jīng)檢測(cè)，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只的速度為12.8海里/時(shí)，則可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我領(lǐng)海？
分析：根據(jù)勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.
解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.設(shè)PQ與AC相交于點(diǎn)D，根據(jù)三角形面積公式有 BC·AB= AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，
又∵該船只的速度為12.8海里/時(shí)，6.4÷12.8=0.5（小時(shí)）=30（分鐘），∴需要30分鐘進(jìn)入我領(lǐng)海，即最早晚上10時(shí)58分進(jìn)入我領(lǐng)海.
例2 一個(gè)零件的形狀如圖?所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個(gè)零件各邊的尺寸如圖?所示,這個(gè)零件符合要求嗎?
在△BCD中， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.因此，這個(gè)零件符合要求.
解：在△ABD中， ∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
1.A、B、C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C在B地的什么方向？
解：∵ BC2+AB2=52+122=169，AC2 =132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．
2.如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他在挖完后測(cè)量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫他檢驗(yàn)一下挖的是否合格？
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．
例3：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積.
解析：連接AC，把四邊形分成兩個(gè)三角形.先用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.
在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
【點(diǎn)睛】四邊形問(wèn)題對(duì)角線是常用的輔助線，它把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的問(wèn)題.在使用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題時(shí)，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經(jīng)常配套使用.
如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD 的面積.
解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵ CD=12cm，BC=13cm,∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD= BD?CD－ AB?AD = ×(5×12－3×4)=24 (cm2)．
如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積.
解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.∴ AC=5 cm.又∵∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角.∴
例4 如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點(diǎn)，CD=1，BC＝ 5 ，BD=2．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面積．
（1）證明：∵CD=1，BC＝ 5 ，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：設(shè)腰長(zhǎng)AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得
1.小明向東走 80m 后，沿另一方向又走了 60m，再沿第三個(gè)方向走 100m 回到原地.小明向東走 80m 后是向哪個(gè)方向走的？
解析：如圖所示，小明先向東走到 A 處，則 OA=80m. 根據(jù)題意，小明應(yīng)該是往東西方向坐標(biāo)以上或者以下行走的，所以應(yīng)該分兩種情況討論.
解：（1）小明從O走到A，再走到B1，最終由B1回到O.
所以△AOB1是直角三角形，且∠OAB1 =90?.因此小明向東走 80m 后，又向北走了 60m，再走 100m 回到原地.
解：（2）小明從O走到A，再走到B2，最終由B2回到O.
同理，△AOB2是直角三角形，且∠OAB2 =90?.因此小明向東走 80m 后，又向南走了 60m，再走 100m 回到原地.
綜上所述，小明向東走 80m 后，又向南或向北走了 60m，最后走 100m 回到原地.
2.如圖，張三決定挖一塊長(zhǎng)方形的菜地， 在挖完后測(cè)量了一下發(fā)現(xiàn)AB=CD=4m，AD=BC=3m，AC=4.5m，請(qǐng)你幫忙計(jì)算一下其挖的菜地是否為長(zhǎng)方形.
3.如圖所示，甲、乙兩船從港口 A 同時(shí)出發(fā)，甲船以 30 海里/時(shí)的速度向北偏東 35?的方向航行，乙船以 40 海里/時(shí)的速度向另一方向航行，2 小時(shí)后，甲船到達(dá) C 島，乙船到達(dá) B 島，若 C，B 兩島相距 100 海里，則乙船航行的方向是南偏東多少度？
解：由題意得：AC=30╳2=60（海里）， AB=40╳2=80（海里）.
4.某探險(xiǎn)隊(duì)的 A 組從駐地 O 點(diǎn)出發(fā)，以 12km/h 的速度前進(jìn)，同時(shí) B 組也從駐地 O 點(diǎn)出發(fā)，以 9km/h 的速度向另一方向前進(jìn). 2h 后同時(shí)停下來(lái)，如圖所示，這時(shí) A、B 兩組相距 30km. 此時(shí)，A、B 兩組行進(jìn)的方向成直角嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：因?yàn)槌霭l(fā)2小時(shí)，A組行了12╳2=24km，B組行了9╳2=18km.
所以A、B兩組行進(jìn)的方向成直角.
實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建成數(shù)學(xué)模型，利用逆定理去求解.
能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù).

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17.2 勾股定理的逆定理

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