1．平面直角坐標(biāo)系
設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x ?λ>0?，,y′＝μ·y?μ>0?))的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換．
2．極坐標(biāo)系
(1)極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念
在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線Ox，同時(shí)確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．點(diǎn)O稱為極點(diǎn)，射線Ox稱為極軸．平面內(nèi)任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長(zhǎng)度ρ和從射線Ox到射線OM的角度θ來刻畫(如圖所示)．這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)．ρ稱為點(diǎn)M的極徑，θ稱為點(diǎn)M的極角．一般認(rèn)為ρ≥0.當(dāng)極角θ的取值范圍是[0,2π)時(shí)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．我們?cè)O(shè)定，極點(diǎn)的極坐標(biāo)中，極徑ρ＝0，極角θ可取任意角．
(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
設(shè)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ)．由圖可知下面關(guān)系式成立：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)?x≠0?)).
這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式．
3．常見曲線的極坐標(biāo)方程
1．(2016·北京西城區(qū)模擬)求在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)(2，eq \f(π,2))且與極軸平行的直線方程．
解 點(diǎn)(2，eq \f(π,2))在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為
(2cseq \f(π,2)，2sineq \f(π,2))，即(0,2)．
∴過點(diǎn)(0,2)且與x軸平行的直線方程為y＝2.
即為ρsinθ＝2.
2．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(3，eq \f(π,3))、(4，eq \f(π,6))，求△AOB(其中O為極點(diǎn))的面積．
解 由題意知A、B的極坐標(biāo)分別為(3，eq \f(π,3))、(4，eq \f(π,6))，則△AOB的面積S△AOB＝eq \f(1,2)OA·OB·sin∠AOB＝eq \f(1,2)×3×4×sineq \f(π,6)＝3.
3．在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sinθ和直線ρsinθ＝a相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)△AOB是等邊三角形時(shí)，求a的值．
解 由ρ＝4sinθ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.
由ρsinθ＝a可得y＝a.
設(shè)圓的圓心為O′，y＝a與x2＋(y－2)2＝4的兩交點(diǎn)A，B與O構(gòu)成等邊三角形，如圖所示．
由對(duì)稱性知∠O′OB＝30°，OD＝a.
在Rt△DOB中，易求DB＝eq \f(\r(3),3)a，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq \f(\r(3),3)a，a)．
又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴(eq \f(\r(3),3)a)2＋a2－4a＝0，
即eq \f(4,3)a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.
題型一 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
例1 (1)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程．
(2)在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝csθ和ρsinθ＝1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．
解 (1)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ，))
∴y＝1－x化成極坐標(biāo)方程為ρcsθ＋ρsinθ＝1，
即ρ＝eq \f(1,csθ＋sinθ).
∵0≤x≤1，∴線段在第一象限內(nèi)(含端點(diǎn))，
∴0≤θ≤eq \f(π,2).
(2)因?yàn)閤＝ρcsθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ＝csθ，得ρ2sin2θ＝ρcsθ，所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2＝x.由ρsinθ＝1，得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y＝1.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝x，,y＝1))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))故曲線C1與曲線C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)．
思維升華 (1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③取相同的單位長(zhǎng)度．(2)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式x＝ρcsθ及y＝ρsinθ直接代入并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如ρcsθ，ρsinθ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換．
(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程．
(2)求在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2csθ垂直于極軸的兩條切線方程．
解 (1)將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcsθ代入x2＋y2－2x＝0，得ρ2－2ρcsθ＝0，整理得ρ＝2csθ.
(2)由ρ＝2csθ，得ρ2＝2ρcsθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于x軸的兩條切線方程為x＝0和x＝2，相應(yīng)的極坐標(biāo)方程為θ＝eq \f(π,2)(ρ∈R)和ρcsθ＝2.
題型二 求曲線的極坐標(biāo)方程
例2 將圓x2＋y2＝1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.
(1)寫出曲線C的方程；
(2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．
解 (1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)(x，y)，依題意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x1，,y＝2y1.))
由＋yeq \\al(2,1)＝1得x2＋(eq \f(y,2))2＝1，
即曲線C的方程為x2＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(eq \f(1,2)，1)，所求直線斜率為k＝eq \f(1,2)，
于是所求直線方程為y－1＝eq \f(1,2)(x－eq \f(1,2))，
化為極坐標(biāo)方程，并整理得2ρcsθ－4ρsinθ＝－3，
即ρ＝eq \f(3,4sinθ－2csθ).
思維升華 求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線的極坐標(biāo)方程．
在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P(eq \r(2)，eq \f(π,4))，圓心為直線ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程．
解 在ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)中，
令θ＝0，得ρ＝1，
所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)．
如圖所示，因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，
所以圓C的半徑
PC＝eq \r(?\r(2)?2＋12－2×1×\r(2)cs \f(π,4))＝1，
于是圓C過極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2csθ.
題型三 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用
例3 (2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；
(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積．
解 (1)因?yàn)閤＝ρcsθ，y＝ρsinθ，
所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcsθ＝－2，
C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcsθ－4ρsinθ＋4＝0.
(2)將θ＝eq \f(π,4)代入ρ2－2ρcsθ－4ρsinθ＋4＝0，
得ρ2－3eq \r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq \r(2)，ρ2＝eq \r(2).
故ρ1－ρ2＝eq \r(2)，即|MN|＝eq \r(2).
由于C2的半徑為1，所以△C2MN為等腰直角三角形，
所以△C2MN的面積為eq \f(1,2).
思維升華 (1)已知極坐標(biāo)系方程討論位置關(guān)系時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程；(2)在曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性．
(2017·廣州調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，求直線ρsin(θ＋eq \f(π,4))＝2被圓ρ＝4截得的弦長(zhǎng)．
解 由ρsin(θ＋eq \f(π,4))＝2，得eq \f(\r(2),2)(ρsinθ＋ρcsθ)＝2可化為x＋y－2eq \r(2)＝0.圓ρ＝4可化為x2＋y2
＝16，由圓中的弦長(zhǎng)公式得：2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(42－?\f(2\r(2),\r(2))?2)＝4eq \r(3).故所求弦長(zhǎng)為4eq \r(3).
1．(2015·廣東)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2)，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(7π,4)))，求點(diǎn)A到直線l的距離．
解 依題可知直線l：2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2)和點(diǎn)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(7π,4)))可化為l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以點(diǎn)A到直線l的距離為d＝eq \f(|2－?－2?＋1|,\r(12＋?－1?2))＝eq \f(5\r(2),2).
2．在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲線ρ(csθ＋sinθ)＝1與ρ(sinθ－csθ)＝1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．
解 曲線ρ(csθ＋sinθ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1，ρ(sinθ－csθ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為y－x＝1.聯(lián)立方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,y－x＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))則交點(diǎn)為(0,1)，對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))).
3．在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ＝3csθ與直線2ρcsθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求實(shí)數(shù)a的值．
解 圓ρ＝3csθ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝3x，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4)，
直線2ρcsθ＋4ρsinθ＋a＝0的直角坐標(biāo)方程為2x＋4y＋a＝0.
因?yàn)閳A與直線相切，所以eq \f(|2×\f(3,2)＋4×0＋a|,\r(22＋42))＝eq \f(3,2)，
解得a＝－3±3eq \r(5).
4．在極坐標(biāo)系中，求曲線ρ＝2csθ關(guān)于直線θ＝eq \f(π,4)對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程．
解 以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系，
則曲線ρ＝2csθ的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，
且圓心為(1,0)．
直線θ＝eq \f(π,4)的直角坐標(biāo)方程為y＝x，
因?yàn)閳A心(1,0)關(guān)于y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(0,1)，
所以圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于y＝x的對(duì)稱曲線為x2＋(y－1)2＝1.
所以曲線ρ＝2csθ關(guān)于直線θ＝eq \f(π,4)對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ.
5．在極坐標(biāo)系中，P是曲線C1：ρ＝12sinθ上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線C2：ρ＝12cs(θ－eq \f(π,6))上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最大值．
解 對(duì)曲線C1的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化：
∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，
即x2＋(y－6)2＝36.
對(duì)曲線C2的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化：
∵ρ＝12cs(θ－eq \f(π,6))，
∴ρ2＝12ρ(csθcseq \f(π,6)＋sinθsineq \f(π,6))，
∴x2＋y2－6eq \r(3)x－6y＝0，∴(x－3eq \r(3))2＋(y－3)2＝36，
∴|PQ|max＝6＋6＋eq \r(?3\r(3)?2＋32)＝18.
6．在極坐標(biāo)系中，O是極點(diǎn)，設(shè)A(4，eq \f(π,3))，B(5，－eq \f(5π,6))，求△AOB的面積．
解 如圖所示，∠AOB＝2π－eq \f(π,3)－eq \f(5π,6)＝eq \f(5π,6)，
OA＝4，OB＝5，
故S△AOB＝eq \f(1,2)×4×5×sineq \f(5π,6)＝5.
7．已知P(5，eq \f(2π,3))，O為極點(diǎn)，求使△POP′為正三角形的點(diǎn)P′的坐標(biāo)．
解 設(shè)P′點(diǎn)的極坐標(biāo)為(ρ，θ)．
∵△POP′為正三角形，如圖所示，
∴∠POP′＝eq \f(π,3).
∴θ＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(2π,3)＋eq \f(π,3)＝π.
又ρ＝5，∴P′點(diǎn)的極坐標(biāo)為(5，eq \f(π,3))或(5，π)．
8．在極坐標(biāo)系中，判斷直線ρcsθ－ρsinθ＋1＝0與圓ρ＝2sinθ的位置關(guān)系．
解 直線ρcsθ－ρsinθ＋1＝0可化成x－y＋1＝0，圓ρ＝2sinθ可化為x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.圓心(0,1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq \f(|0－1＋1|,\r(2))＝0

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