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2.2　基本不等式
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　對(duì)基本不等式的理解
1.若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式恒成立的是 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a2+b2>2ab B.a+b≥2ab
C.1a+1b>2ab D.ba+ab≥2
2.不等式(x-2y)+1x-2y≥2成立的前提條件為 (　　)
A.x≥2y B.x>2y
C.x≤2y D.x2)中等號(hào)成立的條件是 (　　)
A.x=5 B.x=-3 C.x=3 D.x=-5
4.(2020浙江杭州高一月考)下列不等式一定成立的是 (　　)
A.3x+12x≥6
B.3x2+12x2≥6
C.3(x2+1)+12(x2+1)≥6
D.3(x2-1)+12(x2-1)≥6
題組二　利用基本不等式比較大小
5.(多選)(2021遼寧葫蘆島高一質(zhì)量檢測(cè))已知兩個(gè)不等正數(shù)a,b滿足a+b=1,則下列說(shuō)法正確的是 (　　)
A.abab>a+b2>a
C.b>a+b2>ab>a D.b>a>a+b2>ab
7.小W從A地到B地和從B地到A地的速度分別為m和n(m>n),其全程的平均速度為v,則 (　　)
A.m+n20,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值;
(2)已知x3.








19.設(shè)x>0,求證:x+22x+1≥32.









題組五　利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題
20.某人要用鐵管做一個(gè)形狀為直角三角形且面積為1 m2的鐵架框(鐵管的粗細(xì)忽略不計(jì)),在下面四種長(zhǎng)度的鐵管中,最合理(夠用,又浪費(fèi)最少)的是 (　　)
A.4.6 m B.4.8 m C.5 m D.5.2 m
21.(2020廣東廣州荔灣高二期末)為滿足人民日益增長(zhǎng)的美好生活需要,實(shí)現(xiàn)群眾對(duì)舒適的居住條件、更優(yōu)美的環(huán)境、更豐富的精神文化生活的追求,某大型廣場(chǎng)計(jì)劃進(jìn)行升級(jí)改造.改造的重點(diǎn)工程之一是新建一個(gè)矩形音樂(lè)噴泉綜合體A1B1C1D1,該項(xiàng)目由矩形核心噴泉區(qū)ABCD(陰影部分)和四周的綠化帶組成.規(guī)劃核心噴泉區(qū)ABCD的面積為1 000 m2,綠化帶的寬分別為2 m和5 m(如圖所示).當(dāng)整個(gè)項(xiàng)目A1B1C1D1占地面積最小時(shí),核心噴泉區(qū)的邊BC的長(zhǎng)度為 (　　)

A.20 m B.50 m C.1010 m D.100 m
22.某建筑公司用8 000萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地,計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少12層,每層建筑面積為4 000平方米的樓房.經(jīng)初步估計(jì)得知,若將樓房建為x(x≥12,x∈N*)層,則每平方米的平均建筑費(fèi)用s=3 000+50x(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少,該樓房應(yīng)建為多少層?每平方米的平均綜合費(fèi)用的最小值是多少?
注:平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用,平均購(gòu)地費(fèi)用=購(gòu)地總費(fèi)用建筑總面積












能力提升練

題組一　利用基本不等式求最值
1.(2020廣東惠州高二期末,)已知x>0,y>0,且2x+y=1,則xy的最大值是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.14 B.4 C.18 D.8
2.(2021黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一上開(kāi)學(xué)考試,)已知a>0,b>0,a+b=1,則a2+4a+b2+4b的最小值為 (　　)
A.6 B.8 C.15 D.17
3.(2021河北辛集中學(xué)高一上月考,)已知a>0,b>0,a+b=4ab,則a+b的最小值為 (　　)
A.12 B.1 C.2 D.4
4.(2020河南三門(mén)峽外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)高一下期中,)設(shè)正數(shù)x,y滿足x2+y22=1,則x1+y2的最大值為 (　　)
A.32 B.322 C.34 D.324
5.(2020浙江麗水高一期末,)設(shè)正數(shù)a,b滿足a2+4b2+1ab=4,則a=　　　　,b=　　　　.?
6.(2020河北唐山第一中學(xué)高一下月考,)已知x>0,則x2+3x+6x+1的最小值是　　　　.?
7.(2020湖北麻城一中高一月考,)已知a,b∈R,且a>b>0,a+b=1,則a2+2b2的最小值為　　　　,4a-b+12b的最小值為　　　　.?
8.(2021江蘇蘇州高一期末,)已知a,b均為正實(shí)數(shù)且ab+a+3b=9,則a+3b的最小值為　　　　.?
9.(2021吉林長(zhǎng)春東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上段考,)已知x>0,y>0,4x2+y2+xy=1,求:
(1)4x2+y2的最小值;
(2)2x+y的最大值.





題組二　利用基本不等式證明不等式
10.()已知a,b為正數(shù),求證:1a+4b≥2(2+1)22a+b.







11.()若a>b,且ab=2,求證:a2+b2a-b≥4.







12.(2021湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高一上檢測(cè),)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:
(1)1a+1b+1ab≥8;
(2)1+1a1+1b≥9.












13.()(1)已知a,b,c∈R,求證:a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c);
(2)若00,求證:a2x+b21-x≥(a+b)2.










題組三　基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
14.(2021山東日照五蓮高一上期中,)某工廠過(guò)去的年產(chǎn)量為a,技術(shù)革新后,第一年的年產(chǎn)量增長(zhǎng)率為p(p>0),第二年的年產(chǎn)量增長(zhǎng)率為q(q>0,p≠q),這兩年的年產(chǎn)量平均增長(zhǎng)率為x,則 (　　)
A.x=p+q2 B.x=pq
C.x>p+q2 D.x< p+q2
15.(2020湖北宜昌高三期末,)某地為了加快推進(jìn)垃圾分類工作,新建了一個(gè)垃圾處理廠,每月最少要處理300噸垃圾,最多要處理600噸垃圾,月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=12x2-300x+80 000,為使每噸的平均處理成本最低,則該廠每月的處理量應(yīng)為 (　　)
A.300噸 B.400噸 C.500噸 D.600噸
16.(2021山東菏澤第一中學(xué)等六校高一上聯(lián)考,)欲在如圖所示的銳角三角形空地中建一個(gè)內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則矩形花園面積的最大值為　　　　m2.?

17.(2021四川綿陽(yáng)南山中學(xué)高三上開(kāi)學(xué)考試,)網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊,兩者的結(jié)合將在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2017年1月起開(kāi)展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月的運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn),產(chǎn)品的月銷量x萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿足關(guān)系式x=3-2t+1.已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)元,每1萬(wàn)件產(chǎn)品的進(jìn)貨價(jià)格為32萬(wàn)元,若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和,則該公司最大月利潤(rùn)是　　　　萬(wàn)元.?
18.(2020山東濱州高一上期末,)物聯(lián)網(wǎng)(Internet of Things,縮寫(xiě):IOT)是基于互聯(lián)網(wǎng)、傳統(tǒng)電信網(wǎng)等信息承載體,讓所有能行使獨(dú)立功能的普通物體實(shí)現(xiàn)互聯(lián)互通的網(wǎng)絡(luò),其應(yīng)用領(lǐng)域主要包括運(yùn)輸和物流、工業(yè)制造、健康醫(yī)療、智能環(huán)境(家庭、辦公、工廠)等,具有十分廣闊的市場(chǎng)前景.現(xiàn)有一家物流公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物,經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息:倉(cāng)庫(kù)每月土地占地費(fèi)為y1(單位:萬(wàn)元),倉(cāng)庫(kù)到車站的距離為x(單位:千米),x>0,其中y1與x+1成反比,每月庫(kù)存貨物費(fèi)y2(單位:萬(wàn)元)與x成正比,若在距離車站9千米處建倉(cāng)庫(kù),則y1和y2分別為2萬(wàn)元和7.2萬(wàn)元.這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車站多少千米處,才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最少?最少費(fèi)用是多少?
















答案全解全析
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.D　∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A不符合題意;當(dāng)a0,ab>0,∴ba+ab≥2　ba·ab=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,∴D符合題意.
2.B　因?yàn)椴坏仁匠闪⒌那疤釛l件是x-2y和1x-2y均為正數(shù),所以x-2y>0,即x>2y,故選B.
3.A　當(dāng)x>2時(shí),9x-2+(x-2)≥29x-2·(x-2)=6,等號(hào)成立的條件是9x-2=x-2,即(x-2)2=9,解得x=5(x=-1舍去).故選A.
4.B　對(duì)于A,x可能是負(fù)數(shù),不成立;對(duì)于B,由基本不等式可知,3x2+12x2≥6,當(dāng)且僅當(dāng)3x2=12x2,即x4=16時(shí)取等號(hào),故成立;對(duì)于C,當(dāng)3(x2+1)=12(x2+1)時(shí),(x2+1)2=16,x無(wú)解,不成立;對(duì)于D,x2-1可能是負(fù)數(shù),不成立.故選B.
5.ACD　A.因?yàn)閍,b為兩個(gè)不等正數(shù),所以ab12,故選項(xiàng)D正確.
6.C　∵0a+b2>ab.
∵b>a>0,∴ab>a2,∴ab>a.
故b>a+b2>ab>a.
7.B　設(shè)從A地到B地的路程為s,小W從A地到B地和從B地到A地所用的時(shí)間分別為t1,t2,則t1=sm,t2=sn,其全程的平均速度為v=2st1+t2=2ssm+sn=2mnm+n.
∵m>n>0,∴v=2mnm+n0,
∴nc,所以a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(b-c),當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b-c,即2b=a+c時(shí),等號(hào)成立.
9.答案　乙
解析　不妨設(shè)原價(jià)為1,則按方案甲提價(jià)后的價(jià)格為(1+p%)(1+q%),按方案乙提價(jià)后的價(jià)格為1+p+q2%2,
易知(1+p%)(1+q%)≤1+p%+1+q%2
=1+p%+q%2,當(dāng)且僅當(dāng)1+p%=1+q%,即p=q時(shí)等號(hào)成立,又p≠q,
故(1+p%)(1+q%)0,∴x+y+4x+1y≥2x·4x+2y·1y=4+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=4x且y=1y,即x=2,y=1時(shí)等號(hào)成立.
故選B.
11.C　因?yàn)閤>1,所以y=x+4x-1=(x-1)+4x-1+1≥2(x-1)·4x-1+1=5,
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=4x-1,即x=3時(shí),等號(hào)成立.故選C.
12.A　∵-20,∴y=-x(x+2)≤-x+x+222=1,
當(dāng)且僅當(dāng)-x=x+2,即x=-1時(shí)等號(hào)成立.
故選A.
規(guī)律總結(jié)　1.利用基本不等式求最值,必須按照“一正,二定,三相等”的原則,缺一不可.
2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)積為定值;若是求積的最大值,通?；?或利用)和為定值,其解答技巧是恰當(dāng)變形,合理拆分,消元或配湊因式.
13.C　∵a>b>0,∴由基本不等式的變形可得b(a-b)≤b+a-b22=a24,∴a2+16b(a-b)≥a2+16a24=a2+64a2≥2a2×64a2=16,當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b,a2=64a2,即a=22,b=2時(shí),等號(hào)成立.
誤區(qū)警示　利用基本不等式求最值,若需多次應(yīng)用基本不等式,則要注意等號(hào)成立的條件必須一致,如本題中第一次利用基本不等式取等號(hào)的條件為b=a-b,第二次利用基本不等式取等號(hào)的條件為a2=64a2,故最終的最值應(yīng)該是在這兩個(gè)條件下共同取得的.
14.C　∵x>0,y>0,x+4y=xy,∴4x+1y=1,
∴x+y=(x+y)4x+1y=5+xy+4yx≥5+2xy·4yx=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)x=2y,x+4y=xy,解得x=6,y=3.故選C.
15.答案　4
解析　由題意可得,1x+1y=x+yx+x+yy
=2+yx+xy≥2+2yx·xy=4,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=12時(shí)等號(hào)成立.
16.解析　(1)∵1=4a+b≥24ab=4ab,
∴ab≤14,∴ab≤116,
當(dāng)且僅當(dāng)4a=b,即a=18,b=12時(shí)取等號(hào),
故ab的最大值為116.
(2)∵x0,
∴4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3≤-2(5-4x)×15-4x+3=1,
當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=15-4x,即x=1時(shí),等號(hào)成立,故4x-2+14x-5的最大值為1.
17.證明　由基本不等式得a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2ab2,b2+a2≥2ab,
三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1).
所以a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).
18.證明　∵a,b,c是三個(gè)不全相等的正數(shù),
∴三個(gè)不等式ba+ab≥2,ca+ac≥2,cb+bc≥2的等號(hào)不能同時(shí)成立,
則ba+ab+ca+ac+cb+bc>6,
∴ba+ca-1+cb+ab-1+ac+bc-1>3,
即b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc>3.
19.證明　因?yàn)閤>0,所以x+12>0,
所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+1x+12-12≥2x+12·1x+12-12=32,
當(dāng)且僅當(dāng)x+12=1x+12,即x=12時(shí),等號(hào)成立.故x>0時(shí),x+22x+1≥32.
20.C　設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為x m,y m,則12xy=1,即xy=2.
周長(zhǎng)l=x+y+x2+y2≥2xy+2xy=22+2≈4.83(m),
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立.結(jié)合實(shí)際問(wèn)題,可知選C.
21.B　設(shè)BC=x m,則CD=1 000x m,
所以S矩形A1B1C1D1=(x+10)1 000x+4
=1 040+4x+10 000x
≥1 040+24x·10 000x=1 440,
當(dāng)且僅當(dāng)4x=10 000x,即x=50時(shí),等號(hào)成立,
所以當(dāng)BC的長(zhǎng)度為50 m時(shí),整個(gè)項(xiàng)目占地面積最小.故選B.
22.解析　設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為y元.
依題意得y=s+8 000×10 0004 000x=50x+20 000x+3 000(x≥12,x∈N*).
因?yàn)?0x+20 000x+3 000
≥2×50x·20 000x+3 000=5 000,
當(dāng)且僅當(dāng)50x=20 000x,即x=20時(shí),等號(hào)成立,
所以當(dāng)x=20時(shí),y取得最小值5 000.
所以為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少,該樓房應(yīng)建為20層,每平方米的平均綜合費(fèi)用的最小值為5 000元.
能力提升練
1.C　由題意得,xy=12×2xy≤12×2x+y22=12×122=18,
當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,即x=14,y=12時(shí)等號(hào)成立,所以xy的最大值是18.故選C.
2.D　易得a2+4a+b2+4b=a+b+4a+4b=1+4(a+b)ab=1+4ab.
又ab≤a+b22=14,∴1ab≥4,∴1+4ab≥17,
∴a2+4a+b2+4b≥17,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)取等號(hào).
故選D.
3.B　∵a+b=4ab,a>0,b>0,∴等式兩邊同除以ab,得1a+1b=4,
∴a+b=(a+b)·141a+1b=12+14ba+ab
≥12+14×2ba·ab=12+12=1,
當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab,即a=b=12時(shí)取等號(hào).故選B.
4.D　∵正數(shù)x,y滿足x2+y22=1,
∴2x2+y2=2,
∴x1+y2=22×2x×1+y2≤22×(2x)2+(1+y2)22=22×2x2+y2+12=324,
當(dāng)且僅當(dāng)2x2+y2=2,2x=1+y2,即x=32,y=22時(shí)取等號(hào),
∴x1+y2的最大值為324.
5.答案　1;12
解析　a2+4b2+1ab=(a-2b)2+4ab+1ab≥(a-2b)2+24ab·1ab=(a-2b)2+4,當(dāng)且僅當(dāng)a-2b=0且4ab=1ab,即a=1,b=12時(shí),等號(hào)成立,
所以a=1,b=12.
6.答案　5
解析　∵x>0,∴x+1>1,
∴x2+3x+6x+1=(x+1)2+(x+1)+4x+1=x+1+1+4x+1≥2(x+1)·4x+1+1=5,
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=4x+1,即x=1時(shí),等號(hào)成立,
∴x2+3x+6x+1的最小值是5.
7.答案　23;9
解析　因?yàn)閍+b=1,所以a=1-b,因?yàn)閍>b>0,所以00,
所以1a+4b≥2(2+1)22a+b.
11.證明　a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)2+4a-b=(a-b)+4a-b≥2(a-b)·4a-b=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=1+3,b=-1+3或a=1-3,b=-1-3時(shí)等號(hào)成立.
所以a2+b2a-b≥4.
12.證明　(1)∵a+b=1,a>0,b>0,
∴1a+1b+1ab=1a+1b+a+bab=21a+1b,
1a+1b=a+ba+a+bb=2+ab+ba≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)等號(hào)成立,
∴1a+1b+1ab≥8.
(2)證法一:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+1a=1+a+ba=2+ba,
同理,1+1b=2+ab,
∴1+1a1+1b=2+ba2+ab
=5+2ba+ab≥5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)等號(hào)成立,
∴1+1a1+1b≥9.
證法二:1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab.
由(1)知,1a+1b+1ab≥8,
故1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab≥9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí),等號(hào)成立.
13.證明　(1)∵a+b2≤a2+b22,∴a2+b2≥a+b2=22(a+b)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立).
同理,b2+c2≥22(b+c)(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立),a2+c2≥22(a+c)(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立).
三式相加得a2+b2+b2+c2+a2+c2≥22(a+b)+22(b+c)+22(a+c)
=2(a+b+c)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立).
(2)∵00,b>0,
∴不等式左邊=(x+1-x)a2x+b21-x=a2+b2+x1-x·b2+1-xx·a2≥a2+b2+2x1-x·b2·1-xx·a2=a2+b2+2ab=(a+b)2=右邊當(dāng)且僅當(dāng)x1-x·b2=1-xx·a2,即x=aa+b時(shí),等號(hào)成立.
故a2x+b21-x≥(a+b)2.
14.D　由題意可得a(1+p)(1+q)=a(1+x)2,即(1+p)(1+q)=(1+x)2.
易得(1+p)(1+q)≤1+p+1+q22,當(dāng)且僅當(dāng)p=q時(shí)取等號(hào),
∵p≠q,∴(1+p)(1+q)

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

2.2 基本不等式

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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