第1課時 平行投影與中心投影











1．理解平行投影和中心投影的特征；(重點)


2．在投影面上畫出平面圖形的平行投影或中心投影．(難點)





一、情境導(dǎo)入


北京故宮中的日晷聞名世界，是我國光輝燦爛文化的瑰寶．它是我國古代利用日影測定時刻的儀器，它由“晷面”與“晷針”組成，當太陽光照在日晷中軸上產(chǎn)生投影，晷針的影子就會投向晷面，隨著時間的推移，晷針的影的長度發(fā)生變化，晷針的影子在晷面上慢慢移動，聰明的古人以此來顯示時刻．





本節(jié)課學(xué)習(xí)有關(guān)投影的知識．


二、合作探究


探究點一：平行投影


【類型一】 判斷影子的形狀


下列圖形中，表示兩棵小樹在同一時刻陽光下的影子的圖形可能是( )





解析：選項A.影子平行，且較高的樹的影子長度大于較低的樹的影子，正確；選項B.影子的方向不相同，錯誤；選項C.影子的方向不相同，錯誤；選項D.不同樹高與影子是成正比的，較高的樹的影子長度小于較低的樹的影子，錯誤．故選A.


方法總結(jié)：平行投影特點：在同一時刻，不同物體的影子同向，且不同物體的物高和影長成比例．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練” 第2題


【類型二】 平行投影作圖


在某一時刻，操場上有三根測桿，如圖所示，其中測桿AB的影子為BC，你能畫出測桿MN的影子NP嗎？若測桿XY的影子的頂端恰好落在點B處，且XY＝MN，你能找出XY所在的位置嗎？請將上述問題畫在下面的示意圖中，并簡述畫法．





解析：過物體頂點作光線的平行線得到物體的平行投影，再根據(jù)平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的可找到XY的位置．





解：連接AC，過點M作MP∥AC交NC于點P，則NP為MN的影子．過點B作BX∥AC，且BX＝MP，過X作XY⊥NC交NC于點Y，則XY即為所求．


方法總結(jié)：先根據(jù)物體投影確定光線，然后利用兩個物體的頂端和各自影子的對應(yīng)點的連線是一組平行線，過物體頂端作平行線與地面相交，從而確定影子．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第4題


【類型三】 平行投影的相關(guān)計算


李航想利用太陽光測量樓高．他帶著皮尺來到一棟樓下，發(fā)現(xiàn)對面墻上有這棟樓的影子，針對這種情況，他設(shè)計了一種測量方案，具體測量方法如下：如示意圖，李航邊移動邊觀察，發(fā)現(xiàn)站到點E處時，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同．此時，測得李航落在墻上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m(點A、E、C在同一直線上)．已知李航的身高EF是1.6m，請你幫李航求出樓高AB.





解析：過點D作DN⊥AB，可得四邊形CDME、ACDN是矩形，即可證明△DFM∽△DBN，從而得出BN，進而求得AB的長．





解：過點D作DN⊥AB，垂足為N，交EF于M點，∴四邊形CDME、ACDN是矩形，∴AN＝ME＝CD＝1.2m，DN＝AC＝30m，DM＝CE＝0.6m，∴MF＝EF－ME＝1.6－1.2＝0.4m.∵EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，eq \f(DM,DN)＝eq \f(MF,BN)，即eq \f(0.6,30)＝eq \f(0.4,BN)，∴BN＝20m，∴AB＝BN＋AN＝20＋1.2＝21.2m.


答：樓高為21.2m.


方法總結(jié)：在同一時刻的物體高度與影長的關(guān)系：eq \f(物體高度,物體影長)＝eq \f(另一物體的高度,另一物體的影長).


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第6題


探究點二：中心投影


【類型一】 判斷是否是中心投影


下面屬于中心投影的是( )


A．太陽光下的樹影 B．皮影戲


C．月光下房屋的影子 D．海上日出


解析：中心投影的光源為燈光，平行投影的光源為陽光與月光．在各選項中只有B選項得到的投影為中心投影．故選B.


方法總結(jié)：判斷投影是中心投影的方法是看光線是否相交于一點，如果光線是相交于一點，那么所得到的投影就是中心投影．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第6題


【類型二】 判斷影長的情況


晚上小亮在路燈下散步，在小亮從遠處走到燈下，再遠離路燈這一過程中，他在地上的影子( )


A．逐漸變短 B．先變短后變長


C．先變長后變短 D．逐漸變長


解析：晚上小亮在路燈下散步，當小亮從遠處走到燈下的時候，他在地上的影子由長變短，當他再遠離路燈的時候，他在地上的影子由短變長．故選B.


方法總結(jié)：中心投影的光線特點是從一點出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時的投影是放大(即位似變換)的關(guān)系．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第5題


【類型三】 中心投影作圖


如圖是小明與爸爸(線段AB)、爺爺(線段CD)在同一路燈下的情景，粗線分別表示三人的影子．請根據(jù)要求，進行作圖(不寫畫法，但要保留作圖痕跡)．





(1)畫出圖中燈泡所在的位置；


(2)在圖中畫出小明的身高．


解析：(1)利用中心投影的圖形的性質(zhì)連接對應(yīng)點得出燈泡位置即可；(2)根據(jù)燈泡位置即可得出小明的身高．


解：(1)如圖所示：O即為燈泡的位置；


(2)如圖所示：EF即為小明的身高．





方法總結(jié)：連接物體和它影子的頂端所形成的直線必定經(jīng)過點光源．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第8題


【類型四】 中心投影的相關(guān)計算


如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1m，繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2m，已知王華的身高是1.5m，求路燈A的高度AB.





解析：根據(jù)在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似解答．


解：當王華在CG處時，Rt△DCG∽Rt△DBA，即eq \f(CD,BD)＝eq \f(CG,AB)；當王華在EH處時，Rt△FEH∽Rt△FBA，即eq \f(EF,BF)＝eq \f(EH,AB)＝eq \f(CG,AB)，∴eq \f(CD,BD)＝eq \f(EF,BF).∵CG＝EH＝1.5m，CD＝1m，CE＝3m，EF＝2m，設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)，∴eq \f(1,y＋1)＝eq \f(2,y＋5)，解得y＝3，經(jīng)檢驗y＝3是原方程的根．∵eq \f(CD,BD)＝eq \f(CG,AB)，即eq \f(1.5,x)＝eq \f(1,4)，解得x＝6m.即路燈A的高度AB＝6m.


方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是利用中心投影的特點可知在這兩組相似三角形中有一組公共邊，利用其作為相等關(guān)系求出所需要的線段，再求公共邊的長度．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第7題


三、板書設(shè)計


1．平行投影的定義及應(yīng)用；


2．中心投影的定義及應(yīng)用．





本節(jié)以自主探索、合作交流為設(shè)計主線，從皮影戲、手影、日晷等學(xué)生熟悉的生活實際出發(fā)，引入物體投影的相關(guān)概念，通過觀察圖片等活動，使學(xué)生認識中心投影和平行投影的區(qū)別與聯(lián)系，加強主動學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級下冊電子課本

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版本： 人教版

年級： 九年級下冊

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