第1課時(shí) 對(duì)頂角、補(bǔ)角和余角





1．理解并掌握對(duì)頂角的概念及性質(zhì)，會(huì)用對(duì)頂角的性質(zhì)解決一些實(shí)際問題；


2．理解并掌握補(bǔ)角和余角的概念及性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用其解決一些實(shí)際問題．(重點(diǎn)，難點(diǎn))





一、情境導(dǎo)入


如圖，若把剪刀看成是兩條相交的直線構(gòu)成的，那么形成的角中小于平角的角有幾個(gè)，你能發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系嗎？





二、合作探究


探究點(diǎn)一：對(duì)頂角及其性質(zhì)


【類型一】 對(duì)頂角的概念


下列圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是( )





解析：選項(xiàng)A中的兩個(gè)角的頂點(diǎn)沒有公共；選項(xiàng)B、D中的兩個(gè)角的兩邊沒有在互為反向延長線的兩條直線上，只有選項(xiàng)C中的兩個(gè)角符合對(duì)頂角的定義．故選C.


方法總結(jié)：對(duì)頂角是由兩條相交直線構(gòu)成的，只有兩條直線相交時(shí)，才能構(gòu)成對(duì)頂角．


【類型二】 直接運(yùn)用對(duì)頂角的性質(zhì)求角度


如圖，直線AB、CD，EF相交于點(diǎn)O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度數(shù)．





解析：結(jié)合圖形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度數(shù)，根據(jù)“對(duì)頂角相等”可得∠2的度數(shù)．


解：因?yàn)椤?＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.因?yàn)椤螧OF＝∠2(對(duì)頂角相等)，所以∠2＝70°(等量代換)．


方法總結(jié)：兩條相交直線構(gòu)成對(duì)頂角，這時(shí)應(yīng)注意“對(duì)頂角相等”這一隱含的結(jié)論．在圖形中正確找到對(duì)頂角，利用角的和差及對(duì)頂角的性質(zhì)找到角的等量關(guān)系，然后結(jié)合已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．


探究點(diǎn)二：補(bǔ)角和余角


【類型一】 利用補(bǔ)角和余角計(jì)算求值


已知∠A與∠B互余，且∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，求∠B的度數(shù)．


解析：根據(jù)∠A與∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，從而得到∠A＝3∠B＋30°，再把兩個(gè)算式聯(lián)立即可求出∠2的值．


解：∵∠A與∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°.又∵∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，∴設(shè)∠B＝x，∴∠A＝3∠B＋30°＝3x＋30°，∴3x＋30°＋x＝90°，解得x＝15°，故∠B的度數(shù)為15°.


方法總結(jié)：此題把角的關(guān)系結(jié)合方程問題一起解決，即把相等關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程問題，利用方程來解決．


【類型二】 補(bǔ)角、余角和角平分線的綜合計(jì)算


如圖，已知∠AOB在∠AOC內(nèi)部，∠BOC＝90°，OM、ON分別是∠AOB，∠AOC的平分線，∠AOB與∠COM互補(bǔ)，求∠BON的度數(shù)．





解析：根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，可得∠AOB＋∠COM＝180°.根據(jù)角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°.根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠BOM＝eq \f(1,2)∠AOB.根據(jù)解方程，可得∠AOB的度數(shù)．根據(jù)角的和差，可得答案．


解：∵∠AOB與∠COM互補(bǔ)，∴∠AOB＋∠COM＝180°，即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°.∵∠COB＝90°，∴∠AOB＋∠BOM＝90°.∵OM是∠AOB的平分線，∴∠BOM＝eq \f(1,2)∠AOB，即∠AOB＋eq \f(1,2)∠AOB＝90°，解得∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.∵ON平分∠AOC得∠AON＝eq \f(1,2)∠AOC＝eq \f(1,2)×150°＝75°.由角的和差，∴∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.


方法總結(jié)：本題考查了余角與補(bǔ)角及角平分線的相關(guān)知識(shí)，利用了補(bǔ)角的性質(zhì)，角的和差，角平分線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，解決問題一定要結(jié)合圖形認(rèn)真分析，做到數(shù)形結(jié)合．


【類型三】 補(bǔ)角和余角的性質(zhì)


如圖，將一副直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．


(1)如圖①，若CE是∠ACD的角平分線，那么CD是∠ECB的角平分線嗎？并簡述理由；


(2)如圖②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的內(nèi)部，請(qǐng)你猜想∠ACE與∠DCB是否相等？并簡述理由；


(3)在(2)的條件下，請(qǐng)問∠ECD與∠ACB的和是多少？并簡述理由．





解析：(1)首先根據(jù)直角三角板的特點(diǎn)得到∠ACD＝90°，∠ECB＝90°.再根據(jù)角平分線的定義計(jì)算出∠ECD和∠DCB的度數(shù)即可；(2)∠ACE與∠DCB相等，根據(jù)“等角的余角相等”即可得到答案；(3)根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行等量代換即可．


解：(1)CD是∠ECB的角平分線．理由如下：∵∠ACD＝90°，CE是∠ACD的角平分線，∴∠ECD＝45°.∵∠ECB＝90°，∴∠DCB＝90°－45°＝45°，∴∠ECD＝∠DCB，∴CD是∠ECB的角平分線；


(2)∠ACE＝∠DCB.理由如下：∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∠ECD＝α，∴∠ACE＝90°－α，∠DCB＝90°－α，∴∠ACE＝∠DCB；


(3)∠ECD＋∠ACB＝180°.理由如下：∠ECD＋∠ACB＝∠ECD＋∠ACE＋∠ECB＝∠ACD＋∠ECB＝90°＋90°＝180°.


方法總結(jié)：此題主要查考了角的計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)圖形分清角之間的和差關(guān)系．


三、板書設(shè)計(jì)


1．對(duì)頂角相等；


2．同角或等角的補(bǔ)角相等，同角或等角的余角相等．





本節(jié)課學(xué)習(xí)了對(duì)頂角及其性質(zhì)．教學(xué)中可讓學(xué)生自己畫這些角，結(jié)合圖形說出對(duì)頂角的特征．對(duì)頂角的識(shí)別是易錯(cuò)點(diǎn)，可以結(jié)合例題進(jìn)行練習(xí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷糾錯(cuò)，不斷進(jìn)步

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初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

1 兩條直線的位置關(guān)系

版本： 北師大版

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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