1．仰角和俯角
與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖①)．
2．方向角
相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等．
3．方位角
指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．
【知識(shí)拓展】
1．三角形的面積公式：
S＝eq \r(p?p－a??p－b??p－c?) (p＝eq \f(a＋b＋c,2))，
S＝eq \f(abc,4R)＝rp(R為三角形外接圓半徑，r為三角形內(nèi)切圓半徑，p＝eq \f(a＋b＋c,2))．
2．坡度(又稱坡比)：坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比．
【思考辨析】
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.( × )
(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為[0，eq \f(π,2)]．( × )
(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系．( √ )
(4)方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍一般是[0，eq \f(π,2))．( √ )
1．(教材改編)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為( )
A．50eq \r(2) m B．50eq \r(3) m
C．25eq \r(2) m D.eq \f(25\r(2),2) m
答案 A
解析 由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(AC,sin B)，
又∵B＝30°，
∴AB＝eq \f(ACsin∠ACB,sin B)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq \r(2)(m)．
2．若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的( )
A．北偏東15° B．北偏西15°
C．北偏東10° D．北偏西10°
答案 B
解析 如圖所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°，
∴點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.
3．(教材改編)海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB＝10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC等于( )
A．10eq \r(3) n mile B.eq \f(10\r(6),3) n mile
C．5eq \r(2) n mile D．5eq \r(6) n mile
答案 D
解析 如圖，在△ABC中，
AB＝10，A＝60°，B＝75°，
∴eq \f(BC,sin 60°)＝eq \f(10,sin 45°)，
∴BC＝5eq \r(6).
4.如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB＝________.
答案 eq \f(\r(3),2)a
解析 由已知得∠DAC＝30°，△ADC為等腰三角形，AD＝eq \r(3)a，又在Rt△ADB中，AB＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(\r(3),2)a.
5．在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng)，失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行，此時(shí)，風(fēng)向是北偏東30°，風(fēng)速是20 km/h；水的流向是正東，流速是20 km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|________，速度的大小為________ km/h.
答案 60° 20eq \r(3)
解析 如圖，
∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cs 120°＝1 200，故OC＝20eq \r(3)，∠COY＝30°＋30°＝60°.
題型一 求距離、高度問題
例1 (1)如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高AD是60 m，則河流的寬度BC等于( )
A．240(eq \r(3)－1) m B．180(eq \r(2)－1)m
C．120(eq \r(3)－1)m D．30(eq \r(3)＋1)m
(2)(2016·三明模擬)在200 m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高是______ m.
答案 (1)C (2)eq \f(400,3)
解析 (1)如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝60eq \r(3)(m)．
在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，
所以BD＝AD·tan 15°＝60(2－eq \r(3))(m)．
所以BC＝CD－BD＝60eq \r(3)－60(2－eq \r(3))
＝120(eq \r(3)－1) (m)．
(2)如圖，設(shè)塔AB高為h，
在Rt△CDB中，CD＝200 m，∠BCD＝90°－60°＝30°，
∴BC＝eq \f(200,cs 30°)＝eq \f(400\r(3),3)(m)．
在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，
∠ACB＝60°－30°＝30°，
∴∠BAC＝120°.
在△ABC中，由正弦定理得eq \f(BC,sin 120°)＝eq \f(AB,sin 30°)，
∴AB＝eq \f(BC·sin 30°,sin 120°)＝eq \f(400,3)(m)．
思維升華 求距離、高度問題應(yīng)注意
(1)理解俯角、仰角的概念，它們都是視線與水平線的夾角；理解方向角的概念．
(2)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．
(3)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．
(1)一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東60°，行駛4 h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°，這時(shí)船與燈塔的距離為________ km.
(2)如圖所示，為測(cè)一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)間的距離為60 m，則樹的高度為________m.
答案 (1)30eq \r(2) (2)30＋30eq \r(3)
解析 (1)如圖，由題意，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，
∴B＝45°，AC＝60 km，
由正弦定理eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(AC,sin 45°)，
∴BC＝30eq \r(2) km.
(2)在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cs 30°－cs 45°sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，
由正弦定理得eq \f(PB,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 15°)，
∴PB＝eq \f(\f(1,2)×60,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))，
∴樹的高度為PB·sin 45°＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)
＝(30＋30eq \r(3))(m)．
題型二 求角度問題
例2 如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cs θ的值為________．
答案 eq \f(\r(21),14)
解析 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 120°＝2 800?BC＝20eq \r(7).
由正弦定理，得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)
?sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq \f(\r(21),7).
由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cs∠ACB＝eq \f(2\r(7),7).
由θ＝∠ACB＋30°，得cs θ＝cs(∠ACB＋30°)
＝cs∠ACBcs 30°－sin∠ACBsin 30°＝eq \f(\r(21),14).
思維升華 解決測(cè)量角度問題的注意事項(xiàng)：
(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義；
(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步；
(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．
如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大?。鬉B＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，則tan θ的最大值是______(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)．
答案 eq \f(5\r(3),9)
解析 如圖，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥BC于點(diǎn)O，
連接AO，則∠PAO＝θ.
設(shè)CO＝x m，則OP＝eq \f(\r(3),3)x m.
在Rt△ABC中，AB＝15 m，AC＝25 m，
所以BC＝20 m.
所以cs∠BCA＝eq \f(4,5).
所以AO＝eq \r(625＋x2－2×25x×\f(4,5))
＝eq \r(x2－40x＋625)(m)．
所以tan θ＝eq \f(\f(\r(3),3)x,\r(x2－40x＋625))＝eq \f(\f(\r(3),3),\r(1－\f(40,x)＋\f(625,x2)))
＝eq \f(\f(\r(3),3),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,x)－\f(4,5)))2＋\f(9,25))).
當(dāng)eq \f(25,x)＝eq \f(4,5)，即x＝eq \f(125,4)時(shí)，tan θ取得最大值為eq \f(\f(\r(3),3),\f(3,5))＝eq \f(5\r(3),9).
題型三 三角形與三角函數(shù)的綜合問題
例3 (2016·長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝2sin xcs x＋2eq \r(3)cs2x－eq \r(3).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
(2)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中a＝7，若銳角A滿足f(eq \f(A,2)－eq \f(π,6))＝eq \r(3)，且sin B＋sin C＝eq \f(13\r(3),14)，求bc的值．
解 (1)f(x)＝2sin xcs x＋2eq \r(3)cs2x－eq \r(3)
＝sin 2x＋eq \r(3)cs 2x＝2sin(2x＋eq \f(π,3))，
因此f(x)的最小正周期為T＝eq \f(2π,2)＝π.
由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)得kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(7π,12)，k∈Z，
即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ＋eq \f(π,12)，kπ＋eq \f(7π,12)](k∈Z)．
(2)由f(eq \f(A,2)－eq \f(π,6))＝2sin[2(eq \f(A,2)－eq \f(π,6))＋eq \f(π,3)]＝2sin A＝eq \r(3)，
又A為銳角，則A＝eq \f(π,3)，
由正弦定理可得2R＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(7,\f(\r(3),2))＝eq \f(14,\r(3))，
sin B＋sin C＝eq \f(b＋c,2R)＝eq \f(13\r(3),14)，
則b＋c＝eq \f(13\r(3),14)·eq \f(14,\r(3))＝13，
由余弦定理可知，
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(?b＋c?2－2bc－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，
可求得bc＝40.
思維升華 三角形與三角函數(shù)的綜合問題，要借助三角函數(shù)性質(zhì)的整體代換思想，數(shù)形結(jié)合思想，還要結(jié)合三角形中角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理解題．
設(shè)f(x)＝sin xcs x－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)))＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值．
解 (1)由題意知f(x)＝eq \f(sin 2x,2)－eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))),2)
＝eq \f(sin 2x,2)－eq \f(1－sin 2x,2)＝sin 2x－eq \f(1,2).
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z, 可得－eq \f(π,4)＋kπ≤x≤eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z；
由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z, 可得eq \f(π,4)＋kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))(k∈Z)；
單調(diào)遞減區(qū)間是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋kπ，\f(3π,4)＋kπ))(k∈Z)．
(2)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)))＝sin A－eq \f(1,2)＝0，得sin A＝eq \f(1,2)，
由題意知A為銳角，所以cs A＝eq \f(\r(3),2).
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
可得1＋eq \r(3)bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋eq \r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立．
因此eq \f(1,2)bcsin A≤eq \f(2＋\r(3),4).
所以△ABC面積的最大值為eq \f(2＋\r(3),4).
10．函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用
典例 (12分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇．
(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由．
思想方法指導(dǎo) 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可以設(shè)出第三邊，利用余弦定理列方程求解；對(duì)于三角形中的最值問題，可建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．
規(guī)范解答
解 (1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則[1分]
S＝eq \r(900t2＋400－2·30t·20·cs?90°－30°?)
＝eq \r(900t2－600t＋400)＝eq \r(900?t－\f(1,3)?2＋300).[3分]
故當(dāng)t＝eq \f(1,3)時(shí)，Smin＝10eq \r(3)，v＝eq \f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq \r(3).
即小艇以30eq \r(3)海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最?。甗6分]
(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇．
則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cs(90°－30°)，[8分]
故v2＝900－eq \f(600,t)＋eq \f(400,t2).∵0

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