29.1 投影


投影(第2課時(shí))





學(xué)習(xí)目標(biāo)


1.了解正投影的有關(guān)概念及其生活實(shí)例.


2.理解正投影的性質(zhì),并能根據(jù)正投影的性質(zhì)畫出簡(jiǎn)單物體的正投影.


3.在探究物體與其投影關(guān)系的活動(dòng)中,體會(huì)立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.


學(xué)習(xí)過程


一、回顧舊知


1.物體的影子在正北方,則太陽(yáng)在物體的( )


A.正北 B.正南


C.正西D.正東


2.太陽(yáng)發(fā)出的光照在物體上是 ,車燈發(fā)出的光照在物體上是 .( )


A.中心投影,平行投影B.平行投影,中心投影


C.平行投影,平行投影D.中心投影,中心投影


二、得出概念


1.觀察圖(1)(2)(3)中的投影線有什么區(qū)別?它們分別形成了什么投影?





答:


2.圖(2)、圖(3)的投影線與投影面的位置關(guān)系有什么區(qū)別?


答:


3.正投影定義: .


三、探究性質(zhì)


探究1


問題:把一根直的細(xì)鐵絲(記為線段AB)放在三個(gè)不同位置:


①鐵絲平行于投影面;②鐵絲傾斜于投影面;③鐵絲垂直于投影面(鐵絲不一定要與投影面有交點(diǎn)).三種情形下鐵絲的正投影各是什么圖形?大小有何關(guān)系?


答:


探究2


問題:把一塊正方形硬紙板(記為正方形ABCD)放在三個(gè)不同的位置:


①紙板平行于投影面;②紙板傾斜于投影面;


③紙板垂直于投影面.


三種情形下紙板的正投影各是什么圖形?大小有何關(guān)系?


答:


四、例題學(xué)習(xí)


【例題】教材P90例題畫出如圖擺放的正方體在投影面上的正投影.


(1)正方體的一個(gè)面ABCD平行于投影面(圖①);


(2)正方體的一個(gè)面ABCD傾斜于投影面,底面ADEF垂直于投影面,并且其對(duì)角線AE垂直于投影面(圖②).





【思路點(diǎn)撥】(1)當(dāng)正方體在如圖①所示的位置時(shí),正方體的一個(gè)面ABCD及其相對(duì)的另一面與投影面 ,這兩個(gè)面的正投影是與正方體的一個(gè)面的形狀、大小 的正方形A'B'C'D'.正方形A'B'C'D'的四條邊分別是正方體其余四個(gè)面(這些面垂直于投影面)的 .因此,正方體的正投影是 .


(2)當(dāng)正方體在如圖②所示的位置時(shí),它的面ABCD和面ABGF傾斜于投影面,它們的投影是 ;正方體其余兩個(gè)側(cè)面的投影也分別是 ;上、下底面的投影分別是 和 .因此,正方體的投影是 .


解:


五、嘗試應(yīng)用


1.球的正投影是( )


A.圓面B.橢圓面


C.點(diǎn)D.圓環(huán)


2.小明在操場(chǎng)上練習(xí)雙杠時(shí),在練習(xí)的過程中他發(fā)現(xiàn)在地上雙杠的兩橫杠的影子( )


A.相交


B.平行


C.垂直


D.無法確定


3.如圖,投影線的方向如箭頭所示.畫出下列圖中幾何體的正投影.





解:





4.如圖是圓桌正上方的燈泡(看作一個(gè)點(diǎn))發(fā)出的光線照射桌面后,在地面上形成陰影(圓形)的示意圖,已知桌面的直徑為1.2米,桌面距離地面1米,若燈泡距離地面3米,求地面上陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)


解:


六、學(xué)后反思


通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲?


答:


評(píng)價(jià)作業(yè)(滿分100分)


1.(6分)線段的正投影是( )


A.直線B.線段


C.射線D.線段或點(diǎn)


2.(6分)下列敘述正確的是( )


A.圓錐的正投影是等腰三角形


B.圓柱的正投影是矩形


C.球的正投影是圓


D.正方體的正投影是正方形


3.(6分)把一個(gè)正五棱柱按如圖所示的方式擺放,當(dāng)投影線由正前方射到后方時(shí),它的正投影是如圖所示的( )





4.(6分)若木棒長(zhǎng)1.2米,則它的正投影的長(zhǎng)一定( )


A.大于1.2米


B.小于1.2米


C.等于1.2米


D.小于或等于1.2米


5.(8分)平行于投影面的平行四邊形的面積與它的正投影的面積的大小關(guān)系是 .


6.(8分)三角形的正投影可能是 .





7.(8分)一位畫家把邊長(zhǎng)為1米的7個(gè)相同正方體擺成如圖所示的形狀,然后把表面涂上顏色,那么涂色面積為 .


8.(8分)一個(gè)水平放在桌面上的圓柱,從前向后形成的正投影是一個(gè)邊長(zhǎng)為20 cm的正方形,則此圓柱的表面積為 .





9.(10分)如圖所示,投影線的方向如箭頭所示,畫出立體圖形的正投影.


10.(10分)一個(gè)圓錐的軸截面平行于投影面,圓錐的正投影是腰長(zhǎng)為5,底邊長(zhǎng)為6的等腰三角形,求圓錐的體積(結(jié)果保留π).














11.(12分)先觀察下面的立體圖形,再分別畫出它的正面、左面、上面三個(gè)方向的正投影.


























12.(12分)如圖所示,已知線段AB=2,投影面為P,太陽(yáng)光線與投影面垂直.





(1)當(dāng)AB垂直于投影面P時(shí)(如圖(1)所示),請(qǐng)畫出線段AB的投影;











(2)當(dāng)AB平行于投影面P時(shí)(如圖(2)所示),請(qǐng)畫出它的投影,并求出正投影的長(zhǎng);











(3)在(2)的基礎(chǔ)上,點(diǎn)A不動(dòng),線段AB繞點(diǎn)A在垂直于投影面P的平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,請(qǐng)?jiān)趫D(3)中畫出線段AB的正投影,并求出其正投影的長(zhǎng).








參考答案


學(xué)習(xí)過程


一、回顧舊知


1.B


2.B


二、得出概念


1.解:圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn);圖(2)(3)中,投影線互相平行.


圖(1)形成中心投影;圖(2)(3)中形成平行投影.


2.答:圖(2)中,投影線斜著照射到投影面;圖(3)中投影線垂直照射到投影面.


3.投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.


三、探究性質(zhì)


探究1


答:①線段平行于投影面時(shí)的正投影是線段,線段長(zhǎng)等于正投影的長(zhǎng);


②線段傾斜于投影面時(shí)的正投影是線段,線段長(zhǎng)大于正投影的長(zhǎng);


③線段垂直于投影面時(shí)的正投影是一個(gè)點(diǎn).


探究2


答:①當(dāng)紙板平行于投影面時(shí),紙板的正投影與紙板的形狀、大小一樣;


②當(dāng)紙板傾斜于投影面時(shí),紙板的正投影與紙板的形狀、大小不完全一樣;


③當(dāng)紙板垂直于投影面時(shí),紙板的正投影成為一條線段.





四、例題學(xué)習(xí)


【例題】


【思路點(diǎn)撥】(1)平行 完全相同 投影 一個(gè)正方形


(2)矩形A'B'C'D'和A'B'G'F' 上述矩形 線段D'F' C'G' 矩形F'G'C'D'.


解:(1)如圖①所示,正方體的正投影為正方形A'B'C'D',它與正方體的一個(gè)面是全等關(guān)系.


(2)如圖②所示,正方體的正投影為矩形F'G'C'D',這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于正方體的底面對(duì)角線長(zhǎng),矩形的寬等于正方體的棱長(zhǎng).矩形上、下兩邊中點(diǎn)連線A'B'是正方體的側(cè)棱AB及它所對(duì)的另一條側(cè)棱EH的投影.


五、嘗試應(yīng)用


1.A


2.B


3.解:(1)長(zhǎng)方體從上向下的正投影如圖:





(2)六棱柱從上向下的正投影如圖:





(3)該圓柱體從左向右的正投影如圖:





4.解:設(shè)地面上陰影部分的半徑為x m,由題意得





解得x=0.9


則地面上陰影部分的面積為π×0.92=0.81π m2


六、學(xué)后反思


答:(1)正投影:投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.


(2)正投影的性質(zhì):當(dāng)物體的某個(gè)面平行于投影面時(shí),這個(gè)面的正投影與這個(gè)面的形狀、大小完全相同.


評(píng)價(jià)作業(yè)


1.D 2.C 3.B 4.D


5.相等 6.三角形或線段 7.28平方米 8.600π cm2


9.解:如圖所示.





10.解:由圓錐的正投影是腰長(zhǎng)為5,底邊長(zhǎng)為6的等腰三角形,得圓錐的母線長(zhǎng)為5,底面半徑為3,根據(jù)勾股定理得高為4,再根據(jù)圓錐的體積公式V=Sh,得V=×π×32×4=12π.


11.解:它的正面、左面、上面三個(gè)方向的正投影依次如下圖所示.





12.解:(1)如圖(1)所示,線段AB垂直于投影面P時(shí),它的正投影是一個(gè)點(diǎn).


(2)如圖(2)所示,線段AB平行于投影面P時(shí),它的正投影是線段CD,與線段AB的長(zhǎng)相等,即CD=AB=2.


(3)如圖(3)所示,線段AB傾斜于投影面P時(shí),它的正投影是線段C1D1,長(zhǎng)度小于線段AB的長(zhǎng),C1D1=.








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