章末復(fù)習(xí)（專題小結(jié)）有理數(shù)
特殊平行四邊形性質(zhì)綜合運(yùn)用及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
特殊平行四邊形性質(zhì)綜合運(yùn)用
1．【中考·沈陽(yáng)】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，兩直線相交于點(diǎn)E. (1)求證：四邊形OCED是矩形；
證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD.∴∠COD＝90°.∵CE∥OD，DE∥OC，∴四邊形OCED是平行四邊形．又∵∠COD＝90°，∴四邊形OCED是矩形．
(2)若CE＝1，DE＝2，則菱形ABCD的面積是________．
2．【中考·天門(mén)】如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CB，DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE＝CF，過(guò)點(diǎn)E作EG∥BF，交正方形外角的平分線CG于點(diǎn)G，連接GF，AE.求證： (1)AE⊥BF；
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°.
(2)四邊形BEGF是平行四邊形．
證明：延長(zhǎng)AB至點(diǎn)P，使BP＝BE，連接EP，如圖所示．則AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°.∵CG為正方形ABCD外角的平分線，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG.由(1)得∠BAE＝∠CEG.在△APE和△ECG中，
解：四邊形MEBF是正方形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵M(jìn)E⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB＝∠MFB＝90°.∴四邊形MEBF是矩形．又∵BM是∠ABC的平分線，∴ME＝MF.∴四邊形MEBF是正方形．
3．如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分別是E，F(xiàn).判定四邊形MEBF的形狀，并證明你的結(jié)論．
4．【中考·海南】如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)(與點(diǎn)A，D不重合)，射線PE與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.(1)求證△PDE≌△QCE.
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCD＝90°，∴∠ECQ＝90°＝∠D.∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE.又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE.
(2)過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交PB于點(diǎn)F，連接AF，當(dāng)PB＝PQ時(shí)，①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；
∴∠3＝∠4.又∵AD∥BC，EF∥BC，∴AD∥EF，∴∠1＝∠4，∴∠2＝∠3.又∵PF＝FP，∴△APF≌△EFP，∴AP＝EF.又∵AP∥EF，∴四邊形AFEP是平行四邊形．
②請(qǐng)判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說(shuō)明理由．
特殊四邊形的性質(zhì)在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的巧用
1．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)兩點(diǎn)在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)(E，F(xiàn)不重合)，且保持BE＝DF，連接AE，CF.請(qǐng)你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
解：AE＝CF，AE∥CF.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.
2．在菱形ABCD中，∠B＝60°，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上，動(dòng)點(diǎn)F在邊CD上．(1)如圖①，若E是BC的中點(diǎn)，∠AEF＝60°，求證BE＝DF；
證明：連接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，∴∠BCD＝180°－∠B＝120°，△ABC是等邊三角形．又∵E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°. ∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF. ∴BE＝DF.
證明：連接AC.由(1)知△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF. ∴AE＝AF.又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形．
(2)如圖②，若∠EAF＝60°，求證：△AEF是等邊三角形．
解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°.∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.∵EF垂直平分AC，垂足為O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF(AAS)． ∴OE＝OF.
3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，垂足為O.(1)如圖①，連接AF，CE，證明四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)．
∴四邊形AFCE為平行四邊形．又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE為菱形．∴AF＝CF.設(shè)AF＝CF＝x cm，則BF＝(8－x)cm.在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴AF＝5 cm.
(2)如圖②，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，已知點(diǎn)P的速度為5 cm/s，點(diǎn)Q的速度為4 cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，當(dāng)以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．
解：顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上，Q點(diǎn)在CD上時(shí)，以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；同理，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在DE或CE上時(shí)，也不可能構(gòu)成平行四邊形．因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形．如圖，連接AP，CQ.若以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則PC＝QA.
4．【教材P62習(xí)題T13拓展】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8 cm，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求證：四邊形EFGH是正方形；
證明：如圖所示．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.又∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.∴四邊形EFGH為菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.又∵四邊形EFGH為菱形，∴四邊形EFGH是正方形．
(2)判斷直線EG是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
【點(diǎn)撥】解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵是把動(dòng)點(diǎn)看成定點(diǎn)，找到等量關(guān)系，一般情況下，這個(gè)等量關(guān)系在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)仍然成立．

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