28.2.2 應(yīng)用舉例(第2課時)





學(xué)習(xí)目標


1.了解方位角、坡度、坡角的概念,能用解直角三角形的知識解決有關(guān)問題.


2.體驗數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法,提升分析問題、解決問題的能力.


學(xué)習(xí)過程


一、復(fù)習(xí)舊知


1.解直角三角形常用的幾個關(guān)系?


答:





2.什么叫做方位角?


答:





二、探究應(yīng)用解直角三角形解決方位角問題





【例1】(教材例5)如圖所示,一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向,距離燈塔80 n mile的A處,它沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處.這時,B處距離燈塔P有多遠(結(jié)果取整數(shù))?


解:











三、探究應(yīng)用解直角三角形解決坡度、坡角問題





【例2】(教材P77練習(xí)2)


如圖,攔水壩的橫斷面為梯形ABCD,斜面坡度i=1∶1.5是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比,斜面坡度i=1 ∶3是指DE與CE的比,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),求:


(1)坡角α和β的度數(shù);


(2)斜坡AB的長(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).


四、反思小結(jié)


1.方位角:


坡度:


坡角:


2.利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是什么?


答:


五、嘗試應(yīng)用





1.如圖,海中有一小島A,它周圍8海里內(nèi)有暗礁,漁船跟蹤魚群由西向東航行,在B點測得小島A在北偏東60°方向上,航行12海里到達D點,這時測得小島A在北偏東30°方向上.如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行,有沒有觸礁的危險?


【思路點撥】過A作AC⊥BD于點C,求出∠CAD、∠CAB的度數(shù),求出∠BAD和∠ABD,根據(jù)等角對等邊得出AD=BD=12,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出CD,根據(jù)勾股定理求出AC即可.


解:

















2.如圖,利用土埂修筑一條渠道,在埂中間挖去深為0.6 m的一塊(圖中的陰影部分),其橫截面是梯形ABCD,其中,AB=CD,已知渠道內(nèi)坡度為1∶1.5,渠道地面寬BC為0.5 m.


(1)計算橫截面ABCD的面積;











(2)求修一條長為100 m的這種渠道要挖去的土方數(shù).











【思路點撥】(1)分別求得梯形的兩個底面的長和高,利用梯形的面積計算即可;


(2)利用底面積×高=體積進行計算即可.


解:











評價作業(yè)


(滿分100分)





1.(8分)如圖所示,某商場自動扶梯的長l為10米,該自動扶梯到達的高度h為6米,自動扶梯與地面所成的角為θ,則tan θ等于( )


A.


B.


C.


D.





2.(8分)如圖所示,小雅家(圖中點O處)門前有一條東西走向的公路,經(jīng)測得有一水塔(圖中點A處)在她家北偏東60度方向500 m處,那么水塔所在的位置到公路的距離AB是( )


A.250 m


B.250 m


C. m


D.250 m


3.(8分)一段公路的坡度為1∶3,某人沿這段公路路面前進100米,那么他上升的最大高度是( )


A.30米 B.10米


C.30米D.10米


4.(8分)一只船向正東方向航行,上午7時在燈塔A的正北方向的C處,上午9時到達燈塔A的北偏東60°方向的B處,已知船的速度為每小時20千米,那么AB的長是( )


A.千米B.千米


C.千米D.千米


5.(8分)已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=1∶2.4,如果它把物體送到離地面10米高的地方,那么物體所經(jīng)過的路程為 米.


6.(8分)一只船向正東方向航行,上午9點到達一座燈塔的西南方向68海里處,上午11點到達這座燈塔的正南方向,這只船航行的速度是 海里/時.(答案可帶根號)





7.(8分)如圖所示,一游人由山腳A沿坡角為30°的山坡行走600 m,到達一個景點B,再由B沿山坡BC行走200 m到達山頂C,若在山頂C處觀測到景點B的俯角為45°,則山高CD等于 (結(jié)果用根號表示).





8.(10分)如圖所示,一船在A處測得北偏東45°方向有一燈塔B,船向正東方向以每小時20海里的速度航行1.5小時到達C處時,又觀測到燈塔B在北偏東15°方向上,求此時船與燈塔相距多少海里.























9.(10分)如圖所示,沿江堤壩的橫斷面是梯形ABCD,壩頂AD=4 m,壩高AE=6 m,斜坡AB的坡比i=1∶2,∠C=60°,求斜坡AB,CD的長.














10.(12分)如圖所示,某漁船在小島O南偏東75°方向的B處遇險,在小島O南偏西45°方向A處巡航的中國漁政船接到求救信號后立刻前往救援,此時,中國漁政船與小島O相距8海里,漁船在中國漁政船的正東方向上.


(1)求∠BAO與∠ABO的度數(shù)(直接寫出答案);











(2)若中國漁政船以每小時28海里的速度沿AB方向趕往B處救援,能否在1小時內(nèi)趕到?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):tan 75°≈3.73,tan 15°≈0.27,≈1.41,≈2.45)














11.(12分)李明同學(xué)積極響應(yīng)學(xué)校號召,利用假期參加了班級組織的“研學(xué)旅行”活動,在參觀某紅色景區(qū)時,李明站在臺階DF上發(fā)現(xiàn)了對面山坡BC上有一塊豎立的標語牌AB,他在臺階頂端F處測得標語牌頂點A的仰角為45°,標語牌底端B的仰角為32°,如圖,已知臺階高EF為3米,山坡坡面BC的長為25米,山坡BC的坡度為1∶0.75,求標語牌AB的高度.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)sin 32°≈0.53,cs 32°≈0.85,tan 32°≈0.62)

















參考答案


學(xué)習(xí)過程


一、復(fù)習(xí)舊知


1.答:解直角三角形常用的關(guān)系有3個:


(1)三邊之間關(guān)系:a2+b2=c2(勾股定理);


(2)兩銳角之間關(guān)系:∠A+∠B=90°;


(3)邊角之間關(guān)系:sin A=,cs A=,tan A=.


2.答:以正北、正南方向為基準,描述物體位置的角.


二、探究應(yīng)用解直角三角形解決方位角問題


解:在Rt△APC中,


PC=PA·cs(90°-65°)


=80·cs 25°≈72.505.


在Rt△BPC中,∠B=34°,


∵sin B=,


∴PB=≈130(n mile).


因此,當海輪到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處時,它距離燈塔P大約130 n mile.


三、探究應(yīng)用解直角三角形解決坡度、坡角問題


解:(1)由已知得tan α=,∴α≈33.69°,tan β=,∴β≈18.43°.


(2)在Rt△ABF中,∵sin α=,∴AB=≈10.9(m).


四、反思小結(jié)


1.以正北、正南方向為基準,描述物體位置的角.


斜坡的鉛直高度與水平寬度的比.


斜坡的坡面與水平面的夾角.


2.答:(1)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題);


(2)根據(jù)問題中的條件,適當選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形;


(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案;


(4)得到實際問題的答案.


五、嘗試應(yīng)用





1.解:只要求出A到BD的最短距離是否在以A為圓心,以8海里的圓內(nèi)或圓上即可,


如圖,過A作AC⊥BD于點C,則AC的長是A到BD的最短距離,


∵∠CAD=30°,∠CAB=60°,


∴∠BAD=60°-30°=30°,∠ABD=90°-60°=30°,


∴∠ABD=∠BAD,


∴BD=AD=12海里,


∵∠CAD=30°,∠ACD=90°,


∴CD=AD=6海里,


由勾股定理得:AC==6≈10.392>8,


即漁船繼續(xù)向正東方向行駛,沒有觸礁的危險.


2.解:(1)∵渠道內(nèi)坡度為1∶1.5,


∴BE∶AE=1∶1.5,


∵BE=0.6米,


∴AE=0.9米,


∴AD=AE+EF+FD=2×AE+BC=2×0.9+0.5=2.3(米),


∴截面ABCD的面積為(AD+BC)×BE=×(2.3+0.5)×0.6=0.84(平方米);


(2)修一條長為100 m的這種渠道要挖去的土方數(shù)為100×0.84=84(立方米).


評價作業(yè)


1.A 2.A 3.D 4.D


5.26 6.17 7.(100+300) m








8.解:如圖所示,過C作CD⊥AB,垂足為D,過C作CE⊥AC,交AB于E.在Rt△ACD中,∠DAC=45°,AC=20×1.5=30,∴CD=ACsin 45°=30×=15,在Rt△BCD中,∠BCD=∠BCE+∠ECD=45°+15°=60°,∴BC==30(海里).答:此時船與燈塔相距30海里.





9.解:∵斜坡AB的坡比i=1∶2,∴AE∶BE=1∶2.又AE=6 m,∴BE=12 m,∴AB==6(m),作DF⊥BC于F(如圖所示),則得矩形AEFD,有DF=AE=6 m,∵∠C=60°,∴CD==4(m).答:斜坡AB,CD的長分別是6 m,4 m.





10.解:(1)∠BAO=45°,∠ABO=15°.


(2)能.過點O作OC⊥AB于點C,如圖所示,則△AOC與△BOC都是直角三角形,由(1)得∠BAO=45°,∠ABO=15°,∴△AOC是等腰直角三角形,∴AC=OC.在Rt△AOC中,AC=OAcs 45°=8×=4≈5.64,∴OC=AC≈5.64,在Rt△BOC中,BC=≈20.89.∴AB=AC+BC≈5.64+20.89=26.53(海里).∵中國漁政船的速度是每小時28海里,∴中國漁政船能在1小時內(nèi)趕到.





11.解:延長AB交ED的延長線于點G,過點F作FH垂直于AB的延長線于點H,


即∠AHF=90°,∠AGE=90°,


∵山坡坡面BC的長為25米,山坡BC的坡度為1∶0.75,


∴,BG2+CG2=BC2.


∴BG=20.


∵EF=HG=3,


∴BH=BG-HG=17.


∵∠AFH=45°,∠BFH=32°,tan 32°≈0.62,


∴AH=FH,≈0.62.


∴AH=FH≈≈27.42,


∴AB=AH-BH≈27.42-17≈10.4(米).


答:標語牌AB的高度為10.4米.








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28.2 解直角三角形及其應(yīng)用

版本： 人教版

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