10.已知：如圖S4-4-3，在△ABC中，AD=DB，∠1=∠2. 求證：△ABC∽△EAD.
證明:∵DB=AD，∴∠B=∠BAD. ∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，∠1=∠2，∴∠C=∠ADE. ∴△ABC∽△EAD（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）.
11.如圖S4-4-5，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)E.求證：△DME∽△BCA.
證明：∵∠C=90°，DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，∴∠C=∠ENB=∠DME=90°.∴AC∥DN.∴∠BEN=∠A.∵∠BEN=∠DEM，∴∠DEM=∠A.又∵∠DME=∠C,∴△DME∽△BCA.
12.如圖S4-4-6，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在BC，AB上，且∠BDE=∠CAD. 求證：△ADE∽△ABD.
證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵∠ADB=∠C+∠CAD=∠BDE+∠ADE，∠BDE=∠CAD，∴∠ADE=∠C.∴∠B=∠ADE.∵∠DAE=∠BAD，∴△ADE∽△ABD.
13.如圖S4-4-13，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△ACD和△BCE都是等邊三角形，連接AE，BD，設(shè)AE交CD于點(diǎn)F. （1）求證：△ACE≌△DCB；（2）求證：△ADF∽△BAD.
證明：（1）∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°.∴∠ACE=∠DCB=120°. （2）∵△ACE≌△DCB，∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE.∴∠CAE=∠DBE.又∵∠DFA=∠ACD+∠CAE,∠ADB=∠ADC+∠CDB,∴∠DFA=∠ADB.
∴△ACE≌△DCB（SAS）.
∴∠CAE=∠CDB.
∴△ADF∽△BAD.
∴∠CDB=∠DBE.
∴∠DAF=∠DBA.
14．如圖S4-4-12，點(diǎn)D在等邊△ABC的BC邊上，△ADE為等邊三角形，DE與AC交于點(diǎn)F. （1）證明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，請(qǐng)寫出圖中其他所有的相似三角形.
（2）解：圖中相似三角形有△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD.
（1）證明：如答圖S4-4-1，
∵△ABC，△ADE為等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠3=60°.
∴∠1+∠2=∠DFC+∠2=180°-60°.
∴△ABD∽△DCF.
15.如圖S4-4-16，在正三角形ABC中，D，E分別在邊AC，AB上，且 ，AE=EB. 求證：△AED∽△CBD.
證明：∵△ABC為正三角形，∴∠A=∠C=60°，BC=AB. ∵AE=BE，∴CB=2AE. ∵ ，∴CD=2AD. ∴ . 而∠A=∠C，∴△AED∽△CBD.
16.如圖S4-4-17，在正方形ABCD中，已知點(diǎn)P是BC邊上的點(diǎn)，且BP=3PC，點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，試判斷△ADQ∽△QCP是否成立，并說明理由．
解：成立.理由如下.設(shè)PC=a，則BP=3a，BC=4a．∵點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，∴DQ=QC= CD=2a.∴ =2， =2.∴ .又∵∠D=∠C=90°，∴△ADQ∽△QCP.
證明：∵AD·AB=AF·AC，∴又∵∠A=∠A，∴△ABF∽△ACD.∴∠B=∠C,∠AFB=∠ADC.∴∠EFC=∠BDE.∴△DEB∽△FEC.
17.已知：如圖S4-4-19，AD·AB=AF·AC.求證：△DEB∽△FEC.
18.如圖S4-4-28，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=12 cm，AB= cm，點(diǎn)P從O開始沿OA邊向點(diǎn)A以2 cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BO邊向點(diǎn)O以1 cm/s的速度移動(dòng)，如果P，Q同時(shí)出發(fā)，用x s表示時(shí)間（0≤x≤6），那么：（1）點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△OPQ的面積為5 cm2?（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？
解：（1）∵∠AOB=90°，∴BO2=AB2-AO2.∴BO=6.在Rt△OPQ中，OQ=6-x，OP=2x，∵△OPQ的面積為5 cm2,∴ OQ·OP=5，即 （6-x）·2x=5.解得x1=1，x2=5.即當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)1 s或5 s時(shí)，△OPQ的面積為5 cm2.
2）當(dāng)△OPQ∽△OAB時(shí)， ，解得x=3 s；當(dāng)△OPQ∽△OBA， ，解得x= s. 綜上所述，當(dāng)x=3 s或 s時(shí)，以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似.
19．如圖S4-4-39，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E在BD上，且 （1）試問：∠BAE與∠CAD相等嗎？為什么？（2）試判斷△ABE與△ACD是否相似？并說明理由.
解：（1）∠BAE與∠CAD相等. 理由：∵ ∴△ABC∽△AED.∴∠BAC=∠EAD.∴∠BAE=∠CAD.（2）△ABE與△ACD相似. 理由如下：∵ ∴ 在△ABE與△ACD中，∵ ∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ACD.
20.如圖S4-4-37，已知 求證：∠ABD=∠CBE.
解：∵∴△ABC∽△DBE.∴∠ABC=∠DBE.∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE.
20.已知，如圖S4-4-38， 那么△ABD與△BCE相似嗎？為什么？
解：相似.∵∴△ABC∽△DBE.∴∠ABC=∠DBE.∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE.∵ ∴△ABD∽△CBE.
21．如圖S4-4-43，以長為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上. （1）求AM，DM的長；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？
解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD=∴AM=AF=PF-AP=PD-AP= -1，DM=AD-AM=3- . 故AM的長為 -1，DM的長為3- .（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn). ∵∴點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn).

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4 探索三角形相似的條件

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