注意事項：
本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共22題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1．（2020·內(nèi)蒙古自治區(qū)高三二模（文））設(shè)，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由 得： ，所以 ，因此 ，故答案為B
2．（2020·綏德中學(xué)高二期末（文））設(shè), 則 “”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由一定可得出；但反過來，由不一定得出，如，故選A.
3．（2020·遵義市南白中學(xué)高三其他（理））已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，
∴，即，
∴，故選：D.
4．（2020·高青一中高一月考）已知是一元二次方程的兩實根，則代數(shù)式的值是（ ）
A．7B．1C．5D．
【答案】D
【解析】∵是一元二次方程的兩實根，
∴，
∴．故選：D
5．（2020·四川省宜賓市第四中學(xué)校高二月考（理））某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用新工藝把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，為使每噸的平均處理成本最低，該單位每月處理量應(yīng)為（ ）.
A．200噸B．300噸C．400噸D．600噸
【答案】C
【解析】由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故該單位每月處理量為400噸時，可使每旽的平均處理成本最低.故選;C
6．（2020·江蘇省高一期中）定義區(qū)間的長度為，已知函數(shù)的定義域為，值域為，則區(qū)間的長度的最大值與最小值的差為（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】A
【解析】若函數(shù)單調(diào)，則的長度最小，若函數(shù)單調(diào)遞增，
，此時區(qū)間長度是1，若函數(shù)單調(diào)遞減，
則，此時區(qū)間長度是1，所以區(qū)間的長度的最小值是1，
若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，值域又是，則區(qū)間的最大值，
此時區(qū)間長度是，則區(qū)間的長度的最大值和最小值的差是.
故選：A
7．（2020·河北省衡水中學(xué)高三月考（理））直線與函數(shù)的圖象的相鄰兩個交點的距離為，若在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為直線與函數(shù)的圖象的相鄰兩個交點的距離為一個周期，
所以，，
由，得，
所以在上是增函數(shù)，
由，
解得.
故選：B
8．（2020閩侯縣第六中學(xué)高三月考（文））直角坐標系內(nèi)，兩點滿足：（1）點，都在的圖像上；（2）點，關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一個“姊妹對點”，與可看作一個“姊妹對點”，已知函數(shù)，則的“姊妹對點”有（ ）
A．1個B．2個
C．3個D．4個
【答案】B
【解析】根據(jù)題意可知，“姊妹對點”滿足兩點：都有函數(shù)圖象上，且關(guān)于坐標原點對稱，可作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)交點個數(shù)即可，如圖所示，當(dāng)時，，觀察圖象可得：它們由兩個交點，故選B．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.
9．已知集合，，1，，若，則實數(shù)可以為（ ）
A．B．1
C．0D．以上選項都不對
【答案】ABC
【解析】集合，，1，，，
或或，不存在，，，
解得，或，或．故選：ABC．
10．（2020·湖南省衡陽市一中高二期末）（多選）若，則下列不等式中一定不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】，則，一定不成立；，當(dāng)時，，故可能成立；，故恒成立；，故一定不成立.故選AD.
11．（2020·福建省寧化第一中學(xué)高一月考）已知函數(shù)，則以下說法中正確的是（ ）
A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞減
C．是的一個對稱中心D．當(dāng)時，的最大值為
【答案】ABC
【解析】依題意
.
所以的最小正周期為，A選項正確.
由，解得，所以在上單調(diào)遞減，B選項正確.
，所以是的一個對稱中心，C選項正確.
由于，所以D選項錯誤.故選：ABC
12．（2020·山東省高三一模）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對于任意，都有成立，當(dāng)時，，給出下列結(jié)論，其中正確的是( )
A．
B．點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在上有3個零點
【答案】AB
【解析】在中，令，得，又函數(shù)是上的奇
函數(shù)，所以，，故是一個周期為4的奇函
數(shù)，因是的對稱中心，所以也是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，
故A、B正確；作出函數(shù)的部分圖象如圖所示，
易知函數(shù)在上不具單調(diào)性，故C不正確；函數(shù)在上有7個零點，故D不正確.
故選：AB
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2020·遼寧省沈陽鐵路實驗中學(xué)高一期中）已知函數(shù)則的值是________.
【答案】11
【解析】由，
所以.
故答案為：11
14．（2020·高唐縣第一中學(xué)高一月考）已知，則關(guān)于x的不等式的解集是________．
【答案】
【解析】關(guān)于的不等式等價于，
由，得，所以不等式的解集為.故答案為：..
15．（2020·廣東省高一期末）已知，，，則______.
【答案】
【解析】因為所以
又因為，所以，
所以
=
故答案為：
16．（2020·四川省宜賓市第四中學(xué)校高一期中）關(guān)于函數(shù)，有以下四個命題：①函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；③函數(shù)的定義域為；④函數(shù)的值域為.其中所有正確命題的序號是________.
【答案】①②④
【解析】
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以①正確；
函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以②正確；
函數(shù)的定義域是，所以③不正確；
函數(shù)，函數(shù)的值域是實數(shù)集，所以④正確.
故答案為：①②④.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）17．（2020·黃岡市黃州區(qū)第一中學(xué)高二月考）已知集合，．
（1）若，求的取值范圍；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍．
【解析】
（3分）
（1）因為，所以或，即或．
所以的取值范圍是； （6分）
（2）因為“”是“”的充分不必要條件，所以，則，解得．
所以的取值范圍是． （9分）
18．（2020·江西省南昌二中高二月考（理））函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
（1）確定的解析式；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）解關(guān)于的不等式.
【解析】（1）由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)知
所以解得,經(jīng)檢驗,時是上的奇函數(shù),滿足題意 （3分）
又解得故,. （4分）
（2）在上為增函數(shù).證明如下：
在任取且
則, （6分）
因為,,,,
所以
即,
所以在上為增函數(shù). （8分）
（3）因為為奇函數(shù)所以
不等式可化為,
即
又在上是增函數(shù),
所以,
解得
所以關(guān)于的不等式解集為 （12分）
19．（2020·北京高二期末）已知函數(shù)，（，且）.
（1）當(dāng)時，若，求x的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)，試判斷的奇偶性，并說明理由.
【解析】（1）時，，
若，即，
則. （6分）
（2）由題 ，關(guān)于原點對稱
又，
，
∴為奇函數(shù). （12）
20．（2020·浙江省高三其他）已知函數(shù)，且圖像上相鄰兩個最低點的距離為.
（1）求的值以及的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若且，求的值.
【解析】（1）
.
由于圖像上相鄰兩個最低點的距離為， （3分）
所以.
所以.
由，解得，
所以的單調(diào)減區(qū)間為（）. （6分）
（2）由（1）得.
依題意，，，
而，所以，
所以.
所以
. （12分）
21．（12分）（2020·武功縣普集高級中學(xué)高一月考）已知函數(shù)的一系列對應(yīng)值如下表：
（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)的一個解析式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若函數(shù)周期為，當(dāng)時，方程 恰有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】 (1)繪制函數(shù)圖象如圖所示：
設(shè)的最小正周期為，得．由得． （3分）
又解得,
令，即，，
據(jù)此可得：，又，令可得．
所以函數(shù)的解析式為． （6分）
(2)因為函數(shù)的周期為，又，所以．
令，因為，所以．
在上有兩個不同的解，等價于函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點，， （9分）
所以方程在時恰好有兩個不同的解的條件是，
即實數(shù)的取值范圍是．
（12分）
22．（12分）（2020·安徽省六安一中高一月考）某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，且投資1萬元時的收益為萬元，投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，且投資1萬元時的收益為0.5萬元，
（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；
（2）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？
22.【解析】（1）依題意設(shè)，
，
； （6分）
（2）設(shè)投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品為萬元，
則投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品為萬元，
，
當(dāng)萬元時，收益最大萬元，
20萬元資金，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品為萬元，
投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品為萬元，投資收益最大為3萬元. （12分）

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