第18章《平行四邊形》小結(jié)與復(fù)習(xí)人教版數(shù)學(xué)八年級下冊建立平行四邊形及特殊平行四邊形的知識框架，掌握平行四邊形及特殊平行四邊形的判定，并能熟練應(yīng)用.通過對幾種平行四邊形的回顧和思考，使學(xué)生梳理所學(xué)的知識，系統(tǒng)地復(fù)習(xí)平行四邊形與各種特殊平行四邊形的定義，性質(zhì)，判定方法，正確理解平行四邊形與各種特殊平行四邊形的聯(lián)系與區(qū)別.素養(yǎng)目標(biāo) 本章我們主要學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理;探索并證明了三角形的中位線定理，介紹了平行線問距離的概念;通過平行四邊形邊、角的特殊化，獲得了特殊的平行四邊形——矩形、菱形和正方形，了解了它們之間的關(guān)系;根據(jù)它們的特殊性，得到了這些特殊的平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理. 在學(xué)習(xí)這些知識的過程中，我們采用了從一般到特殊的研究方法:利用圖形的性質(zhì)定理與判定定理之間的關(guān)系，通過證明性質(zhì)定理的逆命題，得到了圖形的判定定理,這些方法在今后的學(xué)習(xí)中都是很有用的.回顧與思考：1,你能概述一下研究平行四邊形的思路和方法嗎?2.平行四邊形有哪些性質(zhì)?如何判定一個(gè)四邊形是平行四邊形?3.矩形、菱形、正方形除了具有平行四邊形的性質(zhì)外，分別還具有哪些性質(zhì)?如何判定一個(gè)四邊形是矩形、菱形、正方形?你能總結(jié)一下研究這些性質(zhì)和判定的方法嗎?4.本章我們利用平行四邊形的性質(zhì)，得出了三角形的中位線定理,你能仿照這一過程，再得出一些其他幾何結(jié)論嗎?請你帶著下面的問題，復(fù)習(xí)一下全章的內(nèi)容吧?；仡櫵伎肌　”菊聦W(xué)習(xí)了哪些特殊的四邊形？是按照什么順序?qū)W習(xí)這些四邊形的？請說說這些四邊形之間的關(guān)系．　　各種平行四邊形的研究中，它們各自的研究內(nèi)容、研究步驟、研究方法有什么共同點(diǎn)？能列表說明嗎？ 邊、角、對角線的特征下定義→探性 質(zhì)→研判定 觀察、猜想、證明；把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題；從性質(zhì)定理的逆命題討論中研究判定定理邊、角、對角線的特征下定義→探性 質(zhì)→研判定 一般到特殊的方法， 類比平行四邊形邊、角、對角線的特征下定義→探性 質(zhì)→研判定一般到特殊的方法，類 比平行四邊形和矩形邊、角、對角線的特征下定義→探性 質(zhì)→研判定 一般到特殊的方法， 類比矩形和菱形這是研究圖形的基本思路． （1）本章研究內(nèi)容：各種平行四邊形的邊、角、對角 線的特征；（2）研究步驟：下定義→探性質(zhì)→研判定；（3）研究方法：觀察、猜想、證明；建立當(dāng)前圖形 （平行四邊形）與三角形的聯(lián)系；從性質(zhì)定理的 逆命題的討論中研究判定定理；類比、一般到特 殊．一、幾種特殊四邊形的性質(zhì)對邊平行且相等對邊平行且相等對邊平行且四邊相等對邊平行且四邊相等對角相等四個(gè)角都是直角對角相等四個(gè)角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一條對角線平分一組對角軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形互相垂直且平分，每一條對角線平分一組對角知識梳理二、幾種特殊四邊形的常用判定方法：1.定義：兩組對邊分別平行 2.兩組對邊分別相等 3.兩組對角分別相等 4.對角線互相平分5.一組對邊平行且相等 1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形 2.對角線相等的平行四邊形3.有三個(gè)角是直角的四邊形1.定義：一組鄰邊相等的平行四邊形 2.對角線互相垂直的平行四邊形3.四條邊都相等的四邊形1.定義：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形2.有一組鄰邊相等的矩形 3.有一個(gè)角是直角的菱形三、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系5種判定方法三個(gè)角是直角四條邊相等一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等三、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系1.兩條平行線之間的距離：2.三角形的中位線定理：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離叫做兩條平行線之間的距離.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半3.直角三角形斜邊上的中線：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.四、其他重要概念[考點(diǎn)一]：平行四邊形的性質(zhì)與判定 例1 如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)E、F分別為AG、CD的中點(diǎn)，連接DE、FG.(1)求證：四邊形DEGF是平行四邊形；(2)如果點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，且BC＝12，CD＝10，求四邊形AGCD的面積. ?考題分類[考點(diǎn)一]：平行四邊形的性質(zhì)與判定 例2 如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊DA的延長線上，且AF＝CE，EF與AB交于點(diǎn)G.(1)求證：AC∥EF；(2)若點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，BE＝6，求邊AD的長.(1)證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形∴ AD∥BC ∴ AF∥CE又∵ AF=CE∴ 四邊形AFEC是平行四邊形∴ AC∥EF(2)解：∵ AD∥BC，∴ ∠F=∠BEG，∠FAG=∠B∵ 點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，∴ AG=BG∴ △AGF≌△BGE (AAS)∴ AF=BE=6∴ CE=AF=6 ∴ BC=BE+CE=12∵ 四邊形ABCD是平行四邊形∴ AD=BC=12 [考點(diǎn)二]：三角形的中位線與Rt△斜邊上的中線 例3 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高.(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形；(2)求證：∠DHF＝∠DEF.證明：(1)∵ 點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)∴ DE、EF都是△ABC的中位線∴ DE∥AC，EF∥AB∴ 四邊形ADEF是平行四邊形(2)∵ 四邊形ADEF是平行四邊形∴ ∠DEF=∠BAC∵ D，F(xiàn)分別是AB，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高∴ DH、FH分別是Rt△ABH和Rt△ACH斜邊上的中線∴ DH=AD，F(xiàn)H=AF∴ ∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA∵ ∠DAH+∠FAH=∠BAC ；∠DHA+∠FHA=∠DHF∴ ∠DHF=∠BAC∴ ∠DHF=∠DEF[考點(diǎn)三]：特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定 例4 如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE∥BD，過點(diǎn)D作DE∥AC，兩線相交于點(diǎn)E.(1)求證：四邊形AODE是菱形；(2)連接BE，交AC于點(diǎn)F.若BE⊥DE于點(diǎn)E，求∠AOD的度數(shù). ?[考點(diǎn)三]：特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定 例5 如圖，已知在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且CF＝AE.(1)試判斷四邊形BECF是什么四邊形？并說明理由；(2)當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECF是正方形？請回答并證明你的結(jié)論.解：(1)四邊形BECF是菱形.理由如下：∵ EF垂直平分BC，∴ BF=CF，BE=CE∴ ∠3=∠1∵ ∠ACB=90°，∴ ∠3+∠A=90°，∠1+∠2=90°∴ ∠2=∠A，∴ CE=AE∴ BE=AE∵ CF=AE∴ BE=CE=CF=BF∴ 四邊形BECF是菱形[考點(diǎn)三]：特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定 例5 如圖，已知在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且CF＝AE.(1)試判斷四邊形BECF是什么四邊形？并說明理由；(2)當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECF是正方形？請回答并證明你的結(jié)論.(2)當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECF是正方形.證明：∵ ∠A=45°，∠ACB=90°∴ ∠CBA=45°∵ 四邊形BECF是菱形∴ ∠EBF=2∠CBA=90°∴ 菱形BECF是正方形方法總結(jié)正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角；③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用①或②進(jìn)行判定.例6 在一個(gè)平行四邊形中，若一個(gè)角的平分線把一條邊分成長是2cm和3cm的兩條線段，求該平行四邊形的周長是多少.解：如圖，∵在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE．又∠ABE=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE．(1)當(dāng)AE=2時(shí)，則平行四邊形的周長=2×(2+5)=14．(2)當(dāng)AE=3時(shí)，則平行四邊形的周長=2×(3+5)=16．一、分類討論思想思想方法例7 如圖，折疊長方形一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，BC=10cm，AB=8cm，求：（1）FC的長；（2）EF的長．解：（1）由題意得AF=AD=10cm，在Rt△ABF中，∵AB=8，∴BF=6cm，∴FC=BC-BF=10-6=4(cm)．（2）由題意可得EF=DE，可設(shè)DE的長為x，在Rt△EFC中，(8-x)2+42=x2，解得x=5，即EF的長為5cm．二、方程思想例8 如圖，平行四邊形ABCD中，AC、BD為對角線，其交點(diǎn)為O，若BC=6，BC邊上的高為4，試求陰影部分的面積．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.∵AB∥CD，∴∠EAO=∠HCO.又∵ ∠AOE＝∠COH，∴△AEO≌△CHO（ASA），同理可得△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，∴S陰影=S△BCD= S平行四邊形ABCD= ×6×4=12．QG三、轉(zhuǎn)化思想四邊形兩組對邊分別平行平行四邊形矩形菱形正方形一個(gè)角是直角一組鄰邊相等一組鄰邊相等一個(gè)角是直角課堂小結(jié)必做題：教科書第67頁復(fù)習(xí)題18第1，2，4，6，7，9，12題；選做題：教科書第69頁復(fù)習(xí)題18第14題．課后作業(yè)課程結(jié)束人教版數(shù)學(xué)八年級下冊

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