時(shí)間：100分鐘 滿分：120分


一、選擇題(每題3分，共30分)


1．cs 45°的值為( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1


2．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高．若AB＝5，AC＝3，則tan ∠BCD為( )


A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,5)





(第2題) (第4題) (第5題) (第6題)


3．在△ABC中，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs A－\f(1,2)))＋(1－tan B)2＝0，則∠C的度數(shù)是( )


A．45° B．60° C．75° D．105°


4．如圖，A，B，C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tan B′的值為( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),4)


5．課外活動(dòng)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面成30°角時(shí)，測(cè)得旗桿AB在地面上的影長(zhǎng)BC為24 m，那么旗桿AB的高度是( )


A．12 m B．8eq \r(3) m C．24 m D．24eq \r(3) m


6．如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10 m，壩高12 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，則壩底AD的長(zhǎng)度為( )


A．26 m B．28 m C．30 m D．46 m


7．如圖，長(zhǎng)4 m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°，為了改善樓梯的安全性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，則調(diào)整后的樓梯AC的長(zhǎng)為( )


A．2eq \r(3) m B．2eq \r(6) m C．(2eq \r(3)－2)m D．(2eq \r(6)－2)m





(第7題) (第8題)


8．如圖，過點(diǎn)C(－2，5)的直線AB分別交坐標(biāo)軸于A(0，2)，B兩點(diǎn)，則tan ∠OAB等于( )


A.eq \f(2,5) B.eq \f(2,3) C.eq \f(5,2) D.eq \f(3,2)


9．如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20 cm，DE⊥AB，垂足為E，sin A＝eq \f(3,5)，則下列結(jié)論中正確的有( )


①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面積為15 cm2；④BD＝2eq \r(10) cm.


A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)





(第9題) (第10題) (第12題)


10．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以點(diǎn)A為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)A，D為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接AE，DE，則∠EAD的余弦值是( )


A.eq \f(\r(3),12) B.eq \f(\r(3),6) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)


二、填空題(每題3分，共24分)


11．已知α為銳角，sin(α－20°)＝eq \f(\r(3),2)，則α＝________.


12．如圖，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，eq \r(3))，則∠1＝________.


13．已知銳角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，則sin A＝________．








(第14題) (第15題) (第16題) (第18題)


14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC邊上的中線，若sin∠CAM＝eq \f(3,5)，則tan B＝________．


15．如圖，航拍無人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測(cè)得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為90 m，那么該建筑物的高度BC約為________m(精確到1 m，參考數(shù)據(jù)：eq \r(3)≈1.73)．


16．如圖，在半徑為3的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，連接AC，BD，若AC＝2，則tan D＝________．


17．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，則△ABC的面積為________．


18．在綜合實(shí)踐課上，小聰所在小組要測(cè)量一條河的寬度，如圖，河岸EF∥MN，小聰在河岸MN上點(diǎn)A處用測(cè)角儀測(cè)得河對(duì)岸小樹C位于東北方向，然后沿河岸走了30 m，到達(dá)B處，測(cè)得河對(duì)岸電線桿D位于北偏東30°方向，此時(shí)，其他同學(xué)測(cè)得CD＝10 m．請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出河的寬度為______________m.


三、解答題(19，21，24題每題12分，其余每題10分，共66分)


19．計(jì)算：


(1)(－2)3＋eq \r(16)－2sin 30°＋(2 019－π)0；














(2)sin2 45°－cs 60°－eq \f(cs 30°,tan 45°)＋2sin2 60°·tan 60°.














20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2a＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．

















21．如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.


(1)若∠A＝60°，求BC的長(zhǎng)；


(2)若sin A＝eq \f(4,5)，求AD的長(zhǎng)．





(第21題)














22．?dāng)?shù)學(xué)拓展課程《玩轉(zhuǎn)學(xué)具》課堂中，小陸同學(xué)發(fā)現(xiàn)，一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜邊與含30°角的三角尺的長(zhǎng)直角邊相等，于是，小陸同學(xué)提出一個(gè)問題：如圖，將一副三角尺直角頂點(diǎn)重合拼放在一起，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，若BC＝2，求AF的長(zhǎng)．


請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決這個(gè)問題．





(第22題)








23．如圖，天星山山腳下西端A處與東端B處相距800(1＋eq \r(3))m，小軍和小明同時(shí)分別從A處和B處向山頂C勻速行走．已知山的西端的坡角是45°，東端的坡角是30°，小軍的行走速度為eq \f(\r(2),2) m/s.若小明與小軍同時(shí)到達(dá)山頂C處，則小明的行走速度是多少？





(第23題)











24．如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校食堂和食堂正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底M處出發(fā)，向前走3 m到達(dá)A處，測(cè)得樹頂端E的仰角為30°，他又繼續(xù)走下臺(tái)階到達(dá)C處，測(cè)得樹的頂端E的仰角是60°，再繼續(xù)向前走到大樹底D處，測(cè)得食堂樓頂N的仰角為45°.已知A點(diǎn)離地面的高度AB＝2 m，∠BCA＝30°，且B，C，D三點(diǎn)在同一直線上．求：


(1)樹DE的高度；


(2)食堂MN的高度．





(第24題)


答案


一、1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. D


7．B 8. B 9. C


10．B 點(diǎn)撥：如圖，設(shè)BC＝x.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，∴AC＝2BC＝2x，AB＝eq \r(3)BC＝eq \r(3)x.根據(jù)題意，得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝eq \r(3)x，過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，則AM＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)x.在Rt△AEM中，cs ∠EAD＝eq \f(AM,AE)＝eq \f(\f(1,2)x,\r(3)x)＝eq \f(\r(3),6).





(第10題)


二、11. 80° 12. 60° 13. eq \f(1,2) 14. eq \f(2,3) 15. 208


16．2eq \r(2) 點(diǎn)撥：如圖，連接BC，易知∠D＝∠A.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵AB＝3×2＝6，AC＝2，∴BC2＝62－22＝32, ∴BC＝4eq \r(2).∴tan D＝tan A＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(4\r(2),2)＝2eq \r(2).


(第16題)


17．12eq \r(3) 點(diǎn)撥：如圖，過A點(diǎn)作AD⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠ABD＝180°－120°＝60°.在Rt△ABD中，AD＝AB·sin ∠ABD＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)AD·BC＝eq \f(1,2)×3eq \r(3)×8＝12eq \r(3).


(第17題)








18．(30＋10eq \r(3))


三、19.解：(1)原式＝－8＋4－2×eq \f(1,2)＋1＝－8＋4－1＋1＝－4；


(2)原式＝(eq \f(\r(2),2))2－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)＋2×(eq \f(\r(3),2))2×eq \r(3)＝eq \r(3).


20．解：由2a＝3b，可得eq \f(a,b)＝eq \f(3,2).


設(shè)a＝3k(k＞0)，則b＝2k，由勾股定理，得c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(9k2＋4k2)＝eq \r(13)k，


∴sin B＝eq \f(b,c)＝eq \f(2k,\r(13)k)＝eq \f(2\r(13),13)，


cs B＝eq \f(a,c)＝eq \f(3k,\r(13)k)＝eq \f(3\r(13),13)，


tan B＝eq \f(b,a)＝eq \f(2k,3k)＝eq \f(2,3).


21．解：(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tan A＝eq \f(BE,AB)，


∴∠E＝30°，BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6eq \r(3).


在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝4，sin E＝eq \f(CD,CE)，∠E＝30°，


∴CE＝eq \f(CD,sin E)＝eq \f(4,\f(1,2))＝8.


∴BC＝BE－CE＝6eq \r(3)－8.


(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sin A＝eq \f(4,5)＝eq \f(BE,AE)，∴可設(shè)BE＝4x(x＞0)，則AE＝5x，


由勾股定理可得AB＝3x，


∴3x＝6，解得x＝2.


∴BE＝8，AE＝10.


∴tan E＝eq \f(AB,BE)＝eq \f(6,8)＝eq \f(CD,DE)＝eq \f(4,DE)，


解得DE＝eq \f(16,3).


∴AD＝AE－DE＝10－eq \f(16,3)＝eq \f(14,3).


22．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，


∴AC＝eq \f(BC,tan A)＝2eq \r(3).


∴EF＝AC＝2eq \r(3).


∵∠E＝45°，


∴FC＝EF·sin E＝eq \r(6).


∴AF＝AC－FC＝2eq \r(3)－eq \r(6).


23.解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)AD＝x，小明的行走速度是a.


(第23題)


∵∠A＝45°，CD⊥AB，


∴CD＝AD＝x，


∴AC＝eq \r(2)x.


在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，


∴BC＝eq \f(CD,sin 30°)＝eq \f(x,\f(1,2))＝2x.


∵小軍的行走速度為eq \f(\r(2),2) m/s，小明與小軍同時(shí)到達(dá)山頂C處，


∴eq \f(\r(2)x,\f(\r(2),2))＝eq \f(2x,a)，解得a＝1(m/s)．


答：小明的行走速度是1 m/s.


24．解：(1)設(shè)DE＝x.


∵AB＝DF＝2，


∴EF＝DE－DF＝x－2.


∵∠EAF＝30°，


∴AF＝eq \f(EF,tan ∠EAF)＝eq \f(x－2,\f(\r(3),3))＝eq \r(3)(x－2)．


又∵CD＝eq \f(DE,tan ∠DCE)＝eq \f(x,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)x，BC＝eq \f(AB,tan ∠ACB)＝eq \f(2,\f(\r(3),3))＝2eq \r(3)，


∴BD＝BC＋CD＝2eq \r(3)＋eq \f(\r(3),3)x.


由AF＝BD可得eq \r(3)(x－2)＝2eq \r(3)＋eq \f(\r(3),3)x，


解得x＝6(m)．


答：樹DE的高度為6 m.


(2)如圖，延長(zhǎng)NM交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，則AM＝BP＝3.


(第24題)


由(1)知CD＝eq \f(\r(3),3)x＝eq \f(\r(3),3)×6＝2eq \r(3)，


BC＝2eq \r(3)，


∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋2eq \r(3)＋2eq \r(3)＝3＋4eq \r(3).


∵∠NDP＝45°，


∴NP＝PD＝3＋4eq \r(3).


∵M(jìn)P＝AB＝2，


∴NM＝NP－MP＝3＋4eq \r(3)－2＝1＋4eq \r(3)(m)．


答：食堂MN的高度為(1＋4eq \r(3))m.

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