第二十八章 銳角三角函數(shù) 一、選擇題(每小題3分，共30分)1．4cos 45°的值為(　　)A．2  B．2   C．2   D．42．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，則sin A的值為(　　)A.  B.  C.  D.3．若α為銳角，且sin(α－10°)＝，則α等于(　　)A．80°  B．70°  C．60°  D．50°4．在正方形網(wǎng)格中，∠α的位置如圖所示，則tan α的值是(　　)A.  B.  C.  D．2       (第4題)  　　 (第5題)5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝1，CD⊥AB于點D，則cos∠ACD＝(　　)A.  B.  C.  D．2 6．已知飛機離水平地面的高度為5 km，在飛機上測得該水平地面上某觀測目標(biāo)A的俯角為α，則這時飛機與目標(biāo)A的距離為(　　)A. km  B. 5sin α km  C. km  D．5cos α km7．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過原點和點C(0，5)，B是y軸右側(cè)⊙A上一點，則∠OBC的余弦值為(　　)A.  B.  C.  D.     (第7題)  　　 (第9題)8．在△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有|tan B－|＋(2cos A－1)2＝0，則△ABC是(　　)A．直角(不等腰)三角形  B．等邊三角形C．等腰(不等邊)三角形  D．等腰直角三角形9．如圖，長4 m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°，為了改善樓梯的安全性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，則調(diào)整后的樓梯AC的長為(　　)A．2  m  B．2  m  C．(2 －2)m  D．(2 －2)m10．已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于A，B兩點，將這條拋物線的頂點記為C，連接AC，BC，則tan∠CAB的值為(　　)A.  B.  C.  D．2二、填空題(每小題3分，共15分)11．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，則AB＝________．12．如圖，為了測量河兩岸A，B兩點的距離，在與AB垂直的方向點C處測得AC＝400 m，∠ACB＝α，則AB＝__________m.       (第12題)    　　 (第13題)13．如圖，一個長方體木箱沿斜面下滑，木箱高BE＝ m，斜面坡角為30°，當(dāng)AB＝3 m時，木箱端點E距地面AC的高度為________m. 14．如圖，點C在線段AB上，且AC＝2BC，分別以AC，BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE，BCFG，連接EC，EG，則tan∠CEG＝________．      (第14題)    　　 (第15題)15．如圖，∠MON＝60°，點A1在射線ON上，且OA1＝1，過點A1作A1B1⊥ON交射線OM于點B1，在射線ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；過點A2作A2B2⊥ON交射線OM于點B2，在射線ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2……按照此規(guī)律進行下去，則A2 023B2 023的長為________．三、解答題(一)(每小題8分，共24分)16．計算：2sin 30°－|－3|＋(π－2 023)0－.       17．如圖，在△ABC中，∠B為銳角，AB＝3 ，AC＝5，sin C＝，求BC的長．    18．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，點D在AC上，DC＝6，∠DBC＝60°，求AD的長．        四、解答題(二)(每小題9分，共27分)19．一艘貨輪由西向東航行，在A處測得燈塔P在它的北偏東60°方向，繼續(xù)航行到達B處，測得燈塔P在它的東北方向，若燈塔P正南方向4 n mile的C處是港口，點A，B，C在一條直線上，求這艘貨輪由A到B航行的路程．(結(jié)果保留根號)     20．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求證：CB∥PD；(2)若BC＝3，sin P＝，求⊙O的直徑．        21．如圖，已知在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延長線與AD的延長線交于點E.(1)若∠A＝60°，求BC的長；(2)若sin A＝，求AD的長．       五、解答題(三)(每小題12分，共24分)22．如圖，廣州某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°，沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i＝1，AB＝10米，AE＝15米．(1)求點B距水平面AE的高度BH；(2)求廣告牌CD的高度．(測角器的高度忽略不計，結(jié)果保留根號)     23．在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝30°，AC＝，點D在AB上，點E是CD的中點．(1)填空：如圖①，當(dāng)CD⊥AB時，線段BE的長度是________；(2)將∠BED記為α.①如圖②，當(dāng)α＝30°時，判斷BD和DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖③，當(dāng)α＝45°時，求BD的長．
答案一、1.B　2.C　3.B　4.D　5.C　6.A　7.C　8.B　9.C10．D　點撥：令y＝0，則－x2－2x＋3＝0，解得x＝1或－3，設(shè)A(－3，0)，B(1，0)，∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴C(－1，4)．如圖，作CD⊥AB于點D，∴CD＝4，OD＝1，∴AD＝OA－OD＝2.在Rt△ACD中，tan∠CAB＝＝2.故選D.二、11.10　12.400tan α　13.3　14.　15.(1＋)2 022　點撥：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，∴A1B1＝A1A2＝OA1·tan 60°＝，易得A1B1∥A2B2，∴＝，∴＝，∴A2B2＝(1＋)，同理可得A3B3＝(1＋)2……由此規(guī)律可知，A2 023B2 023＝(1＋)2 022.三、16.解：原式＝2×－3＋1－9＝－10.17．解：作AD⊥BC于點D，則∠ADB＝∠ADC＝90°.∵AC＝5，sin C＝，∴AD＝AC·sin C＝3.∴CD＝＝4.∵AB＝3 ，∴BD＝＝3.∴BC＝BD＋CD＝7.18．解：在Rt△DBC中，BD＝＝＝＝4 ，∵∠C＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝30°.∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝75°－60°＝15°，∴∠A＝∠BDC－∠ABD＝30°－15°＝15°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝4 . 四、19.解：根據(jù)題意，得PC＝4 n mile，∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PAC＝90°－60°＝30°，∴AC＝＝4  n mile，BC＝PC＝4 n mile，∴AB＝AC－BC＝(4 －4)n mile，故這艘貨輪由A到B航行的路程為(4 －4)n mile.20．(1)證明：∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD.(2)解：連接AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵CD⊥AB，∴＝，∴∠P＝∠CAB.∴sin∠CAB＝sin P＝，在Rt△ABC中，∵BC＝3，∴AB＝＝＝5，∴⊙O的直徑為5.21．解：(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，∴∠E＝30°，BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6 .在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝4，∠E＝30°，∴CE＝＝＝8.∴BC＝BE－CE＝6 －8.(2)∵sin A＝＝，∴可設(shè)BE＝4x(x＞0)，則AE＝5x.由勾股定理可得AB＝3x，∴3x＝6，解得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.∴tan E＝＝＝＝，解得DE＝.∴AD＝AE－DE＝10－＝.五、22.解：(1)在Rt△ABH中，i＝tan∠BAH＝＝，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝5米．答：點B距水平面AE的高度BH為5米．(2)過點B作BG⊥DE于點G，易知四邊形BGEH是矩形．由(1)得BH＝5米，∴GE＝BH＝5米，易得AH＝5 米，∴BG＝HE＝AH＋AE＝(5 ＋15)米．在Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝(5 ＋15)米．在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15米，∴DE＝AE＝15 米．∴CD＝CG＋GE－DE＝(5 ＋15)＋5－15 ＝(20－10 )(米)．答：廣告牌CD的高度為(20－10 )米．23．解：(1)(2)①BD＝DE.理由如下：∵點E是CD的中點，∴CD＝2DE.∵∠BED＝α＝30°＝∠CBD，∠BDE＝∠CDB，∴△BDE∽△CDB，∴＝，∴BD2＝CD·DE＝2DE2，∴BD＝DE.②過點C作CH⊥AB于點H，過點E作EN⊥AB于點N，過點E作EM∥AC交AB于點M，∴EN∥CH.∵∠A＝45°，CH⊥AB，∴∠ACH＝∠A＝45°.∵AC＝，∴AH＝CH＝1.∵∠ABC＝30°，∴BH＝＝.∵E是CD的中點，∴易得EN＝CH＝，DN＝DH.∵EM∥AC，∴△DME∽△DAC, ∠EMB＝∠A＝45°.∴易得EN＝MN＝，EM＝AC＝.∵α＝45°，∴∠BED＝∠EMD.∵∠EBD＝∠MBE，∴△EBD∽△MBE，∴＝，∴BE2＝BD·BM.在Rt△BEN中，BE2＝EN2＋BN2，∴BD·BM＝EN2＋BN2.設(shè)BD＝x，則DH＝－x，∴BN＝BD＋DN＝x＋＝，∴BM＝MN＋BN＝＋＝.∴x·＝＋，整理，得x2＋2x－4＝0，解得x＝－1＋(負值舍去)．∴BD＝－1.
 

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