2019考綱考題考情



1．等比數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義：
①文字語(yǔ)言：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)(非零)。
②符號(hào)語(yǔ)言：＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))。
(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab。
2．等比數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1。
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝
3．等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N*)。
(2)對(duì)任意的正整數(shù)m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq。
特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝a。
(3)若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)。
(4)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{pan}(p≠0，p是常數(shù))也是等比數(shù)列。
(5)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk。
(6)若或則等比數(shù)列{an}遞增。
若或則等比數(shù)列{an}遞減。


　
1．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，也是等比數(shù)列。
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0。
3．在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤。

一、走進(jìn)教材
1．(必修5P54A組T8改編)在3與192中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為________。
解析　設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4。所以插入的兩個(gè)數(shù)分別為3×4＝12,12×4＝48。
答案　12,48
2．(必修5P62B組T2改編)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝－1，前n項(xiàng)和為Sn，若＝，則{an}的通項(xiàng)公式an＝________。
解析　因?yàn)椋?，所以＝－，因?yàn)镾5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，所以q5＝－，q＝－，則an＝－1×n－1＝－n－1。
答案?。璶－1
二、走近高考
3．(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于。若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為(　　)
A．f B．f
C.f D.f
解析　從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于，第一個(gè)單音的頻率為f，由等比數(shù)列的概念可知，這十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為f，公比為的等比數(shù)列，記為{an}，則第八個(gè)單音頻率為a8＝f·()8－1＝f，故選D。
答案　D
4．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1, a1－a3＝－3，則a4＝________。
解析　根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得①兩式相除可得＝，由①式解得所以a4＝a1q3＝(－2)3＝－8。
答案?。?
三、走出誤區(qū)
微提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b”成等比數(shù)列的必要不充分條件；②忽視q＝1的特殊情況；③對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)不熟練。
5．在等比數(shù)列{an}中，a3＝4，a7＝16，則a3與a7的等比中項(xiàng)為________。
解析　設(shè)a3與a7的等比中項(xiàng)為G，因?yàn)閍3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8。
答案　±8
6．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an(a≠0)，則其前n項(xiàng)和為Sn＝________。
解析　因?yàn)閍≠0，an＝an，所以{an}是以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列。當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝n；當(dāng)a≠1時(shí)Sn＝。
答案　
7．若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝________。
解析　因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，且a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50。
答案　50


考點(diǎn)一 等比數(shù)列的基本運(yùn)算
【例1】　(1)(2018·福建泉州一模)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，a1＋a7＝65，a2a6＝64，則公比q＝(　　)
A．±4 B．4
C．±2 D．2
(2)(2018·全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3。
①求{an}的通項(xiàng)公式；
②記Sn為{an}的前n項(xiàng)和。若Sm＝63，求m。
(1)解析　由得又等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以所以q＝＝2。故選D。
答案　D
(2)解　①設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1。
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2。
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1。
②若an＝(－2)n－1，則Sn＝。
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解。
若an＝2n－1，則Sn＝2n－1。
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6。
綜上，m＝6。



1．等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解。
2．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝。
【變式訓(xùn)練】　(1)(2019·贛州摸底)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4，S3，S5成等差數(shù)列，則{an}的公比q的值為(　　)
A． B．2
C．－ D．－2
(2)(2019·安徽質(zhì)量檢測(cè))中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗。羊主曰：“我羊食半馬。”馬主曰：“我馬食半牛?！苯裼斨?，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟。羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半?！瘪R主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半。”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還粟a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是(　　)
A．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且a＝
B．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且c＝
C．a(chǎn)，b，c成公比為的等比數(shù)列，且a＝
D．a(chǎn)，b，c成公比為的等比數(shù)列，且c＝
解析　(1)由S4，S3，S5成等差數(shù)列，得2S3＝S5＋S4，即2(a1＋a2＋a3)＝2(a1＋a2＋a3＋a4)＋a5，整理得a5＝－2a4，所以＝－2，即q＝－2。故選D。
(2)由題意可得，a，b，c成公比為的等比數(shù)列，b＝a，c＝b，三者之和為50升，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝。故選D。
答案　(1)D　(2)D
考點(diǎn)二 等比數(shù)列的判定與證明
【例2】　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)。
(1)求a2，a3的值；
(2)求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列。
解　(1)因?yàn)閍1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，
所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2×1＝2；
當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，
所以a2＝4；
當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，
所以a3＝8。
綜上，a2＝4，a3＝8。
(2)證明：因?yàn)閍1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①
所以當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)。②
①－②，得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2。
所以－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
所以Sn＋2＝2(Sn－1＋2)。
因?yàn)镾1＋2＝4≠0，所以Sn－1＋2≠0，
所以＝2，
故{Sn＋2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。



1．證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可。
2．利用遞推關(guān)系時(shí)要注意對(duì)n＝1時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證。
【變式訓(xùn)練】　已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝。
(1)求證：是等比數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn。
解　(1)記bn＝－1，則＝＝＝＝＝，
又b1＝－1＝－1＝，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。
所以－1＝·n－1，
即an＝。
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝。
(2)由(1)知，－1＝·n－1，
即＝·n－1＋1。
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和
Tn＝＋n＝＋n。
考點(diǎn)三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用微點(diǎn)小專題
方向1：等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用
【例3】　(1)(2019·洛陽(yáng)市第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則的值為(　　)
A．－ B．－
C. D．－或
(2)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________。
解析　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a30，故q＝。
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝，
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n(n∈N*)。
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－(n∈N*)。
故＝－＝－2(n∈N*)，
則Tn＝＋＋…＋＝－2＝－(n∈N*)。
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn＝－(n∈N*)。
2．(配合例2使用)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*。已知a1＝1，a2＝，a3＝，且當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1。
(1)求a4的值；
(2)證明：為等比數(shù)列。
解　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4×＋5×＝8×＋1，解得a4＝。
(2)證明：因?yàn)?Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，
所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，
即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)。
又因?yàn)?a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，
所以4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)，
所以＝
＝＝＝，
所以數(shù)列是以a2－a1＝1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。
3．(拓展型)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列。
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：Sn＋≤(n∈N*)。
解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
因?yàn)椋?S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以2S3＝4S4－2S2，
即S3＝2S4－S2，即S4－S3＝S2－S4，
可得2a4＝－a3，于是q＝＝－。
又a1＝，所以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
an＝×n－1＝(－1)n－1·。
(2)由(1)知，Sn＝1－n，
Sn＋＝1－n＋
＝
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＋隨n的增大而減小，
所以Sn＋≤S1＋＝。
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＋隨n的增大而減小，
所以Sn＋≤S2＋＝。
故對(duì)于n∈N*，有Sn＋≤。

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