專題強化練1　利用基本不等式求最值　　　　　　 　　　　　 　　　　　 一、選擇題1.(2020山東聊城文苑中學(xué)高二月考,)將一根鐵絲切割成三段,做一個面積為2 m2,形狀為直角三角形的框架,在下列4種長度的鐵絲中,選用最合適(夠用且浪費最少)的是????????????? (　　)A.6.5 m B.6.8 m C.7 m  D.7.2 m2.()若正數(shù)a,b滿足+=1,則+的最小值為　　 (　　)A.3  B.4   C.5  D.63.()設(shè)a>b>0,則a2++的最小值是 (　　)A.1   B.2   C.3   D.44.(2020陜西吳起高中高二期末,)設(shè)x,y都是正數(shù),且xy-(x+y)=1,則 (　　)A.x+y≥2(+1) B.xy≤+1C.x+y≤(+1)2   D.xy≥2(+1)5.(2021江蘇蘇州新草橋中學(xué)高二月考,)正數(shù)a,b滿足9a+b=ab,若不等式a+b≥-x2+2x+18-m對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是????????????? (　　)A.m≥3 B.m<3C.m<6 D.m≥66.(2021山東新高考聯(lián)盟高一聯(lián)考,)已知1<m<,則+的最小值是 (　　)A.3+9 B.+6      C.6+9   D.127.()已知x>0,y>0,2x-=-y,則2x+y的最小值為　　 (　　)A. B.2 C.3 D.48.(2019廣東茂名化州高三第一次模擬,)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,當3x+4y取得最小值時,x+2y的值為????????????? (　　)A. B.2    C. D.59.(多選)(2020山東莒縣第一中學(xué)高一月考,)已知x+y=1,y>0,x≠0,則+的值可能是 (　　)A.    B.     C.      D.二、填空題10.(2021山東濟寧兗州高一上期中,)已知a>b>0,且ab=4,則的最小值為　　　　. 11.(2021湖南長沙長郡中學(xué)高二上入學(xué)考試,)已知a,b為正實數(shù),且a+b+ab=3,則2a+b的最小值為　　　　. 12.(2020浙江浙南名校聯(lián)盟高一期末,)若實數(shù)a>1,b>2,且滿足2a+b-6=0,則+的最小值為　　　　.  三、解答題13.(2021安徽安慶一中高一上期中,)已知實數(shù)x>0,y>0,且2xy=x+y+a(x2+y2)(a∈R).(1)當a=0時,求x+4y的最小值,并指出取最小值時x,y的值;(2)當a=時,求x+y的最小值,并指出取最小值時x,y的值.       14.()(1)設(shè)a>b>c,且+≥恒成立,求m的取值范圍;(2)記F=x+y-a(x+2),x>0,y>0,若對任意的x>0,y>0,恒有F≥0,請求出a的取值范圍.     
答案全解全析一、選擇題1.C　設(shè)直角三角形的框架的兩條直角邊長分別為x m,y m(x>0,y>0),則xy=4,設(shè)三角形框架的周長為C,則C=x+y+=x+y+,∵x+y≥2=4,∴C=x+y+≥4+2≈6.83,當且僅當x=y=2時,等號成立,故用7 m長的鐵絲最合適.故選C.2.B　∵a>0,b>0,+=1,∴a>1,b>1,a+b=ab,∴>0,>0,∴+≥2=2=4,當且僅當=,即a=,b=3時,等號成立.故選B.D　∵a>b>0,∴a-b>0,∴a2++=a2-ab+ab++=a(a-b)++ab+≥2+2=4,當且僅當a(a-b)=且ab=,即a=2b=時,等號成立.故選D.4.A　∵x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,∴xy=1+(x+y)≥1+2(當且僅當x=y=1+時,等號成立),即()2-2-1≥0,解得≥1+,即xy≥(1+)2.xy=1+(x+y)≤(當且僅當x=y=1+時,等號成立),即(x+y)2-4(x+y)-4≥0,解得x+y≥2(+1).故選A.5.A　因為9a+b=ab,所以+=1,且a,b均為正數(shù),所以a+b=(a+b)=10++≥10+2=16,當且僅當=,即a=4,b=12時取等號,所以(a+b)min=16,若不等式a+b≥-x2+2x+18-m對任意實數(shù)x恒成立,則16≥-x2+2x+18-m對任意實數(shù)x恒成立,即m≥-x2+2x+2對任意實數(shù)x恒成立,因為-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,所以m≥3,故選A.6.C　∵1<m<,∴m-1>0,4-3m>0,∴+=[(3m-3)+(4-3m)]=9++≥9+6,當且僅當=,且1<m<,即m=時取等號.故選C.7.C　2x-=-y?2x+y=+,要求2x+y的最小值可以先求(2x+y)2的最小值.(2x+y)2=(2x+y)(2x+y)=(2x+y)·=2+++8=10++≥2+10=18當且僅當=,即y=4x=2時等號成立,則2x+y≥=3.8.B　∵x+3y=5xy,x>0,y>0,∴+=1,∴3x+4y=(3x+4y)=++≥+2=5,當且僅當=,即x=2y=1時等號成立,此時x+2y=2.故選B.9.CD　由x+y=1,y>0,x≠0,得y=1-x>0,則x<1且x≠0.當0<x<1時,+=+=+=++≥+2=,當且僅當=,即x=時取等號.當x<0時,+=+=+=-++≥-+2=,當且僅當=,即x=-2時取等號.綜上,+≥.故選CD.二、填空題10.答案　4解析　∵a>b>0,∴a-b>0,又ab=4,∴==a-b+=a-b+≥2=4,即≥4,當且僅當a-b=,即a=+,b=-時取等號.故答案為4.11.答案　4-3解析　由a+b+ab=3可得(a+1)(b+1)=4,則2a+b=2(a+1)+(b+1)-3≥2-3=4-3,當且僅當即時等號成立.故答案為4-3.12.答案　4解析　∵a>1,b>2,且滿足2a+b-6=0,∴2(a-1)+b-2=2,a-1>0,b-2>0,則+=[2(a-1)+b-2]×=≥=×(4+4)=4,當且僅當=,且2a+b-6=0,即a=,b=3時,等號成立,則+的最小值為4.故答案為4.三、解答題13.解析　(1)當a=0時,2xy=x+y,∴+=2,∴x+4y=(x+4y)×=×≥5+2=,當且僅當=且+=2,即y=,x=時取等號,故x+4y的最小值為,此時x=,y=.(2)當a=時,2xy=x+y+(x2+y2)=x+y+(x+y)2-xy,∴3xy=x+y+(x+y)2≤3,解得x+y≥4,當且僅當x=y且2xy=x+y+(x2+y2),即x=y=2時取等號,故x+y的最小值為4,此時x=2,y=2.14.解析　(1)由a>b>c,知a-b>0,b-c>0,a-c>0,所以原不等式等價于+≥m.要使原不等式恒成立,只需+的最小值不小于m即可.因為+=+=2++≥2+2=4,當且僅當=,即2b=a+c時,等號成立,所以m≤4.(2)由F≥0,得x+y≥a(x+2).因為x>0,y>0,所以a≤恒成立,所以a小于或等于的最小值.又≥=,當且僅當x=2y時,等號成立,所以a≤. 

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