2020版《微點教程》高考人教A版文科數(shù)學一輪復習文檔：第五章第三節(jié)　等比數(shù)列學案-學案下載-教習網(wǎng)

2019考綱考題考情

1．等比數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義：
①文字語言：從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)(非零)。
②符號語言：＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))。
(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab。
2．等比數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項公式：an＝a1qn－1。
(2)前n項和公式：Sn＝
3．等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N*)。
(2)對任意的正整數(shù)m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq。(等積性)
特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝a。
(3)若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)。
(4)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{pan}(p≠0，p是常數(shù))也是等比數(shù)列。
(5)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk。
(6)若或則等比數(shù)列{an}遞增。
若或則等比數(shù)列{an}遞減。

1．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，也是等比數(shù)列。
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0。
3．在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤。

一、走進教材
1．(必修5P54A組T8改編)在3與192中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為________。
解析　設該數(shù)列的公比為q，由題意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4。所以插入的兩個數(shù)分別為3×4＝12,12×4＝48。
答案　12,48
2．(必修5P61A組T1改編)等比數(shù)列{an}的首項a1＝－1，前n項和為Sn，若＝，則{an}的通項公式an＝________。
解析　因為＝，所以＝－，因為S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，所以q5＝－，q＝－，則an＝－1×n－1＝－n－1。
答案　－n－1
二、走近高考
3．(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻。十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于。若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為(　　)
A．f B．f
C．f D．f
解析　從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于，第一個單音的頻率為f，由等比數(shù)列的概念可知，這十三個單音的頻率構(gòu)成一個首項為f，公比為的等比數(shù)列，記為{an}，則第八個單音頻率為a8＝f·()8－1＝f，故選D。
答案　D
4．(2015·全國卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝(　　)
A．2 B．1
C． D．
解析　因為{an}為等比數(shù)列，所以a3a5＝4(a4－1)＝a，得a4＝2，而a1＝，＝＝8＝q3，得公比q＝2，所以a2＝×2＝。故選C。
答案　C
三、走出誤區(qū)
微提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b”成等比數(shù)列的必要不充分條件；②忽視q＝1的特殊情況；③對數(shù)的運算性質(zhì)不熟練。
5．在等比數(shù)列{an}中，a3＝4，a7＝16，則a3與a7的等比中項為________。
解析　設a3與a7的等比中項為G，因為a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8。
答案　±8
6．數(shù)列{an}的通項公式是an＝an(a≠0)，則其前n項和為Sn＝________。
解析　因為a≠0，an＝an，所以{an}是以a為首項，a為公比的等比數(shù)列。當a＝1時，Sn＝n；當a≠1時Sn＝。
答案　
7．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝________。
解析　因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50。
答案　50

考點一等比數(shù)列的基本運算
【例1】　(1)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，a1＋a7＝65，a2a6＝64，則公比q＝(　　)
A．±4 B．4
C．±2 D．2
(2)(2018·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3。
①求{an}的通項公式；
②記Sn為{an}的前n項和。若Sm＝63，求m。
(1)解析　由得又等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以所以q＝＝2。故選D。
答案　D
(2)解　①設{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1。
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2。
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1。
②若an＝(－2)n－1，則Sn＝。
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解。
若an＝2n－1，則Sn＝2n－1。
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6。
綜上，m＝6。

1．等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解。
2．等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝。
【變式訓練】　(1)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4，S3，S5成等差數(shù)列，則{an}的公比q的值為(　　)
A． B．2
C．－ D．－2
(2)(2019·安徽質(zhì)量檢測)中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗。羊主曰：“我羊食半馬?！瘪R主曰：“我馬食半牛?！苯裼斨?，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟。羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半。”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半。”打算按此比率償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應償還粟a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是(　　)
A．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且a＝
B．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且c＝
C．a(chǎn)，b，c成公比為的等比數(shù)列，且a＝
D．a(chǎn)，b，c成公比為的等比數(shù)列，且c＝
解析　(1)由S4，S3，S5成等差數(shù)列，得2S3＝S5＋S4，即2(a1＋a2＋a3)＝2(a1＋a2＋a3＋a4)＋a5，整理得a5＝－2a4，所以＝－2，即q＝－2。故選D。
(2)由題意可得，a，b，c成公比為的等比數(shù)列，b＝a，c＝b，三者之和為50升，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝。故選D。
答案　(1)D　(2)D
考點二等比數(shù)列的判定與證明
【例2】　設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)。
(1)求a2，a3的值；
(2)求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列。
解　(1)因為a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，
所以當n＝1時，a1＝2×1＝2；
當n＝2時，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，
所以a2＝4；
當n＝3時，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，
所以a3＝8。
綜上，a2＝4，a3＝8。
(2)證明：因為a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①
所以當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)。②
①－②，得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2。
所以－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
所以Sn＋2＝2(Sn－1＋2)。
因為S1＋2＝4≠0，所以Sn－1＋2≠0，
所以＝2，
故{Sn＋2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列。

1．證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可。
2．利用遞推關(guān)系時要注意對n＝1時的情況進行驗證。
【變式訓練】　已知數(shù)列{an}的首項a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝。
(1)求證：是等比數(shù)列，并求出{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和Tn。
解　(1)記bn＝－1，則＝＝＝＝＝，
又b1＝－1＝－1＝，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列。
所以－1＝·n－1，
即an＝。
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝。
(2)由(1)知，－1＝·n－1，
即＝·n－1＋1。
所以數(shù)列的前n項和
Tn＝＋n＝＋n。
考點三等比數(shù)列的性質(zhì)及應用微點小專題
方向1：等比數(shù)列項的性質(zhì)應用
【例3】　(1)(2019·洛陽市第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則的值為(　　)
A．－ B．－
C． D．－或
(2)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________。
解析　(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3