1.因數(shù)和倍數(shù)備教材內(nèi)容1．本課時學(xué)習(xí)的是教材5～6頁的內(nèi)容及相關(guān)習(xí)題。2．例1通過將9個除法算式進(jìn)行分類，引出因數(shù)與倍數(shù)的概念，并舉例說明。例2通過提出“18的因數(shù)有哪幾個”的問題，教學(xué)找一個數(shù)的所有因數(shù)的方法。例3以“2的倍數(shù)有哪些”為例，教學(xué)找一個數(shù)的倍數(shù)的方法。3．本課時是在學(xué)生初步認(rèn)識了自然數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，是小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，其中涉及的內(nèi)容屬于初等數(shù)論的基本內(nèi)容，相當(dāng)抽象。同時本課時既是因數(shù)、倍數(shù)的概念引入，也是學(xué)習(xí)2、5、3的倍數(shù)的特征及學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)和合數(shù)知識的鋪墊，還是今后學(xué)習(xí)公倍數(shù)和公因數(shù)，約分和通分，以及分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的重要基礎(chǔ)。備已學(xué)知識自然數(shù)：表示物體個數(shù)的數(shù)，即由0開始，0，1，2，3，4……一個接一個，組成一個無窮的集體。整數(shù)除法算式中各部分的名稱：備教學(xué)目標(biāo)知識與技能1．結(jié)合整數(shù)除法的運(yùn)算初步了解因數(shù)和倍數(shù)的概念。2．掌握找一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法，會判斷一個數(shù)是不是另一個數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)。過程與方法1．從給除法算式分類入手，由淺入深，利用學(xué)生對除法運(yùn)算的已有認(rèn)識，在分類中引出因數(shù)和倍數(shù)的概念，經(jīng)歷知識的形成過程。2．經(jīng)歷相互討論、交流、評價的過程，引導(dǎo)學(xué)生掌握找一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法。情感、態(tài)度與價值觀學(xué)生初步意識到可以從一個新的角度來研究非零自然數(shù)的特征及其相互關(guān)系，體會數(shù)學(xué)知識間的相互聯(lián)系。備重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：理解因數(shù)和倍數(shù)的概念。難點(diǎn)：掌握找一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法。備知識講解知識點(diǎn)一 因數(shù)、倍數(shù)的意義問題導(dǎo)入　觀察下面的算式并分類。(教材5頁例1)12÷2＝6　    8÷3＝2……2　  30÷6＝519÷7＝2……5　    9÷5＝1.8　     26÷8＝3.2520÷10＝2　      21÷21＝1　     63÷9＝7過程講解　1．根據(jù)商的特點(diǎn)給算式分類(1)分類標(biāo)準(zhǔn)：觀察發(fā)現(xiàn)，這9道除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)，商既有整數(shù)又有小數(shù)，有的商還有余數(shù)，可以根據(jù)“商是不是整數(shù)和有沒有余數(shù)”這一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。(2)分類展示。得數(shù)是整數(shù)而沒有余數(shù)得數(shù)不是整數(shù)或有余數(shù)12÷2＝6　30÷6＝520÷10＝2　21÷21＝163÷9＝78÷3＝2……219÷7＝2……59÷5＝1.8　26÷8＝3.25思想方法解讀給算式分類的過程蘊(yùn)涵了分類思想。分類思想是指把事物的性質(zhì)、特點(diǎn)、用途等作為區(qū)分的標(biāo)準(zhǔn)，將符合同一標(biāo)準(zhǔn)的事物聚在一起。2.明確因數(shù)和倍數(shù)的意義在第一類算式中，被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)，商也是整數(shù)而沒有余數(shù)。這樣的算式，可以說被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)。3．舉例說明因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系在12÷2＝6中，12是2和6的倍數(shù)，2和6是12的因數(shù)。在20÷10＝2中，20是10和2的倍數(shù)，10和2是20的因數(shù)。在30÷6＝5中，30是6和5的倍數(shù)，6和5是30的因數(shù)。明確：①因數(shù)和倍數(shù)的條件。被除數(shù)、除數(shù)和商都是大于0的自然數(shù)。②因數(shù)和倍數(shù)的依存性。因數(shù)和倍數(shù)都不能單獨(dú)存在，不能說誰是倍數(shù)，誰是因數(shù)，應(yīng)該說誰是誰的倍數(shù)，誰是誰的因數(shù)。4．明確0的特殊性為了方便，在研究因數(shù)和倍數(shù)時，所說的數(shù)指的是不包括0的自然數(shù)。歸納總結(jié)在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)，那么被除數(shù)就是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商就是被除數(shù)的因數(shù)。字母表示：如果a÷b＝c(a，b，c是非0自然數(shù))，那么b，c就是a的因數(shù)，a就是b，c的倍數(shù)。 知識點(diǎn)二 找一個數(shù)的因數(shù)的方法問題導(dǎo)入　18的因數(shù)有哪幾個？30的因數(shù)有哪些？36呢？(教材6頁例2)方法講解　1．探究找18的因數(shù)的方法方法一　列除法算式找。根據(jù)因數(shù)的意義，被除數(shù)18不變，改變除數(shù)，得到的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，則除數(shù)和商都是18的因數(shù)。列除法算式時，除數(shù)從1開始試除：18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，再繼續(xù)找下去，發(fā)現(xiàn)18除以4，5，7，8，10，11，12，13，14，15，16，17時，都不能整除。所列舉的這三個算式中的商和除數(shù)都是18的因數(shù)。方法提示用乘法找一個數(shù)的因數(shù)時，一般要從自然數(shù)1開始一對一對地找，這樣不容易遺漏。方法二　列乘法算式找。根據(jù)除法算式各部分之間的關(guān)系，用“被除數(shù)＝除數(shù)×商”找出18的因數(shù)。看18是哪兩個數(shù)相乘的積，這兩個數(shù)就是18的因數(shù)。18＝1×18，18＝2×9，18＝3×6，這三個算式中等號右邊的數(shù)都是18的因數(shù)。2．明確18的因數(shù)的表示方法方法一　列舉法。 (1)方法說明：在表示18的因數(shù)時，可以把18的因數(shù)按從小到大的順序排列，每兩個因數(shù)之間用逗號隔開，全部寫完后加句號表示結(jié)束。易錯提示在寫一個數(shù)的因數(shù)時，如果有相同的因數(shù)，如36＝6×6，那么只能寫一個。(2)具體表示方法：18的因數(shù)有1，2，3，6，9，18。方法二　集合法。(1)方法說明：畫一個橢圓，在橢圓的上面寫上“18的因數(shù)”。把18的因數(shù)按從小到大的順序?qū)懺跈E圓里，每兩個因數(shù)之間也用逗號隔開，全部寫完后，不用加句號。難點(diǎn)點(diǎn)撥　　集合圈上面的內(nèi)容表示集合的名稱，集合圈里面的數(shù)表示集合所擁有的元素。 (2)具體表示方法：18的因數(shù)3．根據(jù)找18的因數(shù)的方法找出30和36的因數(shù)30的因數(shù)有1，2，3，5，6，10，15，30。36的因數(shù)有1，2，3，4，6，9，12，18，36。4．探究一個數(shù)的因數(shù)的特征觀察18，30和36的因數(shù)發(fā)現(xiàn)：18的因數(shù)有6個，30的因數(shù)有8個，36的因數(shù)有9個，它們最小的因數(shù)都是1，最大的因數(shù)分別是18、30和36。由此可知，一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。5．“一個數(shù)的因數(shù)”與“乘法算式中的因數(shù)”的區(qū)別 一個數(shù)的因數(shù)乘法算式中的因數(shù)區(qū)別是相對于“倍數(shù)”而言的，只適用于整數(shù)。是乘法算式的組成部分，與“乘數(shù)”同義，適用于整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)。舉例在“4×9＝36”中，4是36的因數(shù)，9是36的因數(shù)。在“4×2.5＝10”中，4和2.5是這個乘法算式中的兩個因數(shù)。歸納總結(jié)1．找一個數(shù)的因數(shù)的方法：(1)列除法算式找，用此數(shù)分別除以大于等于1且小于等于它本身的所有整數(shù)，所得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，這些除數(shù)和商就是這個數(shù)的因數(shù)；(2)列乘法算式找，把這個數(shù)寫成兩個整數(shù)相乘的形式，算式中的每個整數(shù)都是這個數(shù)的因數(shù)。2．表示一個數(shù)的因數(shù)的方法：(1)列舉法；(2)集合法。3．一個數(shù)的因數(shù)的特征：一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。 知識點(diǎn)三 找一個數(shù)的倍數(shù)的方法問題導(dǎo)入　2的倍數(shù)有哪些？3的倍數(shù)有哪些？5呢？(教材6頁例3)方法講解　1．探究找2的倍數(shù)的方法方法一　列除法算式找。根據(jù)倍數(shù)的意義，可以列除法算式找出2的倍數(shù)。看哪個數(shù)除以2，商是整數(shù)而沒有余數(shù)，這個數(shù)就是2的倍數(shù)，如2÷2＝1，4÷2＝2，6÷2＝3，…則2，4，6，…都是2的倍數(shù)。方法二　列乘法算式找。根據(jù)除法算式各部分之間的關(guān)系，用“被除數(shù)＝除數(shù)×商”找出2的倍數(shù)。2與非零自然數(shù)的積都是2的倍數(shù)。用2分別乘1，2，3，…即2×1＝2，2×2＝4，2×3＝6，…則2，4，6，…都是2的倍數(shù)。[方法提示：找一個數(shù)的倍數(shù)用“列乘法算式找”的方法比較簡單。在給出的一些自然數(shù)中找一個數(shù)的倍數(shù)，或判斷一個數(shù)是不是另一個數(shù)的倍數(shù)時，列除法算式找比較簡單。]2．2的倍數(shù)的表示方法方法一　列舉法。(1)方法說明：2的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，寫數(shù)時從2本身開始，依次寫出幾個后，2的其他倍數(shù)用省略號代替。書寫時每兩個倍數(shù)之間用逗號隔開，不再列舉時，也寫一個逗號，然后加三個圓點(diǎn)形式的省略號，最后寫一個句號。(2)具體表示方法：2的倍數(shù)有2，4，6，…。方法二　集合法。(1)方法說明：畫一個橢圓，在橢圓的上面寫上“2的倍數(shù)”，表示2的倍數(shù)的集合。把2的倍數(shù)按從小到大寫在集合里，每兩個倍數(shù)之間用逗號隔開，不再列舉時，也寫一個逗號，然后加三個圓點(diǎn)形式的省略號，不用加句號。易錯提示　　一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，所以無論用列舉法還是集合法，最后都要加上省略號。 (2)具體表示方法：2的倍數(shù)3．根據(jù)找2的倍數(shù)的方法，找出3和5的倍數(shù)(1)3的倍數(shù)有3，6，9，…。(2)5的倍數(shù)有5，10，15，…。4．觀察2、3、5的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)一個數(shù)的倍數(shù)的特征重點(diǎn)提示　　一個非0自然數(shù)的最大因數(shù)是它本身，最小倍數(shù)也是它本身。(1)2、3、5的倍數(shù)都有無數(shù)個。(2)2、3、5的最小倍數(shù)分別是它們本身。(3)2、3、5都沒有最大的倍數(shù)。(4)由此可知，一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。5．“倍數(shù)”與“幾倍”的區(qū)別 倍數(shù)幾倍區(qū)別是相對于“因數(shù)”而言的，只適用于整數(shù)。是兩個同類數(shù)量相除的結(jié)果，適用于整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)。舉例50是5的倍數(shù)，48是12的倍數(shù)。18是6的3倍，20是8的2.5倍。歸納總結(jié)1．找一個數(shù)的倍數(shù)的方法：(1)列除法算式找，看哪些非0自然數(shù)除以這個數(shù)商是整數(shù)而沒有余數(shù)，這些數(shù)就是這個數(shù)的倍數(shù)；(2)列乘法算式找，用這個數(shù)依次與非0自然數(shù)相乘，所得的積就是這個數(shù)的倍數(shù)。2．一個數(shù)的倍數(shù)的表示方法：(1)列舉法；(2)集合法。3．一個數(shù)的倍數(shù)的特征：一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。 備易錯易混誤區(qū)一 判斷：36是倍數(shù)，9是因數(shù)。(√)錯解分析　此題錯在沒有理解因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系。在描述一個數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)時要說誰是誰的因數(shù)或倍數(shù)，不能單獨(dú)說誰是因數(shù)或倍數(shù)。錯解改正　×溫馨提示因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的。 誤區(qū)二 判斷：500的因數(shù)的個數(shù)比5的倍數(shù)的個數(shù)多。(√)錯解分析　此題錯在沒有理解一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的特征。一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，而一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，與數(shù)本身的大小無關(guān)。錯解改正　×溫馨提示一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，而一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)卻是無限的。 備綜合能力方法運(yùn)用 運(yùn)用列舉法解決找一個數(shù)的倍數(shù)的問題典型例題　一個數(shù)在150到250之間，且是18的倍數(shù)，這個數(shù)可能是多少？最大是多少？思路分析　先確定這個數(shù)的范圍：150÷18＝8……6，250÷18＝13……16，由此可以得出這個數(shù)可能是18的9～13倍。用9～13依次乘18，就能得出所求的數(shù)。如下表：18的倍數(shù)9倍10倍11倍12倍13倍所求的數(shù)162180198216234正確解答　這個數(shù)可能是162，180，198，216或234；最大是234。方法提示 解答本題的關(guān)鍵是確定這個數(shù)的取值范圍。綜合運(yùn)用 運(yùn)用因數(shù)和倍數(shù)的知識解決求某些數(shù)的問題典型例題　有一個數(shù)，它既是40的因數(shù)，又是5的倍數(shù)，這個數(shù)可能是多少？思路分析　由題意可知：正確解答　這個數(shù)可能是5，10，20或40。方法總結(jié) 找既是一個數(shù)的因數(shù)，又是另一個數(shù)的倍數(shù)的數(shù)的方法：先找出符合條件的一個數(shù)的所有因數(shù)，再找出在規(guī)定范圍內(nèi)的另一個數(shù)的所有倍數(shù)，最后找出既是一個數(shù)的因數(shù)，又是另一個數(shù)的倍數(shù)的數(shù)。備教學(xué)資料因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0)的商正好是整數(shù)且沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或b能整除a。a稱為b的倍數(shù)，b稱為a的因數(shù)。在大學(xué)之前，“因數(shù)”一詞所指的一般只限于正因數(shù)。尋找“相親數(shù)”多多經(jīng)常這樣形容他和斑斑的關(guān)系：“斑斑和我是最好的朋友，就好像220和284一樣。”為什么“220”和“284”象征著好朋友呢？原來220除去本身以外還有11個因數(shù)，它們是1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，這11個因數(shù)的和恰好等于284。同樣，284的因數(shù)除去它本身以外還有1，2，4，71，142這5個因數(shù)，它們的和恰好等于220。也就是1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284，1＋2＋4＋71＋142＝220。這兩個數(shù)你中有我，我中有你，相親相愛，形影不離。古希臘的數(shù)學(xué)家給這樣的兩個數(shù)起名叫“相親數(shù)”，它們的特點(diǎn)是彼此的全部因數(shù)之和(本身除外)，都與另一個數(shù)相等。 

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因數(shù)和倍數(shù)

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