2019考綱考題考情



1．圓的定義
(1)在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫圓。
(2)確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑。
2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中(a，b)為圓心坐標(biāo)，r為半徑。
3．圓的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F＞0，其中圓心為，半徑r＝。
4．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種。
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)，
(1)點(diǎn)在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2。
(2)點(diǎn)在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2。
(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2。

1．圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2。
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0。
3．二元二次方程表示圓的條件
對(duì)于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時(shí)易忽視D2＋E2－4F>0這一條件。

一、走進(jìn)教材
1．(必修2P124A組T1改編)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是(　　)
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析　圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)。故選D。
答案　D
2．(必修2P120例3改編)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析　設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r，因?yàn)閳A心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a。因?yàn)閨CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2。所以a＝1，b＝1。所以r＝2。所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4。故選C。

解析：因?yàn)锳(1，－1)，B(－1,1)，所以AB的中垂線方程為y＝x。由得所以圓心坐標(biāo)為(1,1)，r＝＝2。則圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4。

答案　C
二、走近高考
3．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　)
A．－ B．－
C． D．2
解析　由題意可知，圓心為(1,4)，所以圓心到直線的距離d＝＝1，解得a＝－。故選A。
答案　A
4．(2018·天津高考)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為_(kāi)_______。
解析　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則解得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝0，即圓的方程為x2＋y2－2x＝0。

解析：記A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，連接AB，由圓過(guò)點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，知AB的垂直平分線x＝1必過(guò)圓心。連接BC，又圓過(guò)點(diǎn)C(1,1)，BC的中點(diǎn)為，BC所在直線的斜率kBC＝－1，所以BC的垂直平分線為直線y＝x－1，聯(lián)立，得得圓心的坐標(biāo)為(1,0)，半徑為1，故圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0。

答案　x2＋y2－2x＝0
三、走出誤區(qū)
微提醒：①忽視表示圓的充要條件D2＋E2－4F>0；②錯(cuò)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判定；③忽視圓的方程中變量的取值范圍。
5．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析　將x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得2＋(y－1)2＝－2。由其表示圓可得－2>0，解得m2。
答案　B
6．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a(chǎn)＞1或a＜－1 D．a(chǎn)＝±4
解析　因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓內(nèi)，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1。故選A。
答案　A
7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝4，則3x2＋4y2的最大值為_(kāi)_______。
解析　由(x－2)2＋y2＝4，得y2＝4x－x2≥0，得0≤x≤4，所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64(0≤x≤4)，所以當(dāng)x＝4時(shí)，3x2＋4y2取得最大值48。
答案　48

考點(diǎn)一 圓的方程
【例1】　(1)過(guò)點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于點(diǎn)B(2,1)，則圓C的方程為_(kāi)_______。
(2)已知圓C經(jīng)過(guò)P(－2,4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6，則圓C的方程為_(kāi)_______。
解析　(1)由已知kAB＝0，所以AB的中垂線方程為x＝3①。過(guò)B點(diǎn)且垂直于直線x－y－1＝0的直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0②，聯(lián)立①②，解得所以圓心坐標(biāo)為(3,0)，半徑r＝＝，所以圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2。

解析：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，因?yàn)辄c(diǎn)A(4,1)，B(2,1)在圓上，故又因?yàn)椋剑?，解得a＝3，b＝0，r＝，故所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝2。

(2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0③。設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36④，聯(lián)立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0。故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0。
答案　(1)(x－3)2＋y2＝2　(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0

求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程。一般來(lái)說(shuō)，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法：通過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量。確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；(2)代數(shù)法：即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解。
【變式訓(xùn)練】　(1)(2019·珠海聯(lián)考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)(2019·河南豫西五校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4
B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8
D．x2＋(y－1)2＝16
解析　(1)由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)，則有＝即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圓心坐標(biāo)為(1，－1)，半徑r＝＝，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故選B。
(2)直線x－by＋2b＋1＝0過(guò)定點(diǎn)P(－1,2)，如圖。所以圓與直線x－by＋2b＋1＝0相切于點(diǎn)P時(shí)，以點(diǎn)(0,1)為圓心的圓的半徑最大，此時(shí)半徑r為，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2。故選B。

答案　(1)B　(2)B
考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
【例2】　已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)。
(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程。
解　(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)。
因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4。
故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1(x≠2)。
(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)。
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|。
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4。
整理得x2＋y2－x－y－1＝0，
故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為
x2＋y2－x－y－1＝0。

求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同，常采用以下方法：
1．直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程。
2．定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程。
3．幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程。
4．代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等。
【變式訓(xùn)練】　自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點(diǎn)P(x，y)引該圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，PQ的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　)
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析　由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3，－4)，半徑r＝2，如圖。因?yàn)閨PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以點(diǎn)P的軌跡方程為6x－8y－21＝0，故選D。

答案　D
考點(diǎn)三 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題微點(diǎn)小專題
方向1：借助幾何性質(zhì)求最值
【例3】　已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則(1)的最大值和最小值分別為_(kāi)_______和________；
(2)y－x的最大值和最小值分別為_(kāi)_________和__________；
(3)x2＋y2的最大值和最小值分別為_(kāi)_________和__________。
解析　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓。
(1)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx。當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)(如圖)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)＝，解得k＝±。所以的最大值為，最小值為－。

(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距。如圖所示，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)＝，解得b＝－2±，所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－。

(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方。由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值。又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4。
答案　(1)?。?2)－2＋?。?－
(3)7＋4　7－4

借助幾何性質(zhì)求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解。
1．形如μ＝形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題。
2．形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題。
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題。
方向2：建立函數(shù)關(guān)系求最值
【例4】　(2019·廈門模擬)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)，則·的最大值為_(kāi)_______。
解析　由題意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y), 所以·＝x2＋y2－4，由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12。由圓的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，當(dāng)y＝4時(shí)，·的值最大，最大值為6×4－12＝12。
答案　12

根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)知識(shí)或基本不等式求最值。
【題點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】　
1．(方向1)已知兩點(diǎn)A(0，－3)，B(4,0)，若點(diǎn)P是圓C：x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP的面積的最小值為(　　)
A．6　　　　B．
C．8　　　　D．
解析　x2＋y2－2y＝0可化為x2＋(y－1)2＝1，則圓C為以(0,1)為圓心，1為半徑的圓。如圖，過(guò)圓心C向直線AB作垂線交圓于點(diǎn)P，連接BP，AP，這時(shí)△ABP的面積最小，直線AB的方程為＋＝1，即3x－4y－12＝0，圓心C到直線AB的距離d＝，又|AB|＝＝5，所以△ABP的面積的最小值為×5×＝。

答案　B
2．(方向2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x－2)2＋(y－1)2＝1，則z＝的最大值與最小值分別為_(kāi)_______和________。
解析　由題意，得表示過(guò)點(diǎn)A(0，－1)和圓(x－2)2＋(y－1)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的直線的斜率。當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的斜率分別取得最大值和最小值。設(shè)切線方程為y＝kx－1，即kx－y－1＝0，則＝1，解得k＝，所以zmax＝，zmin＝。
答案　　
3．(方向2)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：(x－3)2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(0，2)，B(0，－2)，則|＋|的最大值為_(kāi)_______。
解析　由題意，知＝(－x,2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|＋|＝＝2。由圓的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以當(dāng)x＝5時(shí)，|＋|的值最大，最大值為2＝10。
答案　10

四點(diǎn)共圓問(wèn)題的求解策略
四點(diǎn)共圓問(wèn)題本屬于平面幾何內(nèi)容，是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的高頻考點(diǎn)，近年來(lái)，圓錐曲線中的四點(diǎn)共圓問(wèn)題也頻頻出現(xiàn)在高考試題中。
【典例】　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線y＝4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且|QF|＝|PQ|。
(1)求拋物線C的方程；
(2)過(guò)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程。
【解】　(1)設(shè)Q(x0,4)，代入y2＝2px，得x0＝，又P(0，4)，所以|PQ|＝。又|QF|＝＋x0＝＋，且|QF|＝|PQ|，所以＋＝·，解得p＝2(p＝－2舍去)，所以，拋物線C的方程為y2＝4x。
(2)因?yàn)锳，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，弦AB的垂直平分線必過(guò)圓心，又MN垂直平分AB，所以MN是圓的直徑，則MN的中點(diǎn)E就是這個(gè)圓的圓心，所以|AE|＝|BE|＝|MN|。

依題意可知，直線l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)l的方程為x＝my＋1。
由得y2－4my－4＝0。
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4。
故線段AB的中點(diǎn)為D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)。
又l′與l垂直，故可得直線l′的方程為x＝－y＋2m2＋3，與y2＝4x聯(lián)立可得：
y2＋y－4(2m2＋3)＝0。
設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，
則y3＋y4＝－，y3y4＝－8m2－12。
故線段MN的中點(diǎn)為E，
|MN|＝|y3－y4|
＝。
在直角△ADE中，由勾股定理得
|AD|2＋|DE|2＝|AE|2，
所以|AB|2＋4|DE|2＝|MN|2，即
4(m2＋1)2＋2＋2
＝，
化簡(jiǎn)得m2－1＝0，
解得m＝±1。
故所求直線l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0。

本題中，MN的中點(diǎn)E就是A，M，B，N四點(diǎn)所在圓的圓心，故可將四點(diǎn)共圓的條件轉(zhuǎn)化為圓心E到四點(diǎn)的距離相等，從而得到|AE|＝|BE|＝|MN|，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先求線段AB的中點(diǎn)D、線段MN的中點(diǎn)E的坐標(biāo)以及|AB|和|MN|，這是解析幾何中的常規(guī)問(wèn)題，通常是聯(lián)立方程組后結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)處理，但計(jì)算量較大。

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