第一節(jié)　排列與組合
[考綱要求]
1．理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題．
2．理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題．
3．理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題．　　　
突破點一　兩個計數(shù)原理


1．分類加法計數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．
2．分步乘法計數(shù)原理
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．
3．兩個計數(shù)原理的比較
名稱
分類加法計數(shù)原理
分步乘法計數(shù)原理
相同點
都是解決完成一件事的不同方法的種數(shù)問題
不同點
運用加法運算
運用乘法運算
分類完成一件事，并且每類辦法中的每種方法都能獨立完成這件事情，要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性．分類計數(shù)原理可利用“并聯(lián)”電路來理解
分步完成一件事，并且只有各個步驟都完成才算完成這件事情，要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性．分步計數(shù)原理可利用“串聯(lián)”電路來理解

一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(　　)
(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(　　)
(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
二、填空題
1．三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有________種．
答案：6
2．某電話局的電話號碼為139××××××××，若前六位固定，最后五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話號碼的個數(shù)為________．
答案：32
3．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有________個．
答案：120


考法一　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理
[例1]　(1)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點，則P可表示坐標(biāo)平面上第二象限的點的個數(shù)為(　　)
A．6　　　　　　　　　 　B．12
C．24 D．36
(2)在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”．比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1,2,3,4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有________個．
[解析]　(1)確定第二象限的點，可分兩步完成：
第一步確定a，由于a＜0，所以有3種方法；
第二步確定b，由于b＞0，所以有2種方法．
由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限的點的個數(shù)是3×2＝6.
(2)十位數(shù)的數(shù)為1時，有213,214,312,314,412,413，共6個，十位上的數(shù)為2時，有324,423，共2個，所以共有6＋2＝8(個)．
[答案]　(1)A　(2)8

(1)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．
(2)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．　　　　
考法二　兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用　
在解決實際問題的過程中，并不一定是單一的分類或分步，而可能是同時應(yīng)用兩個計數(shù)原理，即分類時，每類的方法可能要運用分步完成，而分步時，每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想求解．分類的關(guān)鍵在于做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步．
[例2]　(1)(2018·合肥三模)某社區(qū)新建了一個休閑小公園，幾條小徑將公園分成5塊區(qū)域，如圖．社區(qū)準(zhǔn)備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域，要求每個區(qū)域種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所選花卉顏色不能相同，則不同種植方法的種數(shù)為(　　)
A．96 B．114
C．168 D．240
(2)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是(　　)
A．48 B．18
C．24 D．36
[解析]　(1)首先在a中種植，有4種不同方法，其次在b中種植，有3種不同方法，再次在c中種植，若c與b同色，則d有3種不同方法，若c與b不同色，c有2種不同方法，d有2種不同方法，最后在e中種植，有2種不同方法，所以不同的種植方法共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(種)，故選C.
(2)分類討論：第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24個；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個)．
[答案]　(1)C　(2)D
[方法技巧]
使用兩個計數(shù)原理進(jìn)行計數(shù)的基本思想
對需用兩個計數(shù)原理解決的綜合問題要“先分類，再分步”，即先分為若干個“既不重復(fù)也不遺漏”的類，再對每類中的計數(shù)問題分成若干個“完整的步驟”，求出每個步驟的方法數(shù)，按照分步乘法計數(shù)原理計算各類中的方法數(shù)，最后再按照分類加法計數(shù)原理得出總數(shù)．　　

1.教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有(　　)
A．10種 B．25種
C．52種 D．24種
解析：選D　每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步．由分步乘法計數(shù)原理可知，共有24種不同的走法．
2.如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過一點)．
解析：分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；
第二類，中間過一個點，有A→B→O和A→C→O 2種不同的走法；
第三類，中間過兩個點，有A→B→C→O和A→C→B→O 2種不同的走法．
由分類加法計數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5種不同的走法．
答案：5
3.如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________．
解析：按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24(種)涂法；二是用3種顏色，這時A，B，C的涂法有4×3×2＝24(種)，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(種)．
答案：72種
突破點二　排列、組合


1．排列與排列數(shù)
排列
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
排列數(shù)
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作A
2.組合與組合數(shù)
組合
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
組合數(shù)
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作C
3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

排列數(shù)
組合數(shù)
公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
＝
C＝＝＝
性質(zhì)
A＝n??；0！＝1
C＝1；
C＝C_；
C＋C＝C
備注
n，m∈N*且m≤n

一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．(　　)
(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(　　)
(3)若組合式C＝C，則x＝m成立．(　　)
(4)(n＋1)！－n?。絥·n！.(　　)
(5)A＝nA.(　　)
(6)kC＝nC.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
二、填空題
1．某考生填報某高校專業(yè)意向，打算從5個專業(yè)中挑選3個，分別作為第一、第二、第三志愿，則不同的填法有________種．
答案：60
2．用1,2,3,4,5,6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿足1不在左、右兩端，2,4,6三個偶數(shù)中有且只有兩個偶數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為________．
答案：288
3．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自在周六、周日兩天中隨機(jī)選一天郊游，則周六、周日都有同學(xué)參加郊游的情況共有________種．
答案：14


考法一　排列問題　
[例1]　3名女生和5名男生排成一排．
(1)如果女生全排在一起，有多少種不同排法？
(2)如果女生都不相鄰，有多少種排法？
(3)如果女生不站兩端，有多少種排法？
(4)其中甲必須排在乙前面(可不鄰)，有多少種排法？
(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少種排法？
[解]　(1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起有6個元素，排成一排有A種排法，而其中每一種排法中，三個女生間又有A種排法，因此共有A·A＝4 320種不同排法．
(2)(插空法)先排5個男生，有A種排法，這5個男生之間和兩端有6個位置，從中選取3個位置排女生，有A種排法，因此共有A·A＝14 400種不同排法．
(3)法一：(位置分析法)因為兩端不排女生，只能從5個男生中選2人排列，有A種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有A種排法，因此共有A·A＝14 400種不同排法．
法二：(元素分析法)從中間6個位置選3個安排女生，有A種排法，其余位置無限制，有A種排法，因此共有A·A＝14 400種不同排法．
(4)8名學(xué)生的所有排列共A種，其中甲在乙前面與乙在甲前面的各占其中，
因此符合要求的排法種數(shù)為A＝20 160.
(5)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置．
法一：(特殊元素法)甲在最右邊時，其他的可全排，有A種；甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個，有A種，而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個中的任一個上，有A種，其余人全排列，共有A·A·A種．由分類加法計數(shù)原理得，共有A＋A·A·A＝30 960(種)．
法二：(特殊位置法)先排最左邊，除去甲外，有A種，余下7個位置全排，有A種，但應(yīng)剔除乙在最右邊時的排法A·A種，因此共有A·A－A·A＝30 960(種)．
法三：(間接法)8個人全排，共A種，其中不合條件的有甲在最左邊時，有A種，乙在最右邊時，有A種，其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，有A種．
因此共有A－2A＋A＝30 960(種)．
[方法技巧]　求解排列應(yīng)用題的7種主要方法
直接法
把符合條件的排列數(shù)直接列式計算
優(yōu)先法
優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法
把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法
對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的間隔中
先整體后局部
“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部
定序問題除法處理
對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
間接法
正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法

考法二　組合問題　
[例2]　某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．
(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？
(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？
(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？
(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？
(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？
[解]　(1)從余下的34種商品中，
選取2種有C＝561種取法，
∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種．
(2)從34種可選商品中，選取3種，有C種取法．
∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5 984種．
(3)從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有CC＝2 100種取法．
∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 100種．
(4)選取2種假貨有CC種，選取3種假貨有C種，共有選取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(種)．
∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 555種．
(5)法一：(間接法)
選取3種的總數(shù)為C，因此共有選取方式C－C＝6 545－455＝6 090(種)．
∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種．
法二：(直接法)
共有選取方式C＋CC＋CC＝6 090(種)．
∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種．

組合問題的2種題型及解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：
“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?br /> (2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：
解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．　　　　
考法三　分組分配問題　
分組分配問題是排列、組合問題的綜合運用，解決這類問題的一個基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配．關(guān)于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分三種，無論分成幾組，都應(yīng)注意只要有一些組中元素的個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．
[例3]　(1)教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法．
(2)若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．
[解析]　(1)先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A＝6種方法，故將6個畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有·A＝90種不同的分派方法．
(2)將6名教師分組，分三步完成：
第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種分法；
第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種分法；
第3步，余下的3名教師作為一組，有C種分法．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有CCC＝60種分法．
再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有A＝6種分法，
故共有60×6＝360種不同的分法．
[答案]　(1)90　(2)360
[方法技巧]　分組分配問題的3種類型及求解策略
類型
求解策略
整體均分
解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)
部分均分
解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)
不等分組
只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)


1.六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(　　)
A．192種　　　　　　　　 　B．216種
C．240種 D．288種
解析：選B　第一類：甲在左端，有A＝120種排法；
第二類：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝96種排法；
所以共有120＋96＝216種排法．
2.在某校2018年舉辦的第32屆秋季運動會上，甲、乙兩位同學(xué)從四個不同的運動項目中各選兩個項目報名，則甲、乙兩位同學(xué)所選的項目中至少有1個不相同的選法種數(shù)為(　　)
A．30 B．36
C．60 D．72
解析：選A　因為甲、乙兩位同學(xué)從四個不同的項目中各選兩個項目的選法有CC種．其中甲、乙所選的項目完全相同的選法有C種，所以甲、乙所選的項目中至少有1個不相同的選法共有CC－C＝30(種)．故選A.
3.將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(　　)
A．12種 B．10種
C．9種 D．8種
解析：選A　將4名學(xué)生均分為2個小組共有＝3(種)分法；將2個小組的同學(xué)分給2名教師共有A＝2(種)分法；最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有A＝2(種)分法．
故不同的安排方案共有3×2×2＝12(種)．
[課時跟蹤檢測]
[A級　基礎(chǔ)題——基穩(wěn)才能樓高]
1．將3張不同的奧運會門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是(　　)
A．2 160　　　　　　　　　　 　B．720
C．240 D．120
解析：選B　分步來完成此事．第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法，則共有10×9×8＝720種分法．
2．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為(　　)
A．40 B．16
C．13 D．10
解析：選C　分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面．
3．(2019·安徽調(diào)研)用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于3 000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有(　　)
A．250個 B．249個
C．48個 D．24個
解析：選C?、佼?dāng)千位上的數(shù)字為4時，滿足條件的四位數(shù)有A＝24(個)；②當(dāng)千位上的數(shù)字為3時，滿足條件的四位數(shù)有A＝24(個)．由分類加法計數(shù)原理得所有滿足條件的四位數(shù)共有24＋24＝48(個)，故選C.
4．(2019·漳州八校聯(lián)考)若無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)滿足條件：①個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)，②所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)是(　　)
A．540 B．480
C．360 D．200
解析：選D　由個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)知個位數(shù)字、十位數(shù)字1奇1偶，有CCA＝50種排法；所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則百位數(shù)字是奇數(shù)，有C＝4種滿足題意的選法，故滿足題意的三位數(shù)共有50×4＝200(個)．
5．(2019·福州高三質(zhì)檢)福州西湖公園花展期間，安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務(wù)，要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，不同的安排方案共有(　　)
A．90種 B．180種
C．270種 D．360種
解析：選B　可分兩步：第一步，甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，有A種不同的安排方案；第二步，剩下兩個展區(qū)各兩個人，有CC種不同的安排方案，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的安排方案的種數(shù)為ACC＝180.故選B.
6．(2019·北京朝陽區(qū)一模)某單位安排甲、乙、丙、丁4名工作人員從周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲連續(xù)兩天值班，則不同的安排方法種數(shù)為(　　)
A．18 B．24
C．48 D．96
解析：選B　甲連續(xù)兩天值班，共有(周一，周二)，(周二，周三)，(周三，周四)，(周四，周五)四種情況，剩下三個人進(jìn)行全排列，有A＝6種排法，因此共有4×6＝24種排法，故選B.
[B級　保分題——準(zhǔn)做快做達(dá)標(biāo)]
1．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：選D　先考慮遞增數(shù)列，以1為首項的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9.以2為首項的等比數(shù)列為2,4,8.以4為首項的等比數(shù)列為4,6,9.同理可得到4個遞減數(shù)列，∴所求的數(shù)列的個數(shù)為2(2＋1＋1)＝8.
2．(2019·蕪湖一模)某校高一開設(shè)4門選修課，有4名同學(xué)選修，每人只選1門，恰有2門課程沒有同學(xué)選修，則不同的選課方案有(　　)
A．96種 B．84種
C．78種 D．16種
解析：選B　先確定選的兩門，選法種數(shù)為C＝6，再確定學(xué)生選的情況，選法種數(shù)為24－2＝14，所以不同的選課方案有6×14＝84(種)，故選B.
3．(2019·東莞質(zhì)檢)將甲、乙、丙、丁4名學(xué)生分配到三個不同的班，每個班至少1名，則不同分配方法的種數(shù)為(　　)
A．18 B．24
C．36 D．72
解析：選C　先將4人分成三組，有C＝6種方法，再將三組同學(xué)分配到三個班級有A＝6種分配方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同分配方法有6×6＝36(種)，故選C.
4．(2019·衡水二中檢測)用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是(　　)

A．12 B．24
C．30 D．36
解析：選C　按順序涂色，第一個圓有三種選擇，第二個圓有二種選擇，若前三個圓用了三種顏色，則第三個圓有一種選擇，后三個圓也用了三種顏色，共有3×2×1×C×C＝24(種)，若前三個圓用了兩種顏色，則后三個圓也用了兩種顏色，所以共有3×2＝6(種)．綜上可得不同的涂色方案的種數(shù)是30.
5．(2019·云南民大附中期中)將5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、中山大學(xué)這3所大學(xué)就讀，每所大學(xué)至少保送1人，則不同的保送方法共有(　　)
A．150種 B．180種
C．240種 D．540種
解析：選A　先將5人分成三組，3,1,1或2,2,1，共有C＋C×＝25種分法；再將三組學(xué)生分到3所學(xué)校有A＝6種分法．故共有25×6＝150種不同的保送方法．故選A.
6．(2019·東北三省四市一模)6本不同的書在書架上擺成一排，要求甲、乙兩本書必須擺放在兩端，丙、丁兩本書必須相鄰，則不同的擺放方法有(　　)
A．24種 B．36種
C．48種 D．60種
解析：選A　由題意知將甲、乙兩本書放在兩端有A種放法，將丙、丁兩本書捆綁，與剩余的兩本書排列，有A種放法，將相鄰的丙、丁兩本書排列，有A種放法，所以不同的擺放方法有A×A×A＝24(種)，故選A.
7．(2019·河南三門峽聯(lián)考)5名大人帶2個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數(shù)有(　　)
A．AA種 B．AA種
C．AA種 D．(A－4A)種
解析：選A　首先5名大人先排隊，共有A種排法，然后把2個小孩插進(jìn)中間的4個空中，共有A種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有AA種排法，故選A.
8．(2019·臨海白云高級中學(xué)月考)2個男生和4個女生排成一排，其中男生必須相鄰且不排兩端的不同排法有(　　)
A．AAA種 B．AAA種
C.種 D.種
解析：選A　4個女生站成一排有A種排法，2個男生相鄰，故視作一體，采用插空法，將其放在4個女生的3個空中(不含兩端)，有A種排法，2個男生站成一排有A種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同排法種數(shù)為AAA，故選A.
9．現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進(jìn)行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是(　　)
A．120 B．140
C．240 D．260
解析：選D　由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，再涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，則C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種)，故選D.
10．(2019·沈陽東北育才學(xué)校月考)已知A，B，C，D四個家庭各有2名小孩，四個家庭準(zhǔn)備乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名小孩(乘同一輛車的4名小孩不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名小孩中恰有2名來自同一個家庭的乘坐方式共有(　　)
A．18種 B．24種
C．36種 D．48種
解析：選B　若A家庭的孿生姐妹乘坐甲車，則甲車中另外2名小孩來自不同的家庭，有CCC＝12種乘坐方式，若A家庭的孿生姐妹乘坐乙車，則甲車中來自同一個家庭的2名小孩來自B，C，D家庭中的一個，有CCC＝12種乘坐方式，所以共有12＋12＝24種乘坐方式，故選B.
11．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中，第一、二象限不同點的個數(shù)為________．
解析：分兩類：一是以集合M中的元素為橫坐標(biāo)，以集合N中的元素為縱坐標(biāo)有3×2＝6個不同的點；二是以集合N中的元素為橫坐標(biāo)，以集合M中的元素為縱坐標(biāo)有4×2＝8個不同的點，故由分類加法計數(shù)原理得共有6＋8＝14個不同的點．
答案：14
12．(2019·洛陽高三統(tǒng)考)某校有4個社團(tuán)向高一學(xué)生招收新成員，現(xiàn)有3名同學(xué)，每人只選報1個社團(tuán)，恰有2個社團(tuán)沒有同學(xué)選報的報法有________種(用數(shù)字作答)．
解析：法一：第一步，選2名同學(xué)報名某個社團(tuán)，有C·C＝12種報法；第二步，從剩余的3個社團(tuán)里選一個社團(tuán)安排另一名同學(xué)，有C·C＝3種報法．由分步乘法計數(shù)原理得共有12×3＝36種報法．
法二：第一步，將3名同學(xué)分成兩組，一組1人，一組2人，共C種方法；第二步，從4個社團(tuán)里選取2個社團(tuán)讓兩組同學(xué)分別報名，共A種方法．由分步乘法計數(shù)原理得共有C·A＝36(種)．
答案：36
13．(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字填寫答案)
解析：法一：(直接法)按參加的女生人數(shù)可分兩類：只有1位女生參加有CC種，有2位女生參加有CC種．故共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(種)．
法二：(間接法)從2位女生，4位男生中選3人，共有C種情況，沒有女生參加的情況有C種，故共有C－C＝20－4＝16(種)．
答案：16
14．(2019·江西師大附中月考)用數(shù)字1,2,3組成的五位數(shù)中，數(shù)字1,2,3均出現(xiàn)的五位數(shù)共有________個(用數(shù)字作答)．
解析：使用間接法，首先計算全部的情況數(shù)目，共3×3×3×3×3＝243(個)，其中包含數(shù)字全部相同(即只有1個數(shù)字)的有3個，還有只含有2個數(shù)字的有C·(2×2×2×2×2－2)＝90(個)．故1,2,3均出現(xiàn)(即含有3個數(shù)字)的五位數(shù)有243－3－90＝150(個)．
答案：150
15．從4名男同學(xué)中選出2人，6名女同學(xué)中選出3人，并將選出的5人排成一排．
(1)共有多少種不同的排法？
(2)若選出的2名男同學(xué)不相鄰，共有多少種不同的排法？(用數(shù)字表示)
解：(1)從4名男生中選出2人，有C種選法，
從6名女生中選出3人，有C種選法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知選出5人，再把這5個人進(jìn)行排列共有CCA＝14 400(種)．
(2)在選出的5個人中，若2名男生不相鄰，則第一步先排3名女生，第二步再讓男生插空，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有CCAA＝8 640(種)．
16．用0,1,2,3,4這五個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？
(1)比21 034大的偶數(shù)；
(2)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)．
解：(1)可分五類，當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是2時，有6個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時，有CA＝12個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時，有CA＝12個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時，有3個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3時，有A＝6個五位數(shù)．
故共有6＋12＋12＋3＋6＝39個滿足條件的五位數(shù)．
(2)可分為兩類：
末位數(shù)是0，個數(shù)有A·A＝4；
末位數(shù)是2或4，個數(shù)有A·C＝4.
故共有4＋4＝8個滿足條件的五位數(shù)．



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