1．理解垂線、垂直的概念；(重點、難點)


2．掌握垂線的兩條性質(zhì)，并會運用．(重點、難點)





一、情境導(dǎo)入


如圖是我們教室的一幅圖片，黑板相鄰兩邊的夾角等于多少度？這樣的兩條邊所在的直線有什么位置關(guān)系？





二、合作探究


探究點一：垂線


【類型一】 垂直與方程綜合求角的度數(shù)


如圖，MO⊥NO，OG平分∠MOP，∠PON＝3∠MOG，求∠GOP的度數(shù)．





解析：由于∠PON＝3∠MOG，若設(shè)∠MOG＝x°，則∠PON＝3x°.OG平分∠MOP可得∠POG＝x°.又由于MO⊥NO，利用∠MON＋∠MOG＋∠GOP＋∠PON＝360°可列出關(guān)于x的方程，從而求得x的值，進而解決問題．


解：設(shè)∠MOG＝x°，則∠PON＝3∠MOG＝3x°.因為MO⊥NO，所以∠MON＝90°.因為OG平分∠MOP，所以∠GOP＝∠MOG＝x°.因為∠MON＋∠MOG＋∠GOP＋∠PON＝360°，所以90＋x＋x＋3x＝360，解得x＝54.所以∠GOP＝54°.


方法總結(jié)：當題目中出現(xiàn)形如“∠α＝k∠β”，“∠α∶∠β＝k∶1”這類等式的時候，?？紤]設(shè)未知數(shù)，然后設(shè)法找出一個相等關(guān)系列出關(guān)于未知數(shù)的方程，從而解決問題．


【類型二】 利用垂線的概念判斷直線垂直


如圖所示，已知OA⊥OC于點O，∠AOB＝∠COD，試判斷OB和OD的位置關(guān)系，并說明理由．





解析：由于OA⊥OC，根據(jù)垂直的定義，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.又∵∠AOB＝∠COD，則∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°，再根據(jù)垂直的定義，得出OB⊥OD.


解：OB⊥OD.理由如下：因為OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.因為∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠BOD＝90°，所以O(shè)B⊥OD.


方法總結(jié)：由垂直這一條件可得兩條直線相交構(gòu)成的四個角為直角，反過來，由兩條直線相交構(gòu)成的角為直角，可得這兩條直線互相垂直．判斷兩條直線垂直最基本的方法就是說明這兩條直線的夾角等于90°.


探究點二：垂線的性質(zhì)


【類型一】 利用垂線的性質(zhì)判斷兩直線平行


已知：如圖，CD⊥AB于D，點E為BC邊上的任意一點，EF⊥AB于F，且∠1＝∠2，那么BC與DG平行嗎？請說明理由．





解析：要說明BC∥DG，可說明∠2＝∠BCD，而∠1＝∠2，故只需說明∠1＝∠BCD，這可由EF與CD都與AB垂直，從而得出EF與CD平行而得到．


解：BC∥DG.理由如下：因為CD⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥EF，所以∠1＝∠BCD(兩直線平行，同位角相等)．又因為∠1＝∠2(已知)，所以∠2＝∠BCD，所以BC∥DG(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．


方法總結(jié)：要說明兩直線平行，除可根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角判定外，還可由垂線的性質(zhì)得到平行．


【類型二】 利用垂線的性質(zhì)判斷兩直線垂直


已知：如圖，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，試說明：CD⊥AB.





解析：由DG⊥BC，AC⊥BC可得DG∥AC，再結(jié)合已知條件可得出EF∥DC，而EF⊥AB，從而有CD⊥AB.


解：∵DG⊥BC，AC⊥BC，∴DG∥AC，∴∠2＝∠3.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EF∥DC.∵EF⊥AB，∴DC⊥AB.


方法總結(jié)：判斷兩條直線垂直的方法有兩種：①根據(jù)垂直的定義，說明相交所成四個角中有一個角為直角；②利用垂線的性質(zhì)“在同一平面，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線垂直于另一條”．





























三、板書設(shè)計


垂線eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(垂線的定義,\a\vs4\al(垂線的,性質(zhì))\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的,兩條直線平行,在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩,條平行線中的一條，那么這條直線垂,直于另一條))))





本節(jié)課學(xué)習(xí)了垂線的概念和垂線的性質(zhì)，垂直是相交的一種特殊情況，要說明兩條相交線的位置關(guān)系，一般都是垂直(如本節(jié)課的例2)．垂線的兩條性質(zhì)中，不要遺漏條件“在同一平面內(nèi)”，以保證定理的精確性．對于垂線的概念和性質(zhì)，要讓學(xué)生理解記憶

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4.5 垂線

版本： 湘教版

年級： 七年級下冊

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