1．理解并掌握垂線的概念及性質，了解點到直線的距離；


2．能夠運用垂線的概念及性質進行運算并解決實際問題．(重點，難點)





一、情境導入


如圖是教室的一幅圖片，黑板相鄰兩邊的夾角等于多少度？這樣的兩條邊所在的直線有什么位置關系？





二、合作探究


探究點一：垂 線


【類型一】 運用垂線的概念求角度


如圖，直線BC與MN相交于點O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度數(shù)．





解析：要求∠AOM的度數(shù)，可先求它的余角∠COM.由已知∠EON＝20°，結合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON.再根據“對頂角相等”即可求得∠COM的度數(shù)；要求∠NOC的度數(shù)，根據鄰補角的定義即可．


解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.


方法總結：(1)由兩條直線互相垂直可以得出這兩條直線相交所成的四個角中，每一個角都等于90°；(2)在相交線中求角度，一般要利用垂直、對頂角相等、余角、補角等知識．


【類型二】 運用垂線的概念判定兩直線垂直


如圖所示，已知OA⊥OC于點O，∠AOB＝∠COD.試判斷OB和OD的位置關系，并說明理由．





解析：由于OA⊥OC，根據垂直的定義，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.又∠AOB＝∠COD，則∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°.再根據垂直的定義，得出OB⊥OD.


解：OB⊥OD.理由如下：因為OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.因為∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠BOD＝90°，所以OB⊥OD.


方法總結：由垂直這一條件可得兩條直線相交構成的四個角為直角，反過來，由兩條直線相交構成的角為直角，可得這兩條直線互相垂直．判斷兩條直線垂直最基本的方法就是說明這兩條直線的夾角等于90°.


探究點二：垂線的性質(垂線段最短)


如圖所示，修一條路將A，B兩村莊與公路MN連起來，怎樣修才能使所修的公路最短？畫出線路圖，并說明理由．





解析：連接AB，過點B作BC⊥MN即可．


解：連接AB，作BC⊥MN，C是垂足，線段AB和BC就是符合題意的線路圖．因為從A到B，線段AB最短，從B到MN，垂線段BC最短，所以AB＋BC最短．





方法總結：與垂線段有關的作圖，一般是過一點作已知直線的垂線，作圖的依據是“垂線段最短”．


探究點三：點到直線的距離


如圖，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.


(1)試說出點A到直線BC的距離；點B到直線AC的距離；


(2)點C到直線AB的距離是多少？





解析：(1)點A到直線BC的距離就是線段AC的長；點B到直線AC的距離就是線段BC的長；(2)過點C作CD⊥AB，垂足為D.點C到直線AB的距離就是線段CD的長，可利用面積求得．


解：(1)點A到直線BC的距離是3；點B到直線AC的距離是4；


(2)過點C作CD⊥AB，垂足為D.S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AC＝eq \f(1,2)AB·CD，所以5CD＝3×4，所以CD＝eq \f(12,5).所以點C到直線AB的距離為eq \f(12,5).


方法總結：點到直線的距離是過這一點作已知直線的垂線，垂線段的長度才是這一點到直線的距離．








三、板書設計


1．垂線的概念：


兩條直線相交所成的四個角中，如果有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．


2．垂線的作法


3．垂線的性質：


平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；


直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短．





本節(jié)課學習了垂線的概念和垂線的性質，垂直是相交的一種特殊情況，要說明兩條相交線的位置關系，一般都是垂直．垂線的兩條性質中，不要遺漏條件“在同一平面內”，以保證定理的精確性．對于垂線的概念和性質，要讓學生理解記憶

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初中數(shù)學北師大版七年級下冊電子課本 舊教材

1 兩條直線的位置關系

版本： 北師大版

年級： 七年級下冊

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