1.曲線(xiàn)的參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線(xiàn)上，那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線(xiàn)的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù).
相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程.
2.參數(shù)方程和普通方程的互化
(1)參數(shù)方程化普通方程：利用兩個(gè)方程相加、減、乘、除或者代入法消去參數(shù).
(2)普通方程化參數(shù)方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，則得曲線(xiàn)的參數(shù)方程
參數(shù)方程與普通方程互化的注意點(diǎn)
(1)在參數(shù)方程與普通方程的互化中，一定要注意變量的范圍以及轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.
(2)普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不唯一，即如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線(xiàn)的參數(shù)方程的形式也不同.
3.直線(xiàn)、圓與橢圓的普通方程和參數(shù)方程
軌跡
普通方程
參數(shù)方程
直線(xiàn)
y－y0＝tan α(x－x0)
(t為參數(shù))
圓
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(θ為參數(shù))
橢圓
＋＝1(a＞b＞0)
(φ為參數(shù))

[熟記常用結(jié)論]
經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為α的直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).若A，B為直線(xiàn)l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：
(1)t0＝；
(2)|PM|＝|t0|＝；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù).(　　)
(2)過(guò)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).參數(shù)t的幾何意義表示：直線(xiàn)l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線(xiàn)段M0M的數(shù)量.(　　)
(3)方程(θ為參數(shù))表示以點(diǎn)(0,1)為圓心，以2為半徑的圓.(　　)
(4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)參數(shù)t＝，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線(xiàn)OM的斜率為.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
二、選填題
1.曲線(xiàn)(θ為參數(shù))的對(duì)稱(chēng)中心(　　)
A.在直線(xiàn)y＝2x上　　　 B.在直線(xiàn)y＝－2x上
C.在直線(xiàn)y＝x－1上 D.在直線(xiàn)y＝x＋1上
解析：選B　由得
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲線(xiàn)是以(－1,2)為圓心，1為半徑的圓，所以對(duì)稱(chēng)中心為(－1,2)，在直線(xiàn)y＝－2x上.
2.若直線(xiàn)l：(t為參數(shù))與曲線(xiàn)C：(θ為參數(shù))相切，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A.－4或6 B.－6或4
C.－1或9 D.－9或1
解析：選A　由(t為參數(shù))，得直線(xiàn)l：2x＋y－1＝0，由(θ為參數(shù))，得曲線(xiàn)C：x2＋(y－m)2＝5，因?yàn)橹本€(xiàn)l與曲線(xiàn)C相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即＝，解得m＝－4或m＝6.故選A.
3.在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，則其普通方程為_(kāi)___________.
解析：依題意，消去參數(shù)可得x－2＝y(tǒng)－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
4.已知兩曲線(xiàn)的參數(shù)方程分別為(0≤θ＜π)和(t∈R)，則它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______.
解析：消去參數(shù)θ得普通方程為＋y2＝1(0≤y≤1)，表示橢圓的一部分.消去參數(shù)t得普通方程為y2＝x，表示拋物線(xiàn)，聯(lián)立兩方程，可知兩曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為.
答案：
5.曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則曲線(xiàn)C的普通方程為_(kāi)___________.
解析：由(θ為參數(shù))消去參數(shù)θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1).
答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)

考點(diǎn)一 參數(shù)方程與普通方程的互化 [基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)]
[題組練透]
1.已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).
(1)求直線(xiàn)l和圓C的普通方程；
(2)若直線(xiàn)l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解：(1)直線(xiàn)l的普通方程為2x－y－2a＝0，
圓C的普通方程為x2＋y2＝16.
(2)因?yàn)橹本€(xiàn)l與圓C有公共點(diǎn)，
故圓C的圓心到直線(xiàn)l的距離d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－2，2 ].
2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(s為參數(shù))，設(shè)P為曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最小值.
解：直線(xiàn)l的普通方程為x－2y＋8＝0.
因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線(xiàn)C上，設(shè)P(2s2,2s)，
從而點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離
d＝＝，
當(dāng)s＝時(shí)，dmin＝.
因此當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)時(shí)，曲線(xiàn)C上的點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離取到最小值.
[名師微點(diǎn)]
將參數(shù)方程化為普通方程消參的3種方法
(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達(dá)式，然后代入消去參數(shù).
(2)利用三角恒等式消去參數(shù).
(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù).
[提醒]　將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍.
考點(diǎn)二 參數(shù)方程的應(yīng)用 [師生共研過(guò)關(guān)]
[典例精析]
(2018·全國(guó)卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，－)且傾斜角為α的直線(xiàn)l與⊙O交于A，B兩點(diǎn).
(1)求α的取值范圍；
(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.
[解]　(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1.
當(dāng)α＝時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn).
當(dāng)α≠時(shí)，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.
l與⊙O交于兩點(diǎn)需滿(mǎn)足＜1，
解得k＜－1或k＞1，
即α∈或α∈.
綜上，α的取值范圍是.
(2)l的參數(shù)方程為.設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，
則tP＝，且tA，tB滿(mǎn)足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿(mǎn)足
所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是
.
[解題技法]
一般地，如果題目中涉及圓、橢圓上的動(dòng)點(diǎn)或求最值范圍問(wèn)題時(shí)可考慮用參數(shù)方程，設(shè)曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角恒等變換問(wèn)題解決，使解題過(guò)程簡(jiǎn)單明了.
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
已知曲線(xiàn)C：＋＝1，直線(xiàn)l：(t為參數(shù)).
(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C的參數(shù)方程，直線(xiàn)l的普通方程；
(2)過(guò)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線(xiàn)，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值.
解：(1)曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).
直線(xiàn)l的普通方程為2x＋y－6＝0.
(2)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α為銳角，且tan α＝.
當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.
當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為.
考點(diǎn)三 參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用 [師生共研過(guò)關(guān)]
[典例精析]
(2019·柳州模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)D的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin.
(1)求曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程以及曲線(xiàn)D的直角坐標(biāo)方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)A(極坐標(biāo))且傾斜角為的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，弦MN的中點(diǎn)為P，求的值.
[解]　(1)由題意可得曲線(xiàn)C的普通方程為＋＝1，
將代入曲線(xiàn)C的普通方程可得，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為＋＝1，即ρ2＝ .
因?yàn)榍€(xiàn)D的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin，
所以ρ2＝4ρsin＝4ρ，
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2y－2x，
所以曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝，
曲線(xiàn)D的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＋2x－2y＝0.
(2)由點(diǎn)A，得所以A(2,2).
因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(2,2)且傾斜角為，所以直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入＋＝1可得，
t2＋(8＋18)t＋16＝0，
設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，
則t1＋t2＝－，t1t2＝，
所以＝＝.
[解題技法]
參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程綜合問(wèn)題的解題策略
(1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解.當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程.
(2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的.
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
　(2018·合肥質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos.
(1)求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
(2)已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn) P(1,0)且與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，若|PA|＋|PB|＝，求直線(xiàn)l的傾斜角α.
解：(1)由ρ＝2cos＝2(cos θ＋sin θ)?ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)?x2＋y2＝2x＋2y?(x－1)2＋(y－1)2＝2，
故曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)由條件可設(shè)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入圓的方程，有t2－2tsin α－1＝0，
設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，
則t1＋t2＝2sin α， t1t2＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，
解得sin α＝或sin α＝－(舍去)，
故α＝或.

1.設(shè)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為傾斜角)，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).
(1)若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)圓C的圓心，求直線(xiàn)l的斜率；
(2)若直線(xiàn)l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍.
解：(1)由已知得直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是P(3,4)，而圓C的圓心是C(1，－1)，
所以，當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)圓C的圓心時(shí)，直線(xiàn)l的斜率k＝.
(2)由圓C的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，得圓C的圓心是C(1，－1)，半徑為2.
由直線(xiàn)l的參數(shù)方程(t為參數(shù)，α為傾斜角)，
得直線(xiàn)l的普通方程為y－4＝k(x－3)(斜率存在)，
即kx－y＋4－3k＝0.
當(dāng)直線(xiàn)l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離小于圓的半徑，
即＜2，解得k＞.
即直線(xiàn)l的斜率的取值范圍為.
2.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；
(2)若曲線(xiàn)C截直線(xiàn)l所得線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率.
解：(1)曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1.當(dāng)cos α≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tan α·x＋2－tan α；
當(dāng)cos α＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1.
(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因?yàn)榍€(xiàn)C截直線(xiàn)l所得線(xiàn)段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，
所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，
于是直線(xiàn)l的斜率k＝tan α＝－2.
3.(2019·沈陽(yáng)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝2acos θ(a＞0).
(1)求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程，直線(xiàn)l的普通方程；
(2)設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值.
解：(1)由ρsin2θ＝2acos θ(a＞0)兩邊同乘以ρ得，
曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為y2＝2ax(a＞0).
由直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，消去t，
得直線(xiàn)l的普通方程為x－y＋2＝0.
(2)將代入y2＝2ax，得t2－2at＋8a＝0，
由Δ＞0得a＞4，
設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，
則t1＋t2＝2a，t1t2＝8a，
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，
∴|t1－t2|2＝|t1t2|，∴(2a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.
4.(2019·青島調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2.
(1)寫(xiě)出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).
解：(1)C1的普通方程為＋y2＝1，
C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0.
(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos α，sin α).因?yàn)镃2是直線(xiàn)，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)＝＝.
當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，d(α)取得最小值，最小值為，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為.
5.(2018·遼寧五校聯(lián)合體模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝sin θ.
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)若射線(xiàn)l：y＝kx(x≥0)分別交C1，C2于A，B兩點(diǎn)(A，B異于原點(diǎn))，當(dāng)k∈(1，]時(shí)，求|OA|·|OB|的取值范圍.
解：(1)由可得(x－1)2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，
即C1的普通方程為(x－1)2＋y2＝1.
方程ρcos2θ＝sin θ可化為ρ2cos2θ＝ρsin θ　(*)，
將代入(*)式，可得x2＝y(tǒng)，
所以C2的直角坐標(biāo)方程為x2＝y(tǒng).
(2)因?yàn)锳，B異于原點(diǎn)，
所以聯(lián)立可得A；
聯(lián)立可得B(k，k2).
故|OA|·|OB|＝···|k|＝2|k|.
又k∈(1，]，所以|OA|·|OB|∈(2,2].
6.(2019·惠州調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝tan θ.
(1)求曲線(xiàn)C1的普通方程與曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)若C1與C2交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求＋的值.
解：(1)由曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t可得，曲線(xiàn)C1的普通方程為4x＋3y－2＝0.
由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得，曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為y＝x2.
(2)由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2，－2)，∴點(diǎn)P在曲線(xiàn)C1上.將曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入y＝x2，得9t2－80t＋150＝0，
設(shè)t1，t2是點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，
則t1＋t2＝，t1t2＝＞0.
∴＋＝＝＝.
7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝a，且l過(guò)點(diǎn)A，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).
(1)求曲線(xiàn)C1上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最大值；
(2)過(guò)點(diǎn)B(－1,1)且與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)l1與曲線(xiàn)C1交于M，N兩點(diǎn)，求|BM|·|BN|的值.
解：(1)由直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A，得cos＝a，故a＝，
則易得直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0.
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，得曲線(xiàn)C1上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離d＝＝，，
∴dmax＝＝.
即曲線(xiàn)C1上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最大值為.
(2)由(1)知直線(xiàn)l的傾斜角為，
則直線(xiàn)l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
易知曲線(xiàn)C1的普通方程為＋＝1.
把直線(xiàn)l1的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C1的普通方程，
得t2＋7t－5＝0，
設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2＝－，
根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知|BM|·|BN|＝|t1t2|＝.
8.(2019·鄭州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝8cos，直線(xiàn)l與圓C交于A，B兩點(diǎn).
(1)若OA⊥OB，求直線(xiàn)l的普通方程；
(2)設(shè)P(，1)是直線(xiàn)l上的點(diǎn)，若|AB|＝λ|PC|，求λ的值.
解：(1)消去參數(shù)t，得直線(xiàn)l的普通方程為x＋y＝＋m，將圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝8cos的兩邊同時(shí)乘ρ，
得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，
則圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝16，
所以圓C的圓心C(2，2)，半徑為4，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，數(shù)形結(jié)合得，若OA⊥OB，則直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)圓心C，
即2＋×2＝＋m，解得m＝3，
即直線(xiàn)l的普通方程為x＋y－4＝0.
(2)由P(，1)是直線(xiàn)l上的點(diǎn)，得m＝1，
此時(shí)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，
代入到圓C的方程(x－2)2＋(y－2)2＝16中，
得t2＋2t－12＝0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，
則t1＋t2＝－2，t1t2＝－12，
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝2，
又|PC|＝2，|AB|＝λ|PC|，所以λ＝.



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