不等式的性質(zhì)重點不等式性質(zhì)；不等式性質(zhì)的應(yīng)用。難點不等式性質(zhì)的證明；不等式性質(zhì)的應(yīng)用。考試要求題型   選擇題、填空題和解答題。難度   中等  核心知識點一：兩個實數(shù)比較大小的方法作差法【例題】已知a>0，試比較a與的大小。【解析】因為a－＝＝，因為a>0，所以當(dāng)a>1時，>0，有a>；當(dāng)a＝1時，＝0，有a＝；當(dāng)0<a<1時，<0，有a<。綜上，當(dāng)a>1時，a>；當(dāng)a＝1時，a＝；當(dāng)0<a<1時，a<。總結(jié)提升：作差法比較兩個數(shù)大小的步驟及變形方法：（1）作差法比較的步驟：作差→變形→定號→結(jié)論。（2）變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分解因式；⑤分類討論。 核心知識點二：1. 不等式的性質(zhì)（1）對稱性：a>b?b<a；（2）傳遞性：a>b，b>c?a>c；（3）可加性：a>b?a＋c>b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d；（4）可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd；（5）可乘方性：a>b>0?an>bn（n∈N，n≥1）；（6）可開方性：a>b>0?>（n∈N，n≥2）。注意：1. 辨明兩個易誤點（1）在應(yīng)用傳遞性時，注意等號是否傳遞下去，如a≤b，b<c?a<c；（2）在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號”，例如當(dāng)c≠0時，有a>b?ac2>bc2；若無c≠0這個條件，a>b?ac2>bc2就是錯誤結(jié)論（當(dāng)c＝0時，取“＝”）。2. 不等式中的倒數(shù)性質(zhì)（1）a>b，ab>0?<；（2）a<0<b?<；（3）a>b>0，0<c<d?>；（4）0<a<x<b或a<x<b<0?<<。 典例一：利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假【能力提升】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列結(jié)論：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a（d－c）＞b（d－c）中成立的個數(shù)是（　　）A. 1   B. 2C. 3   D. 4【解析】因為a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故①錯誤. 因為0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因為c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）（－d），所以ac＋bd＜0，所以＋＝＜0，故②正確。因為c＜d，所以－c＞－d，因為a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故③正確。因為a＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－c），故④正確，故選C。【答案】C 總結(jié)提升：①判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明。常用的推理判斷需要利用不等式性質(zhì)。②在判斷一個關(guān)于不等式的命題真假時，先把判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假。 典例二：利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍【能力提升】已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范圍。【解析】設(shè)a＋3b＝λ1（a＋b）＋λ2（a－2b）＝（λ1＋λ2）a＋（λ1－2λ2）b，則有解得又∵－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，∴－≤（a＋b）≤，－2≤－（a－2b）≤－，∴－≤a＋3b≤1。即a＋3b的取值范圍是[－，1]。【答案】[－，1] 易錯點撥：利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要注意的問題：（1）恰當(dāng)設(shè)計解題步驟，合理利用不等式的性質(zhì)。（2）運用不等式的性質(zhì)時要切實注意不等式性質(zhì)的前提條件，切不可用似乎是很顯然的理由，代替不等式的性質(zhì)，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等。（3）準確使用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯誤。 一、本節(jié)重要知識點1. 不等式的性質(zhì)2. 運用性質(zhì)比較大小、判斷不等式命題真假3. 靈活運用比較大小的方法 二、易錯點不等式性質(zhì)求范圍時，要對給出的條件整體運用或者求出字母的范圍，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯誤。 三、必會題型利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍。 （答題時間：30分鐘）1. 已知a<b<0，則下列不等式一定成立的是（　　）A. a2<ab　 B. <<0C. |a|<|b|   D. <2. 若<<0，則下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b中，正確的不等式有（　　）A. 0個   B. 1個C. 2個   D. 3個3. 已知x<1，則x2＋2與3x的大小關(guān)系為________。4. 給出的四個條件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0。能得出<成立的是________。5. 已知12<a<60，15<b<36，求a－b與的取值范圍。 
1. 解析：選B。因為a<b<0，所以令a＝－2，b＝－1，經(jīng)檢驗B正確，A，C，D錯誤。2. 解析：選B。由<<0，得a<0，b<0，故a＋b<0且ab>0，所以a＋b<ab，即①正確；由<<0，得>，兩邊同乘|ab|，得 |b|>|a|，故②錯誤；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，即③錯誤，故選B。3. 解析：（x2＋2）－3x＝（x－1）（x－2），因為x<1，所以x－1<0，x－2<0，所以（x－1）（x－2）>0，即，所以x2＋2>3x。答案：x2＋2>3x4. 解析：由<，可得－<0，即<0，故①②④可推出<。答案：①②④5. 【解析】∵15<b<36，∴－36<－b<－15，∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45。∵<<，∴<<，∴<<4。∴a－b和的取值范圍分別是（－24，45），。 
基本不等式重點基本不等式；應(yīng)用基本不等式求最值。難點基本不等式的推導(dǎo)；應(yīng)用基本不等式求最值。考試要求題型   選擇題、填空題和解答題。難度   中等  核心知識點三：1. 基本不等式≤（1）基本不等式成立的條件：a>0，b>0。（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b。2. 幾個重要的不等式（1）a2＋b2≥ 2ab（a，b∈R）；（2）＋≥2（a，b同號）；（3）ab≤2（a，b∈R）；（4）2≤（a，b∈R）。3. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。4. 利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則（1）如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時，x＋y有最小值是2（簡記：積定和最小）。（2）如果x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時，xy有最大值是（簡記：和定積最大）。注意：1. 求最值時要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件。2. 多次使用基本不等式時，易忽視取等號的條件的一致性。 典例一：利用基本不等式推導(dǎo)【能力提升】下列不等式的推導(dǎo)過程正確的是________。①因為x，y∈R，xy<0，所以＋＝＝－2；②x2＋3＋＝x2＋2＋＋1≥2＋1＝3。【解析】從基本不等式成立的條件考慮。①由xy<0，得，均為負數(shù)，但在推導(dǎo)過程中將＋看成一個整體提出負號后，，均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故①正確；②雖然可以利用基本不等式推導(dǎo)，但等號成立的條件是x2＋2＝，即x2＋2＝1，這顯然不可能，從而等號取不到，因此只能得到x2＋3＋>3。【答案】①③ 總結(jié)提升：應(yīng)用基本不等式時應(yīng)注意（1）基本不等式成立的條件是a>0，b>0。（2）a2＋b2≥2ab和≥成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù)。 典例二：利用基本不等式比較大小【能力提升】已知m＝a＋（a>2），n＝2（2－b2）（b≠0），則m，n之間的大小關(guān)系是（　　）A. m>n　　　　　　 B. m<nC. m＝n D. 不確定【解析】因為a>2，所以a－2>0，又因為m＝a＋＝（a－2）＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2（2－b2）<4，綜上可知m>n。【答案】A易錯點撥：利用基本不等式比較實數(shù)大小的注意事項：（1）利用基本不等式比較大小，常常要注意觀察其形式（和與積）。（2）利用基本不等式時，一定要注意條件是否滿足a>0，b>0。 典例三：利用基本不等式證明【能力提升】設(shè)a，b，c都是正數(shù)，試證明不等式：＋＋≥6。【解析】因為a>0，b>0，c>0，所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，所以＋＋≥6，當(dāng)且僅當(dāng)＝，＝，＝，即a＝b＝c時，等號成立。所以＋＋≥6。 易錯點撥：利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項（1）策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。（2）注意事項：①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用。 典例四：利用基本不等式求最值【能力提升】矩形菜園的一邊靠墻，另外三邊用一段長為36m的籬笆圍成，如何設(shè)計這個矩形菜園的長和寬，才能使菜園的面積最大，最大面積是多少?【解析】設(shè)籬笆的寬為xm，長為ym，靠墻的一邊為長，則有2x+y=36（x>0，y>0）。籬笆的面積為xy有當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=18,即x=9,y=18時，等號成立所以矩形的長為18m，寬為9m時，菜園的面積最大，最大面積是162m2。易錯點撥：用基本不等式求最值時要注意下列三個條件：（1）實際問題中各變量均為正數(shù)；（2）含變量的兩項的和或積為定值；（3）含變量的兩項可以相等，即“一正二定三相等”。 一、本節(jié)重要知識點基本不等式 二、易錯點1. 基本不等式使用條件，尤其是都為負數(shù)時，要注意變號2. 多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立。 三、必會題型1. 利用基本不等式比較大小2. 利用基本不等式證明不等式 （答題時間：30分鐘）1. 已知，則的值（    ）A. 都大于1 B. 都小于1C. 至多有一個不小于1 D. 至少有一個不小于12. 若，則下列不等式成立的是（    ）A.       B.      C.      D. 3. 若實數(shù)，且滿足，則的大小關(guān)系是A.           B. C.           D. 4. 設(shè)x>0，求證：x＋≥。 
1. D【解析】令，則，排除A，B。令，則，排除C。對于D，假設(shè)，則，相加得，矛盾，故選D。2. D【解析】令故A錯，故B錯，故C錯，故選D3. D【解析】因為，且滿足，所以，又，所以>，得，所以，故選D。4. 證明：∵x>0，∴x＋>0，∴x＋＝x＋＝x＋＋－≥2－＝。當(dāng)且僅當(dāng)x＋＝，即x＝時，等號成立。 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2 基本不等式

版本： 人教A版 (2019)

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